Probabilità passeggiata aleatoria.
Da un certo punto in poi non capisco più il motivo per cui fa
Definiamo
Sia \( \delta >0 \) e \( \delta \mathbb{Z}^n := \{ \delta x , x \in \mathbb{Z}^n \} \) una passeggiata aleatoria. Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un dominio con \( \partial \Omega \) liscio per pezzi.
Notiamo \( b \subset \partial \Omega \) e \( b_{\delta} = \{ x \in \partial \Omega_{\delta} : d(x,b) \leq \delta \} \), dove \( \Omega_{\delta} := \Omega \cap \delta \mathbb{Z}^n \).
per \( x \in \Omega_{\delta} \cup \partial \Omega_{\delta} \) ci interessiamo a
\[ \mathcal{H}_{\delta}(x,b)= \mathbb{P}\{ \text{una passeggiata aleatoria su}\ \delta \mathbb{Z} \ \text{tocca}\ b_{\delta}\ \text{prima di } \partial \Omega \setminus b_{\delta} \} \]
Ad esempio sul disco unitario \( \mathbb{D} \), se consideriamo una passeggiata aleatoria partendo da \( z \in \mathbb{D}_{\delta} \). Qual'è la probabilità che si esce da \( \mathbb{D}_{\delta} \) attraverso il quadrante superiore destro quando \( \delta \to 0 \) ?
Da qui in poi non capisco perché fa queste cose per trovare la probabilità onestamente. In particolare non capisco come fa a dire che trovando la \( f \) armonica e componendola con \( \varphi \) ottiene la probabilità di quell evento.
Per risolvere questo problema abbiamo che \( \mathcal{H}_{\delta}(\cdot,b) \to \mathcal{H}(\cdot,b) \)
quando \( \delta \to 0 \) dove \( \mathcal{H}(\cdot,b) \) soddisfa
\(\Delta \mathcal{H}(\cdot,b)=0 \) su \( \Omega \), e per \( x \in \partial \Omega \).
\[ \lim\limits_{z\to x, z \in \Omega} \mathcal{H}(z,b) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se}& x \in \operatorname{Int}(b)\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Pertanto abbiamo che siccome \( \mathbb{D} \) è un semplicemente connesso esiste un applicazione conforme \( \varphi : \mathbb{D} \to \mathbb{H}:= \{ z : \Im(z) >0 \}\), ad esempio \( z \mapsto i \frac{z-1}{z+1} \)
pertanto dobbiamo risolvere il problema su \( \mathbb{H} \) e trovare una funzione armonica \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{R} \) tale che
\[ \lim_{z \to x} f(z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se}& x \in (\alpha,\beta)\\
0 & \text{se} & x \in \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta]
\end{matrix}\right. \]
osserviamo che \( z \mapsto \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{z-\beta}{z-\alpha} \right) \) soddisfa questa proprietà. Pertanto la probabilità che si esce da \( \mathbb{D}_{\delta} \) attraverso il quadrante superiore destro quando \( \delta \to 0 \) è data da
\[ \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{i \frac{z-1}{z+1} - 1 }{i \frac{z-1}{z+1} } \right) = \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{z(i-1)-(1+i)}{i(z-1)} \right) \]
Definiamo
Sia \( \delta >0 \) e \( \delta \mathbb{Z}^n := \{ \delta x , x \in \mathbb{Z}^n \} \) una passeggiata aleatoria. Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un dominio con \( \partial \Omega \) liscio per pezzi.
Notiamo \( b \subset \partial \Omega \) e \( b_{\delta} = \{ x \in \partial \Omega_{\delta} : d(x,b) \leq \delta \} \), dove \( \Omega_{\delta} := \Omega \cap \delta \mathbb{Z}^n \).
per \( x \in \Omega_{\delta} \cup \partial \Omega_{\delta} \) ci interessiamo a
\[ \mathcal{H}_{\delta}(x,b)= \mathbb{P}\{ \text{una passeggiata aleatoria su}\ \delta \mathbb{Z} \ \text{tocca}\ b_{\delta}\ \text{prima di } \partial \Omega \setminus b_{\delta} \} \]
Ad esempio sul disco unitario \( \mathbb{D} \), se consideriamo una passeggiata aleatoria partendo da \( z \in \mathbb{D}_{\delta} \). Qual'è la probabilità che si esce da \( \mathbb{D}_{\delta} \) attraverso il quadrante superiore destro quando \( \delta \to 0 \) ?
Da qui in poi non capisco perché fa queste cose per trovare la probabilità onestamente. In particolare non capisco come fa a dire che trovando la \( f \) armonica e componendola con \( \varphi \) ottiene la probabilità di quell evento.
Per risolvere questo problema abbiamo che \( \mathcal{H}_{\delta}(\cdot,b) \to \mathcal{H}(\cdot,b) \)
quando \( \delta \to 0 \) dove \( \mathcal{H}(\cdot,b) \) soddisfa
\(\Delta \mathcal{H}(\cdot,b)=0 \) su \( \Omega \), e per \( x \in \partial \Omega \).
\[ \lim\limits_{z\to x, z \in \Omega} \mathcal{H}(z,b) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se}& x \in \operatorname{Int}(b)\\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]
Pertanto abbiamo che siccome \( \mathbb{D} \) è un semplicemente connesso esiste un applicazione conforme \( \varphi : \mathbb{D} \to \mathbb{H}:= \{ z : \Im(z) >0 \}\), ad esempio \( z \mapsto i \frac{z-1}{z+1} \)
pertanto dobbiamo risolvere il problema su \( \mathbb{H} \) e trovare una funzione armonica \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{R} \) tale che
\[ \lim_{z \to x} f(z) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se}& x \in (\alpha,\beta)\\
0 & \text{se} & x \in \mathbb{R} \setminus [\alpha,\beta]
\end{matrix}\right. \]
osserviamo che \( z \mapsto \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{z-\beta}{z-\alpha} \right) \) soddisfa questa proprietà. Pertanto la probabilità che si esce da \( \mathbb{D}_{\delta} \) attraverso il quadrante superiore destro quando \( \delta \to 0 \) è data da
\[ \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{i \frac{z-1}{z+1} - 1 }{i \frac{z-1}{z+1} } \right) = \frac{1}{\pi} \operatorname{arg}\left( \frac{z(i-1)-(1+i)}{i(z-1)} \right) \]
Risposte
C'è una "interpretazione probabilistica delle funzioni armoniche", solo che adesso ho difficoltà a trovare una referenza perché vado proprio di fretta. Essenzialmente è questa roba qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_measure
solo che tu hai bisogno solo di un \(\epsilon\) di tutta la roba scritta in questa pagina.
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_measure
solo che tu hai bisogno solo di un \(\epsilon\) di tutta la roba scritta in questa pagina.
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