Funzione meromorfa costante.
Sia \( f \) una funzione meromorfa su \( \mathbb{C} \) che è limitata, dimostra che è costante.
Se è una funzione meromorfa allora possiede dei poli o delle singolarità eliminabili isolati. Sia \( \mathcal{A} \), l'insieme delle sue singolarità isolate e consideriamo \( z_0 \in \mathcal{A} \), supponiamo che \(z_0 \) è un polo di ordine \(k \) allora facendo lo sviluppo di Laurent in un intorno bucato di \(z_0 \) abbiamo che
\[ f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \]
Pertanto facendo il limite otteniamo che
\[ \lim\limits_{z \to z_0 } f(z) = \lim\limits_{z \to z_0 } \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \infty\]
Pertanto non può essere limitata su \( \mathbb{C} \), dunque \( \forall z_0 \in \mathcal{A} \) abbiamo che \( z_0 \) è una singolarità eliminabile. Dunque per ogni \(z_0 \in \mathcal{A} \) abbiamo che in un intorno bucato di \(z_0 \) lo sviluppo di Laurent è
\[ f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n,z_0} (z-z_0)^n \]
Pertanto poniamo \[ g(z) := \left\{\begin{matrix}
f(z)& \text{se}& z \not\in \mathcal{A} \\
a_{0,z}& \text{se}& z \in \mathcal{A}
\end{matrix}\right. \]
Abbiamo che \( g \) è una funzione intera su \( \mathbb{C} \) e limitata poiché è prolungamento analitico di \(f \) su \( \mathbb{C} \), pertanto costante per Liouville, segue che \( f \) è costante.
Vi sembra funzionare?
Se è una funzione meromorfa allora possiede dei poli o delle singolarità eliminabili isolati. Sia \( \mathcal{A} \), l'insieme delle sue singolarità isolate e consideriamo \( z_0 \in \mathcal{A} \), supponiamo che \(z_0 \) è un polo di ordine \(k \) allora facendo lo sviluppo di Laurent in un intorno bucato di \(z_0 \) abbiamo che
\[ f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \]
Pertanto facendo il limite otteniamo che
\[ \lim\limits_{z \to z_0 } f(z) = \lim\limits_{z \to z_0 } \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \infty\]
Pertanto non può essere limitata su \( \mathbb{C} \), dunque \( \forall z_0 \in \mathcal{A} \) abbiamo che \( z_0 \) è una singolarità eliminabile. Dunque per ogni \(z_0 \in \mathcal{A} \) abbiamo che in un intorno bucato di \(z_0 \) lo sviluppo di Laurent è
\[ f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n,z_0} (z-z_0)^n \]
Pertanto poniamo \[ g(z) := \left\{\begin{matrix}
f(z)& \text{se}& z \not\in \mathcal{A} \\
a_{0,z}& \text{se}& z \in \mathcal{A}
\end{matrix}\right. \]
Abbiamo che \( g \) è una funzione intera su \( \mathbb{C} \) e limitata poiché è prolungamento analitico di \(f \) su \( \mathbb{C} \), pertanto costante per Liouville, segue che \( f \) è costante.
Vi sembra funzionare?
Risposte
Certo, però il limite lo farei del modulo, così non devi stare a spiegare cosa significa \(\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty\). E poi, non è quello che ti serve. A te serve che il modulo sia grande, e basta.
"dissonance":
Certo, però il limite lo farei del modulo, così non devi stare a spiegare cosa significa \(\lim_{z\to z_0}f(z)=\infty\). E poi, non è quello che ti serve. A te serve che il modulo sia grande, e basta.
Vero il limite meglio del modulo. Ma il fatto che il modulo va ad infinito implica che posso prenderlo grande quanto voglio in un intorno bucato di \(z_0 \) e quindi che non può essere limitato.
Eh si.
O in alternativa posso dimostrare che se \( f \) meromorfa in \( \mathbb{C} \), e se \( (z_n )_{n \in \mathbb{N}} \) è una successione convergente verso \(z \in \mathbb{C} \) con \( (f( z_n))_{n \in \mathbb{N}} \) limitata allora \( z \) non può essere un polo della funzione.
Infatti risulta essere di immediata conseguenza poiché \( \forall z \in \mathbb{C} \) esiste una successione di \( (z_n )_{n \in \mathbb{N}}\) con \( z_n \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{A} \) che converge a \(z \), poiché le singolarità di una funzione meromorfa sono isolate.
Pertanto poiché \( z_n \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{A} \) per ogni \(n \), abbiamo che \( (f( z_n))_{n \in \mathbb{N}} \) è limitata in quanto \(f \) è limitata, dunque \( z \) non è un polo.
Dimostrazione \( (z_n )_{n \in \mathbb{N}} \) è una successione convergente verso \(z \in \mathbb{C} \) con \( (f( z_n))_{n \in \mathbb{N}} \) limitata allora \( z \) non può essere un polo della funzione.
Se \( z \) è un polo di ordine \(k \) allora in un intorno bucato di \( z \) abbiamo che vi sono un infinità di termini della successione \( (z_n) \), e per termini della successione arbitrariamente vicini a \( z \) otteniamo che \( f(z_n) \) è arbitrariamente grande, infatti considerando lo sviluppo in serie di Laurent della \( f \) in un intorno bucato di \(z \), e sia \( M \in \mathbb{R}_+ \) arbitrariamente grande allora abbiamo che
\[ \left| \frac{a_{-k}}{(z-z_n)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z_0-z_n)^n \right| > M \]
Proprio perché \( \lim\limits_{n \to \infty} \left|f(z_n)\right|=\lim\limits_{z_n \to z} \left|f(z_n)\right|= \infty \)
Infatti risulta essere di immediata conseguenza poiché \( \forall z \in \mathbb{C} \) esiste una successione di \( (z_n )_{n \in \mathbb{N}}\) con \( z_n \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{A} \) che converge a \(z \), poiché le singolarità di una funzione meromorfa sono isolate.
Pertanto poiché \( z_n \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{A} \) per ogni \(n \), abbiamo che \( (f( z_n))_{n \in \mathbb{N}} \) è limitata in quanto \(f \) è limitata, dunque \( z \) non è un polo.
Dimostrazione \( (z_n )_{n \in \mathbb{N}} \) è una successione convergente verso \(z \in \mathbb{C} \) con \( (f( z_n))_{n \in \mathbb{N}} \) limitata allora \( z \) non può essere un polo della funzione.
Se \( z \) è un polo di ordine \(k \) allora in un intorno bucato di \( z \) abbiamo che vi sono un infinità di termini della successione \( (z_n) \), e per termini della successione arbitrariamente vicini a \( z \) otteniamo che \( f(z_n) \) è arbitrariamente grande, infatti considerando lo sviluppo in serie di Laurent della \( f \) in un intorno bucato di \(z \), e sia \( M \in \mathbb{R}_+ \) arbitrariamente grande allora abbiamo che
\[ \left| \frac{a_{-k}}{(z-z_n)^k} + \ldots + \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z_0-z_n)^n \right| > M \]
Proprio perché \( \lim\limits_{n \to \infty} \left|f(z_n)\right|=\lim\limits_{z_n \to z} \left|f(z_n)\right|= \infty \)
Si, ma è esattamente la contrapposizione di \(\lim_{z\to z_0} |f(z)|=\infty\). Ovvero, è sempre la stessa cosa.
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