Analisi superiore

Ciao, ho un dubbio. Guardando sui miei appunti di analisi complessa, mi trovo il teorema di trasformazione di Fourier di una derivata: Sia $f\in L^1(\mathbb{R})$, tale che esistano (q.o.) le sue derivate fino alla n-esima, tutte in $L^1(\mathbb{R})$. Allora $F(f^((n))(x))(\xi)=(2i\pi)^n \xi^n F(f(x))(\xi)$ (con F denoto la trasformazione di Fourier). Ora leggo sui suddetti che queste ipotesi in realtà non sono sufficienti. Infatti per dimostrarlo utilizza (lavorando per esempio per n=1) l'integrazione per parti (che vale comunque ...

Avrei una curiosità Se \( U \) è un semplicemente connesso che non contiene lo zero, allora esiste una determinazione del logaritmo. Prendiamo ad esempio \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) è semplicemente connesso e non contiene lo zero, quindi possiamo trovare una determinazione del logaritmo \(L \), ma la funzione \( \arg(z) \) è discontinua su \( \mathbb{R}_- \)? Si può quindi definire anche la radice su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_+ \) ? Ad esempio la radice \(n\)-esima \( ...

Dimostra che se \( f \) è una funzione intera tale che \( \Im (f) \leq ( \Re(f) )^2 \) allora abbiamo che \( f \) è costante. Non so se sia questa la strada ma: Abbiamo che l'intero asse immaginario superiore (ovvero \( ix \) con \( x >0 \)) non è immagine di nessun punto per la \(f \), altrimenti \( x \leq 0 \) è assurdo. Pertanto \( f(z) -i \neq 0 \) per ogni \(z \in \mathbb{C} \) dunque abbiamo che essendo \( f \) intera lo è anche \( g \) definita come: \[ g(z) := \frac{1}{f(z)-i} \] Se ...

Consideriamo la trasformata di Laplace \[ \mathcal{L}f(z) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-zt} dt \] Teorema: Sia \( f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{C} \) limitata e continua a pezzi. Se \( \mathcal{L}f \) si estende ad una funzione meromorfa su \( \mathbb{H}_{- \delta} := \{ z \in \mathbb{C} : \Re(z) > - \delta \}\) per \( \delta >0 \) e senza poli in \( \overline{ \mathbb{H}}_0 \) allora \( \int_{0}^{\infty} f(t) dt \) esiste e vale \( \mathcal{L}f(0 ) \) Non capisco perché dobbiamo avere così ...

Sia \( (f_n)_{n\geq 0} \) una successione di funzioni olomorfe, per ogni \( n \), \( f_n : U \to \mathbb{C} \) e per ogni compatto \( K \subset U \) abbiamo che \[ \sum\limits_{n\geq0} \sup_{z \in K} \left| f_n(z) \right| < + \infty \] Dimostra che allora \[ \sum_{n\geq0 } f_n(z) \] converge normalmente verso una funzione olomorfa. Vi sembra funzionare? Poniamo \( S_N := \sum\limits_{n =0}^{N} f_n \) abbiamo che \( ( S_N)_{N \geq0 } \) è una successione di funzioni olomorfe, per di più \( ...

Secondo me ci sono dei typo nelle definizioni seguenti che mi hanno dato Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con sviluppo in serie di Laurent in \(z_0 \) \[ f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \] chiamiamo "valutazione" (non so il termine in italiano, l'ho tradotto alla lettera) di \(f \) e lo notiamo \(v_{z_0}(f) \in \mathbb{N} \cup \{ \pm \infty \} \) la quantità \( \inf \{ n \in \mathbb{Z} : a_n\neq 0 \} \) Sia \(f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa con ...

