Analisi superiore

Vorrei calcolare $\int_{C(0,2a)} e^z/(a^2+z^2) dz, a>0$. Ho scritto $a^2+z^2=(z+ia)(z-ia)$ ed intendo usare la formula di Cauchy per la circonferenza. Tuttavia $ia, -ia in D(0,2a)$ e questo mi impedisce di utilizzare detto teorema scrivendo l'integranda come $(e^z/(z-ia))/(z+ia)$ ad esempio, perché avrei che la funzione al num non è olomorfa in $D(0,2a)$. Sapete qualche trucchetto per ovviare a questo problema?

Sia $M={f in L_2[-1,1] : \int_-1^1 f(t)dt =\int_-1^1 tf(t)dt=\int_-1^1 t^2f(t)dt=0}$ Data $f in L_2[-1,1]$ trovare $g in M$ che meglio approssima f. Sfruttando il fatto che $L_2[-1,1]$ è uno spazio di Hilbert e che $M$ è chiuso (penso di esserci riuscito utilizzando nuclei di funzionali lineari) vorrei trovare $h in M^\bot$ tale che $f=h+(f-h)$ cioè la proiezione ortogonale di f. Io ho provato ad andare un po' a tentativi dapprima con le funzioni costanti $g(t)=alpha$, che però mi portano a dire che ...

Ciao a tutti potete aiutarmi con questo esercizio? Sia $B_n={(\rhocost, \rhosint) : \rho \in [2,3], t \in [n\alpha, (n+1)\alpha]}$, con $\alpha= pi/(138\sqrt(3))$ Calcolare, se esiste $lim_{n->infty}int_{B_n}(x^3)/(2+cos^2(nxy))dxdy$. Ho provato a riscrivere la funzione come combinazione lineare di funzioni caratteristiche per integrare su $R^2$, poi passando in coordinate polari ho provato a cercare una funzione sommabile che maggiorasse la successione ma non l'ho trovata. Come potrei fare? Grazie!

Sul libro c'è l'esempio di un' equazione differenziale autonoma $ddot x (t)=g(x)$ ; viene riscritta in un sistema del primo ordine di 2 eq. differenziali che corrisponde al campo: $f([(x),(y)])=[[y],[-g(x)]]$ mi chiedo se questa sia un'equazione di 2 variabili o una sola. $x$ e $y$ sottintendono $x(t)$ e $y(t)$, quindi mi verrebbe da dire che sia una sola variabile dato che dipende solo da $t$, ossia $f: RR rightarrow RR^2$. O invece è una ...

Buongiorno a tutti! Volevo chiedervi aiuto su questo problema: Sia $X$ uno spazio normato e si supponga che esistono $n$ punti ${x_k : 1<=k<=n}$ ed un numero $r>1$ tali che: $ B(0,r)sub bigcup_{k=1}^n B(x_k,1) $ Dimostrare che $X$ ha dimensione finita. Quell'unione finita mi fa pensare di dimostrare che $B(0,r)$ sia compatta (e questo concluderebbe la dimostrazione) utilizzando i ricoprimenti, ma non mi sembra dimostrabile che quel ricoprimento ...

Sto studiando la dimostrazione di un teorema ed ad un certo punto della dimostrazione dice che se un triangolo ha i tre vertici allineati, l'integrale lungo la frontiera del triangolo è sempre zero per qualsiasi funzione continua a valori complessi. Il libro dice che questo fatto è ovvio, ma non riesco a capire perché. Qualcuno può rendermi questa "ovvietà" un po' più esplicita?

Non ho idea se sia o meno la sezione giusta (non avendo assolutamente idea di che cosa siano), quindi spero di non sbagliare. La domanda è appunto tanto banale quanto disarmante: di che cosa si tratta? Nel corso di riferimento non è stato trattato nulla di tutto ciò (il docente si è limitato ad una dualità per problemi lineari), e di riflesso i testi di cui dispongo non ne fanno minimo accenno. Tuttavia, a quanto sembra, per arrivare a dimostrare la (6) partendo dalla (3) come descritto nel ...

Salve a tutti, dagli appunti del mio professore esce fuori che integrali del tipo $ int_(0)^(2pi) R(senx) dx $ e $ int_(0)^(2pi) R(cosx) dx $ con $ R $ funzione razionale si possono direttamente risolvere mediante la seguente formula $ -2pi sum_(k ) Res[wk]*(sgn(wk))/(sqrt(wk^2-1) $ , a patto che i poli siano reali semplici e in modulo maggiore di 1. Mi chiede di dimostrare da dove esce la seguente formula $ R[w]=sum_(k ) (Res[wk])/(w-wk) $ considerando questo esercizio : $ int_(0)^(2pi) dx/(12(senx)^2-35senx+25) $ dove $ w=senx $ Ho provato a fare la ...

