Integrale sul piano complesso

[jessica.ferrara.pa]

Salve a tutti! Sono una studentessa di fisica delle particelle, quindi laurea magistrale, e il prof mi ha chiesto di sviluppare i passaggi tre le relazioni presenti in un articolo, però ora mi sono imbattuta in un integrale complesso, che non ricordo minimamente. Ho cercato un po' quà e là, ma non sono convinta, quindi chiedo aiuto a voi.
L'integrale è il seguente: $ \varphi\left(\lambda\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty+\sigma}^{+i\infty+\sigma}e^{u\lg u+\lambdau}du $
(il parametro sigma è arbitrario, identifica una retta parallela all'asse immaginario, nella parte di piano reale positiva).
Il testo dice che, per grandi valori di lambda positivi, conviene valutarlo lungo la curva aperta che ha una circonferenza di piccolo raggio centrata nell'origine e due semirette parallele percorse una in senso orario (sotto asse reale) e una in senso antiorario (sopra asse reale) uscenti dalla circonferenza. A questo punto, dice che l'integrale assume la forma
$ \varphi\left(\lambda\right)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda u-u\lg u}\sin\left(\pi u\right)du $ .
Come si passa da uno all'altro?
Grazie in anticipo a chi risponderà

[dissonance]

Non lo so. Ma quella è una trasformata di Laplace inversa:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_L ... se_formula

Sarà sicuramente qualche passaggio standard per fare questo tipo di conti.