Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Salve a tutti,
Purtroppo devo chiedervi di nuovo assistenza in quanto questo argomento è trattato con i piedi sugli appunti prestatimi dal mio collega e non riesco a trovare nulla di soddisfacente su alcuni testi specifici.
L'altra volta ho postato una domanda sull'equazione delle onde, nella quale scrivevo di come fosse possibile risolvere tale problema con l'utilizzo del "metodo delle caratteristiche", tramite il quale si individuava un opportuno cambiamento di variabili che semplificava di ...
Ho il seguente esercizio
Non ho idea di dove cominciare. Ho provato a ragionare un po' sulle ipotesi che mi vengono date ma, partendo dal primo punto, il mio problema è proprio la richiesta. Come faccio a mostrare che una misura coincide con quella di Lebesgue? L'unica cosa che mi viene in mente è prendere un insieme qualsiasi e far vedere che calcolando le due misure queste coincidano... In questo caso il calcolo della misura di Lebesgue okay, ma l'altra? Come dovrei fare?
Salve,
Sono alla presa con lo studio di modelli matematici tipici di Equazioni alle Derivate Parziali (EDP).
Mi sono imbattuto nello studio del problema che modellizza un'onda bidimensionale
$ (partial^2u)/(partialt^2)=c^2(partial^2u)/(partialx^2) $
con I.C.
$ u(x,0) = g(x) $ e $ u_t(x,0) = h(x) $
e con B.C. alla Dirichlet omogenee
$ u(0,t) = 0 $ e $ u(L,t) = 0 $
con $ 0 <= x <= L $ e $ 0 <= t <= T $
Adesso, sugli appunti da cui sto studiando, mi suggerisce il cambiamento di variabili
$ xi = x +ct $ e ...
Ho questo problema:
Consideriamo il problema (P) dato dall’equazione $ (partial u)/(partial t) (t,x) = (partial^2 u)/(partial x^2) (t,x) $ sull’intervallo spaziale $[0, \pi]$ con le condizioni al bordo $u(t, 0) = 0$ e $u(t, \pi) = \pi t^2 $ e la condizione iniziale $u(0, x) = 0$.
a) Discutere l’unicità della soluzione.
b) Discutere l’esistenza della soluzione.
Il mio approccio voleva essere il seguente:
Cerco un cambio di variabili del tipo $ u(t,x) = v(t,x) - f(t,x) $ in modo da ricondurmi all'equazione del calore con condizioni al bordo di ...
Ciao a tutti, provo a porvi un quesito che mi sta facendo penare in questi giorni mentre preparo un esame di Analisi Matematica 3.
L'argomento è il passaggio del limite sotto il segno di integrale sfruttando convergenza dominata (come suppongo sia da fare nel caso che vado ad esporvi) e convergenza monotona.
Le condizioni che ci vengono date sono che $n>=1$ e che $x>0$
La nostra successione di funzioni è $f_n(x)=(1/n)sin(n/x^2)$ e vogliamo calcolare $\lim_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx$ e ...
Buon pomeriggio
Ho risolto questo integrale
$int_{-infty}^{+infty} (1-e^(-i pi x)) /(1-x^4) dx$
considerando la funzione ausiliaria $f(z) =(1-e^(-i pi z)) /(1-z^4)$ ed i punti del semipiano dei numeri complessi con coefficiente dell'immaginario negativo contenuti nel semicerchio con centro in O e raggio $r>1$, privato dei punti interni ai cerchi con centro in 1 e - 1 e raggio $epsilon$. Per $r to +infty$ ed $epsilon to 0^+$ ottengo l'integrale richiesto, nel senso del valor principale, che, grazie al I teorema dei ...
Siano \(f,g \) due funzioni intere tali che soddisfano l'equazione di Fermat: \( f^n + g^n = 1 \), per \( n >2 \), dimostra che \( f,g \) sono costanti.
Non so se è la via corretta ma
Abbiamo che \( f/g \) meromorfa con poli negli zeri di \(g \) ma abbiamo che
\( f^n/g^n - 1/g^n=(f^n- 1)/g^n = 1 \) chiamando \( h = f^n -1 \) abbiamo che \( h \) è intera e non costante, e in più \( h /g^n \) è meromorfa su \( \mathbb{C} \) ma è costante e vale 1 pertanto abbiamo che le singolarità della \( ...
Buonasera, avrei bisogno di qualche approfondimento teorico su quello che è il titolo. Dunque, procedendo per parti (spero di non mettere troppa carne al fuoco), cominciamo con l'esempio incriminato. Ho $-u''+u=cos(6x)$ che di per sé è risolvibilissima come ED di secondo ordine e metodo di somiglianza per il termine noto ($u=1/37cos(6x)$). Mi viene però chiesto di complicarmi la vita e di arrivarci usando appunto il "Metodo di ricerca di soluzioni periodiche mediante serie di Fourier". ...
Buongiorno.
Ho il seguente prodotto di convoluzione:
$<\rho_n \ast (\partial_{x_i}u) , \varphi>$ dove $\rho_n$ è una successione di mollificatori ($\rho_n$ di classe C-infinito a supporto compatto, con supporto nella palla di centro 0 e raggio $1/n$), $u \in W^{1,p}(R^N), \varphi \in \D(R^N)$
Quindi, ho: $\int_{R^N} \int_{R^N} \rho_n(y) (\partial_{x_i}u(x-y))dy \varphi(x)dx$
A questo punto, la mia insegnate dice "Invertiamo l'ordine di derivazione", cioè scrive:
$- \int_{R^N} \rho_n(y) \int_{R^N} u(x-y) (\partial_{x_i}\varphi(x))dx dy$
Dovrebbe essere un'applicazione del teorema di Fubini-Tonelli, ma non riesco a capire ...
