Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Sia \( f \) una funzione meromorfa su \( \mathbb{C} \) che è limitata, dimostra che è costante.
Se è una funzione meromorfa allora possiede dei poli o delle singolarità eliminabili isolati. Sia \( \mathcal{A} \), l'insieme delle sue singolarità isolate e consideriamo \( z_0 \in \mathcal{A} \), supponiamo che \(z_0 \) è un polo di ordine \(k \) allora facendo lo sviluppo di Laurent in un intorno bucato di \(z_0 \) abbiamo che
\[ f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + ...
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Studente Anonimo
19 dic 2019, 10:44
Dimostra che per tutti gli \(n \in \mathbb{N} \) abbaiamo
\[ \zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n} \]
dove \( B_n \) sono i numeri di Bernoulli.
Non capisco un passaggio della dimostrazione.
Costatiamo che in \( D(0,2\pi) \) abbiamo
\[ \frac{z}{2} \left( \frac{e^{z/2} + e^{-z/2}}{e^{z/2} - e^{-z/2}} \right) = \frac{z}{e^z -1} + \frac{z}{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \]
sostituendo \(z \) con \( 2 \pi i z \) otteniamo nel disco \( \mathbb{D} ...
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Studente Anonimo
17 dic 2019, 13:38
Da un certo punto in poi non capisco più il motivo per cui fa
Definiamo
Sia \( \delta >0 \) e \( \delta \mathbb{Z}^n := \{ \delta x , x \in \mathbb{Z}^n \} \) una passeggiata aleatoria. Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un dominio con \( \partial \Omega \) liscio per pezzi.
Notiamo \( b \subset \partial \Omega \) e \( b_{\delta} = \{ x \in \partial \Omega_{\delta} : d(x,b) \leq \delta \} \), dove \( \Omega_{\delta} := \Omega \cap \delta \mathbb{Z}^n \).
per \( x \in \Omega_{\delta} \cup ...
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Studente Anonimo
18 dic 2019, 07:10
"arnett":Ammettiamo che io voglia mostrare il fatto seguente: \[\int_\Omega u^ p \to |\Omega| \quad \text { per } p \to 0^+,\] dove $u:\RR^n \to \RR$ è misurabile e $\Omega$ è un sottoinsieme misurabile di $\RR^n$. Come si fa?
Costruirei la successione ${u_n}_{n \in \NN}$ definita da $u_n(x)= (u(x))^{1/n}$. Allora $u_n \to 1$ puntualmente e $|u_n|\le |u|=|u_1|$, quindi se $u$ sta in $L^1(\Omega)$, la convergenza dominata di Lebesgue mi permette di ...
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Studente Anonimo
17 dic 2019, 11:32
Ho un dubbio nella dimostrazione di questa disuguaglianza. Per provarla, nella dimostrazione si prova che
$\int_{0}^{1}u'^2dx\geq\pi^2\int_{0}^{1}u^2dx$
Quindi, considera la funzione $f_\lambda(u,\xi)=\frac{\xi^2-\lambda^2u^2}{2}$ e cerchiamo il minimo della funzione integrale $I(u)=\int_{0}^{1}f_\lambda(u(x),u'(x))dx$, dove $inf_{u\in X}I(u)=m_\lambda$, dove $X={u\in C^1([0,1]):u(0)=u(1)=0}$.
Inoltre $\xi\rightarrow f_\lambda(u,\xi)$ è convessa.
Usando l'equazione di Eulero-Lagrange
\begin{equation*}
u''+\lambda^2u=0 \qquad u'^2+\lambda^2u^2=costante
\end{equation*}
Qui la parte che non capisco:
-se ...
Potrebbe andare così
\[ f_{2n}(z):= \sum\limits_{\sigma} \frac{1}{(z-z_{\sigma(2)})^2\ldots (z_{\sigma(2n-1)}-z_{\sigma(2n)})^2}\]
Dove \( z_2,\ldots,z_{2n} \in \mathbb{C} \) sono dei parametri tutti distinti tra loro.
