Convergenza di integrali senza successioni

[Studente Anonimo]

"arnett":Ammettiamo che io voglia mostrare il fatto seguente: \[\int_\Omega u^ p \to |\Omega| \quad \text { per } p \to 0^+,\] dove $u:\RR^n \to \RR$ è misurabile e $\Omega$ è un sottoinsieme misurabile di $\RR^n$. Come si fa?

Costruirei la successione ${u_n}_{n \in \NN}$ definita da $u_n(x)= (u(x))^{1/n}$. Allora $u_n \to 1$ puntualmente e $|u_n|\le |u|=|u_1|$, quindi se $u$ sta in $L^1(\Omega)$, la convergenza dominata di Lebesgue mi permette di dire che \[\int_\Omega u^{1/n} \to |\Omega|.\] Ma $p=1/n$ è solo un modo di raggiungere $0$. In generale come si fa? [...]

Lebesgue è in generale falso sulle reti. Un'idea: assumo che \( u(x) \ge 0 \) quasi ovunque in \( \Omega \) e considero (modulo insiemi di misura nulla) gli insiemi disgiunti e misurabili \[ \Omega_1 = \{ x \in \Omega \, : \, 0 \le u(x) \le 1 \} \] e \[ \Omega_{2} = \{ x \in \Omega \, : \, u(x) > 1 \}. \] Fisso \(\epsilon > 0\), allora esiste \(N \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \( n_1, n_2 \ge N \) ognuna delle seguenti quantità \[ \left| \int_{\Omega_1} u^{1/n_1} \, dm - m(\Omega_1) \right|, \left| \int_{\Omega_2} u^{1/n_2} \, dm - m(\Omega_2) \right|, \left| \int_{\Omega_1} u^{1/n_2} \, dm - m(\Omega_1) \right|, \left| \int_{\Omega_2} u^{1/n_1} \, dm - m(\Omega_2) \right|\] sia \( \le \epsilon / 2 \). Ora se \( 0

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jinsang

17 dic 2019, 10:56

Se non ricordo male la convergenza dominata richiede \( |u_n(x)| \leq |g(x)| \ \ \forall x \)
e se \( |u(x)| < 1 \) per qualche $x$ allora la tua dominazione non va più bene, mi sto sbagliando?

Io procederei così:
(1)Nel caso in cui $u>=1$ uso la successione che dici te e concludo con la dominazione (o anche per convergenza monotona).
(2)Nel caso in cui $0<=u<1$ uso sempre la successione che dici te ma concludo per convergenza monotona.
(3)Nel caso generale suddivido opportunamente la $u$ a seconda del segno e del modulo, portandomi in una somma di casi come sopra e concludo (posso farlo?)

Ora per dire che in realtà mi bastava farlo per una successione posso osservare che
\[p \mapsto \int_{\Omega}u^p \ \ \ \ p \in (0,+\infty) \]
è monotona nei casi (1) e (2), quindi ha limite per \( p \rightarrow 0^+ \) che deve coincidere con il limite ottenuto per una qualsiasi successione che tende a $0^+$.

Come indebolimento delle ipotesi: secondo me basta $u$ misurabile e finita (q.o.) (così dobbiamo usare conv. monotona anche nel caso (1)).

Perdonami se non scendo nei dettagli o se ho commesso degli errori grossolani, ma sono di fretta

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jinsang

17 dic 2019, 11:00

Oh no sono stato un sacco di tempo a scrivere e adesso sembra che abbia copiato 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6

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dissonance

17 dic 2019, 15:41

Non ce ne sarebbe alcun bisogno, ma intervengo lo stesso. https://59clc.files.wordpress.com/2011/ ... alysis.pdf

Rudin- Real and complex analysis, 3rd ed., pg. 180, Remark 9.3.(a).

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[jinsang]

Se non ricordo male la convergenza dominata richiede \( |u_n(x)| \leq |g(x)| \ \ \forall x \)
e se \( |u(x)| < 1 \) per qualche $x$ allora la tua dominazione non va più bene, mi sto sbagliando?

Io procederei così:
(1)Nel caso in cui $u>=1$ uso la successione che dici te e concludo con la dominazione (o anche per convergenza monotona).
(2)Nel caso in cui $0<=u<1$ uso sempre la successione che dici te ma concludo per convergenza monotona.
(3)Nel caso generale suddivido opportunamente la $u$ a seconda del segno e del modulo, portandomi in una somma di casi come sopra e concludo (posso farlo?)

Ora per dire che in realtà mi bastava farlo per una successione posso osservare che
\[p \mapsto \int_{\Omega}u^p \ \ \ \ p \in (0,+\infty) \]
è monotona nei casi (1) e (2), quindi ha limite per \( p \rightarrow 0^+ \) che deve coincidere con il limite ottenuto per una qualsiasi successione che tende a $0^+$.

Come indebolimento delle ipotesi: secondo me basta $u$ misurabile e finita (q.o.) (così dobbiamo usare conv. monotona anche nel caso (1)).

Perdonami se non scendo nei dettagli o se ho commesso degli errori grossolani, ma sono di fretta

[jinsang]

Oh no sono stato un sacco di tempo a scrivere e adesso sembra che abbia copiato 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6

[dissonance]

Non ce ne sarebbe alcun bisogno, ma intervengo lo stesso. https://59clc.files.wordpress.com/2011/ ... alysis.pdf

Rudin- Real and complex analysis, 3rd ed., pg. 180, Remark 9.3.(a).