Analisi superiore

C'è un esercizio sul Rudin che dice di dimostrare che, posto $L(X,Y)$ l'insieme degli operatori lineari e continui dove $X$ e $Y$ sono spazi di Banach, l'insieme degli operatori suriettivi è aperto nella topologia indotta dalla norma operatoriale. Ci stavo pensando ma non mi viene in mente come fare, la cosa a cui avevo pensato era il teorema della mappa aperta, ma la cosa strana è che non è nel capitolo in cui fa questo teorema, quindi forse non è la strada ...

Trova una funzione meromorfa su \( \mathbb{C} \) tale che \( n^2 \) è un polo di ordine 4 per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Io ho pensato a questa funzione vi sembra corretto? Poniamo \( f : \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{C} \) come, dove con la notazione \( \mathbb{Z}^2 \) intendo tutti gli interi che sono quadrati perfetti. \[f(z) = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{\infty} \frac{1}{(n^2 - z)^4 } \] Dimostriamo che \( f \) converge uniformemente su ogni compatto di \( \mathbb{C} ...

Dimostra che l'identità è l'unica funzione intera e iniettiva che conserva l'origine e un altro punto. La mia idea è questa Lemma 1: Ogni funzione olomorfa \( g: \mathbb{D} \to \mathbb{D} \) che possiede due punti fissi distinti è la funzione identità sul disco unitario. Siano \(z_1,z_2 \) i due punti fissi, poniamo \[ h (z):= \frac{z - z_1}{1-\overline{z_1}z} \] Siccome \( h \) è una trasformazione di Mobius dal disco aperto \( \mathbb{D} \) al disco aperto \( \mathbb{D} \) abbiamo che è una ...

Sia \( f \) una funzione meromorfa su \( \mathbb{C} \) che è limitata, dimostra che è costante. Se è una funzione meromorfa allora possiede dei poli o delle singolarità eliminabili isolati. Sia \( \mathcal{A} \), l'insieme delle sue singolarità isolate e consideriamo \( z_0 \in \mathcal{A} \), supponiamo che \(z_0 \) è un polo di ordine \(k \) allora facendo lo sviluppo di Laurent in un intorno bucato di \(z_0 \) abbiamo che \[ f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + ...

Dimostra che per tutti gli \(n \in \mathbb{N} \) abbaiamo \[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n} \] dove \( B_n \) sono i numeri di Bernoulli. Non capisco un passaggio della dimostrazione. Costatiamo che in \( D(0,2\pi) \) abbiamo \[ \frac{z}{2} \left( \frac{e^{z/2} + e^{-z/2}}{e^{z/2} - e^{-z/2}} \right) = \frac{z}{e^z -1} + \frac{z}{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \] sostituendo \(z \) con \( 2 \pi i z \) otteniamo nel disco \( \mathbb{D} ...

Da un certo punto in poi non capisco più il motivo per cui fa Definiamo Sia \( \delta >0 \) e \( \delta \mathbb{Z}^n := \{ \delta x , x \in \mathbb{Z}^n \} \) una passeggiata aleatoria. Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un dominio con \( \partial \Omega \) liscio per pezzi. Notiamo \( b \subset \partial \Omega \) e \( b_{\delta} = \{ x \in \partial \Omega_{\delta} : d(x,b) \leq \delta \} \), dove \( \Omega_{\delta} := \Omega \cap \delta \mathbb{Z}^n \). per \( x \in \Omega_{\delta} \cup ...

"arnett":Ammettiamo che io voglia mostrare il fatto seguente: \[\int_\Omega u^ p \to |\Omega| \quad \text { per } p \to 0^+,\] dove $u:\RR^n \to \RR$ è misurabile e $\Omega$ è un sottoinsieme misurabile di $\RR^n$. Come si fa? Costruirei la successione ${u_n}_{n \in \NN}$ definita da $u_n(x)= (u(x))^{1/n}$. Allora $u_n \to 1$ puntualmente e $|u_n|\le |u|=|u_1|$, quindi se $u$ sta in $L^1(\Omega)$, la convergenza dominata di Lebesgue mi permette di ...

Ho un dubbio nella dimostrazione di questa disuguaglianza. Per provarla, nella dimostrazione si prova che $\int_{0}^{1}u'^2dx\geq\pi^2\int_{0}^{1}u^2dx$ Quindi, considera la funzione $f_\lambda(u,\xi)=\frac{\xi^2-\lambda^2u^2}{2}$ e cerchiamo il minimo della funzione integrale $I(u)=\int_{0}^{1}f_\lambda(u(x),u'(x))dx$, dove $inf_{u\in X}I(u)=m_\lambda$, dove $X={u\in C^1([0,1]):u(0)=u(1)=0}$. Inoltre $\xi\rightarrow f_\lambda(u,\xi)$ è convessa. Usando l'equazione di Eulero-Lagrange \begin{equation*} u''+\lambda^2u=0 \qquad u'^2+\lambda^2u^2=costante \end{equation*} Qui la parte che non capisco: -se ...