Abbiamo allora che \( f(z) \) è meromorfa. Scegliamo dunque un polo, diciamo \(z_2 \), e facciamo lo sviluppo di Laurent attorno a questo polo, con un anello \( A(z_2,0,R) \), con \( R \in \mathbb{R} \).
Sappiamo che non ci possono essere ordini inferiori al \(k
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Studente Anonimo
5 dic 2019, 17:56
Buonasera, sono alle prime (primissime) armi con l'analisi complessa, e sto facendo conoscenza con la serie di Laurent. A questo proposito, ho visto diversi modi di ricavarla e vorrei fare mente locale. Ho dunque un esercizio d'esempio di cui ho i risultati ma non i procedimenti e una domanda teorica più generale. Partiamo con l'esempio: voglio lo sviluppo di Laurent di:
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)$ negli insiemi $0<|z|<3 , 3<|z|<oo$
Io l'ho svolta così:
$f(z)=(4+z)/(z^3+3z^2)=1/(z^2(z+3))+(3+z)/(z^2(z+3))=1/(z^2(z+3))+1/z^2$
Manipolo per trovare la serie ...
Perdonate la banalità della domanda, ma ho qui un dubbio di conti, non riesco a capire la "tecnica" che viene usata per calcolare i residui di funzioni a singolarità periodiche con $k!=0$. Allego due esempi:
per $1/(zsinz)$ ho
e per $e^(alphaz)/(1+e^z)$ ho
Il concetto mi è chiaro, in entrambi i casi si calcolano i residui di poli semplici. Quel che non capisco è come mai i denominatori "sboccino" in quella sottrazione, e come da lì si passi ...
Nella seguente dimostrazione ci sono alcuni passaggi che non capisco
Dimostra che
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} = \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \]
Poniamo \[ f(z) : = \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} \] e
\[ g(z) := \frac{ \pi^2}{\sin^2(\pi z)} \]
dimostriamo che \( f \) converge su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z} \) e in seguito che \( f = g \).
La serie che definisce \( f \) converge uniformemente in tutte le bande \( [a,b] \times i \mathbb{R} \). ...
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Studente Anonimo
14 dic 2019, 03:29
Ciao
Vorrei chiedere una mano riguardo le seguenti definizioni, in particolare sul secondo modo di vedere le cose.
Non riesco cioè a capacitarmi cosa voglia dire che la mappa è un omomorfismo di gruppo e la mappa suddetta è in una azione di gruppo.
Perché l'azione di gruppo richiederebbe un gruttp G e un insieme A $GxA->A$, non vedo senso nel $Gx\Phi->?$, $\Phi$ è una mappa..
Grazie per l'aiuto.
Salve a tutti! Sono una studentessa di fisica delle particelle, quindi laurea magistrale, e il prof mi ha chiesto di sviluppare i passaggi tre le relazioni presenti in un articolo, però ora mi sono imbattuta in un integrale complesso, che non ricordo minimamente. Ho cercato un po' quà e là, ma non sono convinta, quindi chiedo aiuto a voi.
L'integrale è il seguente: $ \varphi\left(\lambda\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty+\sigma}^{+i\infty+\sigma}e^{u\lg u+\lambdau}du $
(il parametro sigma è arbitrario, identifica una retta parallela all'asse immaginario, nella parte di piano ...
Buonasera a tutti ancora una volta sono incappato in un problema nella risoluzione di un esercizio piuttosto banale riguardante il raggio di convergenza di una successione, almeno per come l'ho provato a risolvere io, peccato che mi torni un risultato diverso da quello che risulta sul testo. Vi posto l'esercizio:
E la soluzione proposta (occhio, contiene un errore, è stato scambiato $Rh$ con $Rf$ nella soluzione) :
Peccato che ...
