Funzione identicamente nulla.
Sia \( f: \mathbb{C}^* \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f(1/n) =0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \), è vero che \( f \) è identicamente nulla? Se vero dimostra se falso controesempio.
Allora dovrebbe essere falso, infatti scegliendo \( f(z) = \sin( \frac{\pi}{z} ) \) dovrebbe essere olomorfa in \( \mathbb{C}^* \), si annulla per ogni \( \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N}^* \) ma non è identicamente nulla.
Mi chiedevo però se l'enunciato risulta vero se cambiamo il dominio
Sia \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f(1/n) =0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \), è vero che \( f \) è identicamente nulla? Se vero dimostra se falso controesempio.
Credo sia vero, e mi chiedevo se va bene dimostrarlo come segue
Sia \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) come nell'enunciato, abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è analitica in senso reale. Inoltre abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } (1/n)=0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \). E ricordo che l'anno scorso ho dimostrato che questo implica che \( f|_{\mathbb{R} } =0 \). Dunque abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } = f \) su \( \mathbb{R} \) e quindi per prolungamento analitico complesso abbiamo che \( f = 0 \) su \( \mathbb{C} \)
Allora dovrebbe essere falso, infatti scegliendo \( f(z) = \sin( \frac{\pi}{z} ) \) dovrebbe essere olomorfa in \( \mathbb{C}^* \), si annulla per ogni \( \frac{1}{n} \) con \( n \in \mathbb{N}^* \) ma non è identicamente nulla.
Mi chiedevo però se l'enunciato risulta vero se cambiamo il dominio
Sia \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa tale che \( f(1/n) =0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \), è vero che \( f \) è identicamente nulla? Se vero dimostra se falso controesempio.
Credo sia vero, e mi chiedevo se va bene dimostrarlo come segue
Sia \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) come nell'enunciato, abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è analitica in senso reale. Inoltre abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } (1/n)=0 \) per ogni \( n \in \mathbb{N}^* \). E ricordo che l'anno scorso ho dimostrato che questo implica che \( f|_{\mathbb{R} } =0 \). Dunque abbiamo che \( f|_{\mathbb{R} } = f \) su \( \mathbb{R} \) e quindi per prolungamento analitico complesso abbiamo che \( f = 0 \) su \( \mathbb{C} \)
Risposte
Gli zeri di una funzione olomorfa sono punti isolati (si dimostra sviluppando la funzione nel punto in cui si annulla).
Dunque gli zeri di una funzione intera non identicamente nulla non possono accumularsi (perché?).
(Nota che nell'esempio \(f:\mathbb{C}^*\rightarrow\mathbb{C}\) da te proposto gli zeri si accumulano in un punto in cui la $f$ non è definita).
P.S. La tua dimostrazione comunque va bene secondo me, ti sto solo proponendo un'alternativa che penso sia più naturale e più generale.
Dunque gli zeri di una funzione intera non identicamente nulla non possono accumularsi (perché?).
(Nota che nell'esempio \(f:\mathbb{C}^*\rightarrow\mathbb{C}\) da te proposto gli zeri si accumulano in un punto in cui la $f$ non è definita).
P.S. La tua dimostrazione comunque va bene secondo me, ti sto solo proponendo un'alternativa che penso sia più naturale e più generale.
Beh non possono accumularsi perché siccome sono isolati vuol dire che esiste per ogni zero della funzione, ne scegliamo uno e diciamo \(z_0 \), esiste un intorno di \(z_0 \) in cui la funzione non si annulla da nessuna parte se non in \(z_0 \). Mentre se gli zeri si accumulano diciamo in \( 0 \), allora per continuità \( f(0)=0 \) e per ogni intorno di \( 0 \) abbiamo infiniti zeri.
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