Una funzione meromorfa per definizione è una funzione olomorfa \( f : U \setminus K \to \mathbb{C} \) dove \( K \) è un insieme di punti isolati in cui la funzione possiede delle singolarita eliminabili e/o dei poli. Pertanto se \( U \) è compatto abbiamo forzatamente che \( K \) è finito. Questo vuol dire che la funzione \( f: \mathbb{D}\setminus K \to \mathbb{C} \) dove \( K = \{ 1/n : n \in \mathbb{N}^* \} \cup \{ 0 \} \) definita come \( z \mapsto 1/\sin(\pi/z) \) non è ...

Probabilmente sarà una scemata che mi sfugge. Dimostra che se \( a_n \in \mathbb{C} \) e \[ \sum_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right|

Dimostra che se \( \phi : \mathbb{H} \to \mathbb{H} \) è una mappa conforme che fissa tre punti distinti, dove \( \mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} : \Im z > 0 \} \), allora \( \phi = id \). Vi sembra funzionare? Edit: Faccio la domanda perché mi sembra troppo facile e mi sembra strano quindi magari mi sfugge qualche sottigliezza. Ma se funziona allora è molto bello perché con una formulazione leggermente diversa potrebbe essere un esercizio che anche un liceale può tranquillamente ...

Trovare una funzione intera tale che \(f(z)=\omega\) ha un numero infinito di soluzioni per tutti gli \(\omega \in \mathbb{C} \), giustificare. Questa la mia idea: Poniamo \( f(z):=\sin(z) \), allora abbiamo che \( \sin(z)=\frac{e^{iz}- e^{-iz}}{2i} \) Da cui segue che se \(z_0=x+iy\) è soluzione di \( \sin(z_0)=\omega \), per \( \omega \in \mathbb{C} \) allora soddisfa \(e^{ix}e^{-y} - e^{-ix}e^{y} = 2i \omega \). E quindi anche \(z_k = x+2\pi k + i y \) è soluzione, per ogni \(k \in ...

Sia \( \Omega \neq \mathbb{C} \) un aperto. Dimostra che tutte le funzioni meromorfe in \( \Omega \) il cui insieme di poli è limitato, è il quoziente di due funzioni olomorfe. f(z) possiede un polo che è di modulo massimale diciamo \( R \), pertanto tutti i poli sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \), pertanto la funzione \( f \) è olomorfa in \( \Omega \setminus \overline{D(0,R+\epsilon)} \), pertanto siccome tutti i poli di \( f \) sono inclusi in \( D(0,R+\epsilon) \) abbiamo che \( f \) ...

Voglio dimostrare che esiste una sola funzione $u in H_0^1(0,1)$ tale che $int_0^1(3x+1)u'v'dx=int_0^1(12x-1)vdx$ Mi pare un'applicazione diretta del teorema di Lax-Milgram. Quindi mi serve che l'operatore bilineare a sinistra sia continuo e coercivo, e che l'operatore lineare a destra sia continuo. Parto dalla coercività (perché penso di averla dimostrata): ho che $|B(u,u)|=||3x-1||*||u'||_(L^2)^2$ ma visto che $3x+1>=1, x in [0,1]$ allora $||3x-1||>=1 -> |B(u,u)|>=||u'||_(L^2)^2$ Infine per la disuguaglianza di Poincaré $||u'||_(L^2)^2>=C||u||_(L^2)^2$ Quindi ...

Salve a tutti, mi sono imbattuto in uno dei primi esercizi sulle trasformate di Laplace di un corso di metodi matematici. La traccia è la seguente: dire se le seguenti funzioni sono trasformate di Laplace di segnali e in caso positivo risalire al segnale $ F_1(s)=(e^(-2s))/(s^2+2s+1) $ $ F_2(s)=(e^(-2s^2))/(s^2+2s+1) $ Dunque, so che una condizione necessaria affinché le funzioni siano trasformate di un segnale è che queste siano limitate in un semipiano $ Re(s)>sigma_0 $ La mia domanda è: come posso affermare con ...

