Sistema lineare dipendente da parametro
Salve, scrivo in quanto non riesco a risolvere questo esercizio.
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro $ ain R $ .
$ ain R{ ( ax+y+z=1 ),( x+ay+z=1 ),( x+y+az=1 ),( x+y+z=a ):} $
Se ne studi la risolubilità al variare di a, specificando le eventuali soluzioni.
Ho preso le due matrici:
$ ( ( a , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , a ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ e $ ( ( a , 1 , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 , 1 ),( 1 , 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , 1 , a ) ) $
Il determinante della matrice completa è: $det(A|b) !=0$ per $a!=1$ quindi il sistema non ammette soluzioni per $a!=1$.
Per $a=1$ la matrice diventa:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ che ha rango = 1.
Quindi il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Da ciò deduco che il sistema è compatibile ed in particolare ammette un'unica soluzione.
Come faccio a trovare le soluzioni??
Grazie in anticipo.
Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro $ ain R $ .
$ ain R{ ( ax+y+z=1 ),( x+ay+z=1 ),( x+y+az=1 ),( x+y+z=a ):} $
Se ne studi la risolubilità al variare di a, specificando le eventuali soluzioni.
Ho preso le due matrici:
$ ( ( a , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , a ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ e $ ( ( a , 1 , 1 , 1 ),( 1 , a , 1 , 1 ),( 1 , 1 , a , 1 ),( 1 , 1 , 1 , a ) ) $
Il determinante della matrice completa è: $det(A|b) !=0$ per $a!=1$ quindi il sistema non ammette soluzioni per $a!=1$.
Per $a=1$ la matrice diventa:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ che ha rango = 1.
Quindi il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Da ciò deduco che il sistema è compatibile ed in particolare ammette un'unica soluzione.
Come faccio a trovare le soluzioni??
Grazie in anticipo.
Risposte
Per a=1 il sistema diventa: x1+x2+x3=1 e questo è vero se e solo se (1,0,0) oppure (0,1,0) oppure (0,0,1). Queste sono le soluzioni?? non penso sia corretto..
A me pare che anche per $a = -3$ esistano soluzioni ...
Comunque, perché non riduci con Gauss e poi discuti quello che hai trovato?
Il sistema è compatibile per $a=1 vv a=-3$
Per $a=1$ ti ritrovi con $x+y+z=1$ che ha come soluzione $x=1-y-z$ (o $y=1-x-z$ o $z=1-x-y$ ... come vuoi ...
)
Per $a=-3$ la soluzione è unica ed è $x=-1, y=-1, z=-1$
Cordialmente, Alex
Il sistema è compatibile per $a=1 vv a=-3$
Per $a=1$ ti ritrovi con $x+y+z=1$ che ha come soluzione $x=1-y-z$ (o $y=1-x-z$ o $z=1-x-y$ ... come vuoi ...
)Per $a=-3$ la soluzione è unica ed è $x=-1, y=-1, z=-1$
Cordialmente, Alex
Tutto chiaro, grazie mille. Gentilissimi come sempre 
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