Potrebbe andare così \[ f_{2n}(z):= \sum\limits_{\sigma} \frac{1}{(z-z_{\sigma(2)})^2\ldots (z_{\sigma(2n-1)}-z_{\sigma(2n)})^2}\] Dove \( z_2,\ldots,z_{2n} \in \mathbb{C} \) sono dei parametri tutti distinti tra loro. Abbiamo allora che \( f(z) \) è meromorfa. Scegliamo dunque un polo, diciamo \(z_2 \), e facciamo lo sviluppo di Laurent attorno a questo polo, con un anello \( A(z_2,0,R) \), con \( R \in \mathbb{R} \). Sappiamo che non ci possono essere ordini inferiori al \(k

Buonasera, sono alle prime (primissime) armi con l'analisi complessa, e sto facendo conoscenza con la serie di Laurent. A questo proposito, ho visto diversi modi di ricavarla e vorrei fare mente locale. Ho dunque un esercizio d'esempio di cui ho i risultati ma non i procedimenti e una domanda teorica più generale. Partiamo con l'esempio: voglio lo sviluppo di Laurent di: $f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)$ negli insiemi $0<|z|<3 , 3<|z|<oo$ Io l'ho svolta così: $f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)=1/(z^2(z+3))+(3+z)/(z^2(z+3))=1/(z^2(z+3))+1/z^2$ Manipolo per trovare la serie ...

Perdonate la banalità della domanda, ma ho qui un dubbio di conti, non riesco a capire la "tecnica" che viene usata per calcolare i residui di funzioni a singolarità periodiche con $k!=0$. Allego due esempi: per $1/(zsinz)$ ho e per $e^(alphaz)/(1+e^z)$ ho Il concetto mi è chiaro, in entrambi i casi si calcolano i residui di poli semplici. Quel che non capisco è come mai i denominatori "sboccino" in quella sottrazione, e come da lì si passi ...

Nella seguente dimostrazione ci sono alcuni passaggi che non capisco Dimostra che \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} = \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \] Poniamo \[ f(z) : = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} \] e \[ g(z) := \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \] dimostriamo che \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \) e in seguito che \( f = g \). La serie che definisce \( f \) converge uniformemente in tutte le bande \( [a,b] \times i \mathbb{R} \). ...

Ciao Vorrei chiedere una mano riguardo le seguenti definizioni, in particolare sul secondo modo di vedere le cose. Non riesco cioè a capacitarmi cosa voglia dire che la mappa è un omomorfismo di gruppo e la mappa suddetta è in una azione di gruppo. Perché l'azione di gruppo richiederebbe un gruttp G e un insieme A $GxA->A$, non vedo senso nel $Gx\Phi->?$, $\Phi$ è una mappa.. Grazie per l'aiuto.

Salve a tutti! Sono una studentessa di fisica delle particelle, quindi laurea magistrale, e il prof mi ha chiesto di sviluppare i passaggi tre le relazioni presenti in un articolo, però ora mi sono imbattuta in un integrale complesso, che non ricordo minimamente. Ho cercato un po' quà e là, ma non sono convinta, quindi chiedo aiuto a voi. L'integrale è il seguente: $ \varphi\left(\lambda\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty+\sigma}^{+i\infty+\sigma}e^{u\lg u+\lambdau}du $ (il parametro sigma è arbitrario, identifica una retta parallela all'asse immaginario, nella parte di piano ...

Buonasera a tutti ancora una volta sono incappato in un problema nella risoluzione di un esercizio piuttosto banale riguardante il raggio di convergenza di una successione, almeno per come l'ho provato a risolvere io, peccato che mi torni un risultato diverso da quello che risulta sul testo. Vi posto l'esercizio: E la soluzione proposta (occhio, contiene un errore, è stato scambiato $Rh$ con $Rf$ nella soluzione) : Peccato che ...

Ciao, non capisco questo passaggio della dimostrazione. Data $L(u,v)=\int_{a}^{b}\sqrt{u'^2+v'^2}dx \quad \forall u,v\in W_{per}^{1,1}(a,b)$, riparametrizziamo la curva, ponendo $y=\eta(x) = -1 + \frac{2}{L(u,v)}\int_{a}^{x}\sqrt{u'^2+v'^2}dx$. Come ottengo $y$? Grazie

Sia \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa iniettiva. Dimostra che è suriettiva. Avete dei suggerimenti? non so da dove partire.

Salve a tutti, ho nuovamente un problema con una trasformata Z, questa volta per il calcolo della trasformata e non dell'anti trasformata. Qui sotto il testo con la soluzione dell'esercizio. Ho provato a risolverla ma non so proprio come imporre la condizione su n ( $n=5k$ ), ho risolto esercizi dove la successione $f(n)$ assumeva valori diversi a seconda di n pari o dispari, ma in questo caso non so proprio come agire Ho provato anche ad applicare ...

Secondo voi è giusta questa trasformata di Laplace? $Lint_0 ^t sin(3s)y(t-s) ds = hat(y)(z) 3/(9+z^2)$

Sia \( f: \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f(1/n) =0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \), è vero che \( f \) è identicamente nulla? Se vero dimostra se falso controesempio. Allora dovrebbe essere falso, infatti scegliendo \( f(z) = \sin( \frac{\pi}{z} ) \) dovrebbe essere olomorfa in \( \mathbb{C}^* \), si annulla per ogni \( \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N}^* \) ma non è identicamente nulla. Mi chiedevo però se l'enunciato risulta vero se cambiamo il ...