Buondì, ho qui un esercizio per cui mi manca un pezzetto di procedimento. Voglio classificare le singolarità e calcolare il raggio di convergenza centrato in $z_0=1+2i$ di : $f(z)=e^(1/(z^2-1))$ Dunque, le singolarità sono $z=+-1$ e sono entrambe essenziali, dunque mi aspetterò che lo sviluppo di Laurent abbia infiniti termini a potenza negativa di $(z+-1)$. Il problema arriva col raggio di convergenza. Sviluppando la funzione secondo Laurent ho $f(z)=sum_(n=0)^oo1/(n!)1/((z+1)^n(z-1)^n)$ che ...

Ciao a tutti, sto studiando la teoria delle distribuzioni da autodidatta e ho qualche problema nel riuscire a calcolare le derivate, per esempio in questo esercizio: \(\displaystyle f(x)=|x-2|u(x)-|x|u(x-2), x\in R\) Io applico la definizione per le derivate cioè: \(\displaystyle \) ottendo l'integrale \(\displaystyle \int{f(x)\phi'(x) dx} \), ma non riesco a trovare il risultato... Qualcuno mi può aiutare? Grazie a tutti

Ciao a tutti, Mi trovo in difficoltà con degli esercizi che chiedono di calcolare il valore di un'integrale lungo una curva. L'esercizio chiede: Se \(\displaystyle \gamma(t)=2+6e^{it}\), \(\displaystyle t \in [0;2\pi) \), allora \(\displaystyle \int \frac{z^2}{z+2} dz \) vale: a) \( \displaystyle 8i\pi \) b) \( \displaystyle 4i\pi \) c) \( \displaystyle 2i\pi \) d) \( \displaystyle -2i\pi \) Applicando la formula integrale di Cauchy mi verrebbe da indicare la risposta c, ma quella ...

Buonasera, sto cozzando contro un esercizio che credo abbia rivelato una mia lacuna... Considero $f_n(x)=sqrtn/(1+(nx)^2), x in R$ Devo verificare che $f_n->f$ in $L^p, p=1,2$ Ho semplicemente attaccato la definizione, e dunque per $p=1$ (e poi anche per l'altro caso): $int_R|sqrtn/(1+(nx)^2)|dx=pi/sqrtn <oo$ e dunque la prima situazione è verificata. Il problema è che l'esercizio qui mi conferma che è verificato per p=1, ma dice che è perché quell'integrale converge a zero. Ho invece il problema ...

Buon pomeriggio mi aiutate a calcolarmi: $ 3^(log_2(log_2(n))log_2(3) $ Il risultato è: $ log_2(n) $ Grazie in anticipo

Vorrei proporre un bell'esercizio tratto da un esame di Analisi 3 dell'Università di Roma Tor Vergata. Siano $f(x)$ una funzione di $L^{1}(\mathbb{R}^{n})\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, $A_{t}=\{x\in\mathbb{R}^{n} : |x_{1}|\le t\}$ per ogni $t>0.$ Dimostrare che $$F(t)=\int_{\mathbb{R}^{n}\setminus A_{t}}|f(x)|^2\mbox{d}x$$ è una funzione ben posta e calcolare i limiti $\lim_{t\to 0^{+}}F(t)$ e $\lim_{t\to +\infty}F(t).$ Per favore, se usate teoremi poco noti, riportatene l'enunciato (se poi riportate anche un ...

Sia $E sub RR^n$ un insieme misurabile e sia $F sub RR$. Sia $f:E->RR$ una funzione misurabile Sia $g:ExxF->RR$ Caratheodory, cioè: -$y |-> g(x,y)$ è continua per q.o. $x in E$ ($y in F$) -$x |-> g(x,y)$ è misurabile $AA y in F$ ($x in E$) Se $f(E) sub F$, dimostrare che $x |->g(x,f(x))$ è misurabile Pensavo di dimostralo prima per le funzioni f semplici e poi estenderlo al caso delle funzioni generiche. Sia f una ...