Ho da risolvere questo problema:
Si consideri il seguente segnale periodico:
$ x(t) = abs(cos(2\pif_1t))$
(a) Determinare il periodo $T_0$ e la frequenza fondamentale $f_0$ del segnale.
(b) Determinare i coefficienti $x_k$ della serie di Fourier di $x(t)$
Per il primo punto non ho problemi:
ho trovato $f_0 = 2f_1$ poichè il segnale è una funzione coseno raddrizzata (e mi trovo con il risultato del libro)
Per il secondo ...
Buonasera, sto cozzando contro un tipo di esercizio, mi manca un po' di consapevolezza riguardo il comportamento da avere in questi casi. Chiedo scusa per la sicura banalità di alcune domande, ma non riesco a ritrovarmi.
In breve, dato un operatore $T$ che viene definito, si chiede di provarne la continuità/limitatezza e di calcolarne la norma. Per quel che ho visto finora, raccolgo di seguito gli "strumenti" necessari a risolvere questo tipo di esercizi (anche se magari non ...
Buongiorno, sto studiando teoria della misura e sto riscontrando un problema sulla definizione di misura che conta. Il mio professore l'ha definita in questo modo
"$\mu : \Alpha \rightarrow [0,\infty]$ dove $\Alpha$ è l'insieme degli $A \in P(X)$ tale che o A è finito o lo è il suo complementare"
E poi segue la definizione di come agisce questa misura. Il problema sta nel fatto che poco prima abbiamo dimostrato che $\Alpha$ non era una $\sigma$-algebra. Per avere una misura io so ...
Buongiorno, sto preparando l'esame di Metodi Matematici per l'Ingegneria, e in questo momento sono fermo agli esercizi sul teorema dei residui.
Sto provando a calcolare, nel campo complesso, gli integrali impropri di funzioni reali.
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ int_(-infty)^(+infty) ((x^2 +1) sin^2(pix))/ ((x^2+x+1)(x-1)^2) dx $
Per prima cosa ho trovato una f(z):
Considero che $ e^(2pixj) = cos(2pix) + jsen(2pix) $ . Esprimendo $ cos(2pix) = cos(pix + pix) $ , applico le formule di duplicazione del coseno, trovando:
$ e^(2pix) = cos^2(pix) - sen^2(pix) + 2jsen(pix)cos(pix) $ .
Quindi ...
Salve a tutti,
Sto provando a risolvere un esercizio di un tema d'esame ma proprio non mi viene! e quindi chiedo il vostro aiuto.
Si consideri $f(t)=\theta(t)\theta(\tau-t)(1-t/\tau)$ . Si calcoli la trasformata di
Fourier $\hat f \(\omega)$ . A quale distribuzione tende (nel senso $S’$) la parte
reale di $\hat f \(\omega)$ nel limite $\tau \rightarrow +\infty $?
Ho il seguente esercizio che mi chiede di dire per quali p le seguenti funzioni sono in $L^p$ con $p \in (1,\infty)$
$g(x)= \frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}$ in $[2, \infty)$
E $f(x,y)=\frac{x^2}{y}$ su $B_1(9,11)$
Per quanto riguarda il primo ho provato a risolverlo ma ho un dubbio, infatti io ho fatto la maggiorazione
$|\frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}|^p≤\frac{1}{|\sqrt{x}|^p}$ che mi dice che ho convergenza per $\frac{1}{2p}>1$ quindi per $p<\frac{1}{2}$ che dal momento che dovevo avere $p \in (1,\infty)$, non mi è molto d'aiuto. Ma ...
Buongiorno, ho il seguente esercizio:
"Sia $A={(x,y) \in mathbb{R^2}:y>x-7, x^2+y^3≤2}$ è un boreliano."
La prima e unica cosa che mi viene in mente è di mostrare che abbia una forma del tipo (a,b) o [a,b) o [a,b] o (a,b] (ovviamente è in due dimensioni non in una) ma non so né se sia corretto né come farlo
C'è un modo "ovvio" per trovare le soluzioni del sistema \[J \dot{u} + c \alpha |u|^{\alpha -2 } u = 0 \quad (*) \]dove \(c>0\), \( \alpha > 1 \), \( u=u(t) \in C^1 (\mathbb{R}; \mathbb{R}^{2N}) \) e \(J \) è la matrice simplettica?
Nel libro si dice più volte che \( u(t) = \cos( \omega t)\xi + \sin(\omega t) J \xi \) con \( \xi \in \mathbb{R}^{2N}\) risolve \( (*)\), ma come ci si arriva?
Avrei una domanda di curiosità. Mi stavo domandando se il ragionamento qui sotto è giusto o sbagliato.
A me sembra giusto, ma contemporaneamente mi sembra troppo forte concludere che \( f= g \). Dove sta il mio errore, se c'è ?
Supponiamo di avere due funzioni, \(f,g\) che a priori sono diverse, con le seguenti proprietà:
1) entrambe olomorfe e definite a priori su \( \mathbb{C}\setminus \mathbb{N} \)
2) \( \left| f(z) \right| \to 0 \) e \(\left| g(z) \right| \to 0 \) quando \( \left| \Im(z) ...
Problema. Sia \( u \in C^1 ([0,1]) \) strettamente crescente con \( u(0) \ge 0 \). Per \( f \in C([0,1]) \) si definisca \[ T_u (f) (x) = \frac{1}{u(x)} \int_0^x f(t) u'(t) \, dt. \]
Mostrare che:
1. \(T \in L(C([0,1])) \);
2. \(T \) è compatto se e solo se \( u(0) > 0 \).
In ogni caso, calcolare lo spettro di \(T\).
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