Ciao, non capisco questo passaggio della dimostrazione. Data $L(u,v)=\int_{a}^{b}\sqrt{u'^2+v'^2}dx \quad \forall u,v\in W_{per}^{1,1}(a,b)$, riparametrizziamo la curva, ponendo $y=\eta(x) = -1 + \frac{2}{L(u,v)}\int_{a}^{x}\sqrt{u'^2+v'^2}dx$. Come ottengo $y$? Grazie
Sia \( f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa iniettiva. Dimostra che è suriettiva.
Avete dei suggerimenti? non so da dove partire.
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Studente Anonimo
6 dic 2019, 18:33
Salve a tutti,
ho nuovamente un problema con una trasformata Z, questa volta per il calcolo della trasformata e non dell'anti trasformata. Qui sotto il testo con la soluzione dell'esercizio.
Ho provato a risolverla ma non so proprio come imporre la condizione su n ( $n=5k$ ), ho risolto esercizi dove la successione $f(n)$ assumeva valori diversi a seconda di n pari o dispari, ma in questo caso non so proprio come agire
Ho provato anche ad applicare ...
Secondo voi è giusta questa trasformata di Laplace?
$Lint_0 ^t sin(3s)y(t-s) ds = hat(y)(z) 3/(9+z^2)$
Sia \( f: \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f(1/n) =0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \), è vero che \( f \) è identicamente nulla? Se vero dimostra se falso controesempio.
Allora dovrebbe essere falso, infatti scegliendo \( f(z) = \sin( \frac{\pi}{z} ) \) dovrebbe essere olomorfa in \( \mathbb{C}^* \), si annulla per ogni \( \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N}^* \) ma non è identicamente nulla.
Mi chiedevo però se l'enunciato risulta vero se cambiamo il ...
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Studente Anonimo
7 dic 2019, 15:25
Sapendo che $ L(t^(−1/2))(s) =sqrt(pi/s) $ determinare le trasformate di Laplace delle seguenti funzioni
F(t) =$tsqrt(t)$
G(t) = $ e^(3t)*int_(0)^(t) sin(t-\tau)/sqrt(\tau) d\tau $
$ H(t)={ ( 0),( sqrt(5t-3) ):} $ ( vale 0 per $0\leqt\leq3/5) $ e $sqrt(5t-3)$ per $ t>3/5 $
Per la prima sfrutto la proprietà $ L[tr(t)] = -R'(s) $ sia per il calcolo della trasformata di $sqrt(t)$(sfruttando la trasformata data all'inizio) , sia per quella della $tsqrt(t)$ e quindi non ci sono particolari problemi.
Per la seconda ho ...
Buonasera a tutti
Scrivo in merito di un esercizio che chiede di calcolare l'antitraformata Z di una funzione razionale complessa e il rispettivo raggio di convergenza.
La funzione da antitrasformare è $ F(z)= \frac{z^3+1}{z^4+1}$ con $z=x+iy$ e la soluzione è:
$ fn=(-1)^k$ per $ n=4k+1$ e $ n=4k+4$
$ fn=0$ Altrimenti
e per il raggio di convergenza si ha $ Rf=1$
Ora, per il raggio di convergenza non ci sono problemi e neppure per il calcolo del ...
Dimostra che le applicazioni conformi da \( \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) sono della forma
\[ z \mapsto \frac{az+b}{cz+d} \]
dove \[ \begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix} \in SL_2(\mathbb{R} \]
Allora la mia idea era la seguente
se considero la trasformazione di mobius \( \varphi_1 : \mathbb{H} \to D(0,1) \) definita da \[ z \mapsto -i \frac{z-1}{z+1} \]
E prendo la sua inversa \( \varphi_1^{-1} : D(0,1) \to \mathbb{H}\) definita da \[ z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \]
Posso lavorare sul ...
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Studente Anonimo
18 nov 2019, 23:32
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