Ho di nuovo un problema con un integrale in campo complesso. Anche in questo caso mi viene chiesto di risolverlo applicando la definizione. $\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz$ con $p(z)=(z-1)^4(z+i)^7$ Inizio calcolando $p'(z)$: $p'(z)=4(z-1)^3(z+i)^7+7(z-1)^4(z+i)^6$ $p'(z)=(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]$ Ora calcolo l'integrale: $\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz=$ $=\int_{\abs{z}=R} \frac{(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]}{(z-1)^4(z+i)^7}dz=$ $=\int_{\abs{z}=R} \frac{4(z+i)+7(z-1)}{(z-1)(z+i)}dz=$ $=4\int_{\abs{z}=R} \frac{1}{z-1}dz+7\int_{\abs{z}=R}\frac{1}{z+i}dz=$ A questo punto scrivo $z=Re^{i\theta}$, $dz=iRe^{i\theta}d\theta$ $=4\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta + 7\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}+i}d\theta =$ $=4[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[log(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$ $=4[log(R-1)-log(R-1)]+7[log(R+i)-log(R+i)]=$ $=0$ Il ...

Nella definizione di spazio normato si ha che deve valere la disuguaglianza triangolare: $||x+y||<=||x||+||y||$ $AA x,y in X$ Adesso c'è un esercizio che mi chiede che questa condizione è equivalente a quella della disuguaglianza triangolare inversa: $|||x||-||y|||<=||x-y||$ $AA x,y in X$ Sono riuscita a dimostrare che dalla disuguaglianza triangolare segue l'inversa, ma non il viceversa. Avete qualche suggerimento? Non trovo nulla online. Grazie mille

Salve, mi sono imbattuto nella formula (l'ultima): che trovo molto utile per evitare di calcolare il limite su ogni tratto di curva (è indicata la curva a forma di "pacman"), ma vorrei sapere se si può estendere anche per alfa razionali maggiori di 1. Se non ho compreso male per alfa=8/3 (notato in un testo di esame) l'uguaglianza risulta valida. Grazie

Mi viene chiesto di risolvere questo integrale applicando la definizione. Qualcuno mi sa dire dove sbaglio? $\int_{\gamma} \frac{dz}{z}$ con $\gamma=[1-i,1+i,-1+i,-1-i,1-i]$ (quadrato di lato 2 centrato in 0) Inizio parametrizzando il cammino $\gamma$: $\gamma_1(t)=1+it$ con $t\in[-1,1]$ $\gamma_2(t)=-t+i$ con $t\in[-1,1]$ $\gamma_3(t)=-1-it$ con $t\in[-1,1]$ $\gamma_4(t)=t-i$ con $t\in[-1,1]$ [/list:u:654heoj8] A questo punto utilizzo la definizione ...

Mi chiedevo se qualcuno riuscisse a darmi un idea intuitivo/"geometrica" del perché esiste questo teorema. Cioè perché mai dovrebbe valere questa cosa? Sia \( f \in \mathcal{H}(\overline{B_1(0)}) \) tale che \(f'(0)=1\) - dove con \( \mathcal{H}(D) \) intendo le funzioni olomorfe in \(D\) e con \(\overline{B_r(c)} \) la palla chiusa di raggio \(r\) centrata in \(c\) - allora esiste \(p \in \mathbb{C} \) tale che \[ B_{3/2 - \sqrt{2}}(p) \subset f(B_1(0)) \] Cioè mi sembra così tanto "casuale" ...

Salve a tutti ho il seguente integrale : $ int_(-oo )^(+oo ) (1-cos(2pix))/(x^4-1)^2 dx $ Allora il libro mi consiglia di utilizzare la funzione $ f(z)=(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per poi considerare la sua parte reale e trovarmi l'integrale. Calcolando gli zeri di tale funzione nella semicirconferenza positiva ottengo z1=1,z2=-1,z3=j. Trovo che 1 e -1 sono poli semplici, mentre j è polo doppio. Dal libro quindi porta che $ int_(-oo )^(+oo) f(z)dz=int_(-r )^(-1-epsilon ) f(x)dx+int_(-1+epsilon )^(1-epsilon ) f(x)dx+int_(1+epsilon )^(r ) f(x)dx-int_(gamma1 ) f(z) dz-int_(gamma2 ) f(z) dz+int_(Gamma ) f(z) dz $ Il mio dubbio sorge quando vado a calcolare attraverso il teorema del grande cerchio il limite ...

Salve a tutti, ho il seguente integrale : $ int_(-oo )^(+oo) dx/(x^6-2x^3+4) $ Calcolando le singolarità imponendo la semicirconferenza ottengo che $ R[root(3)(2) e^(jpi/9)] $ , $ R[root(3)(2) e^(j7/9pi)] $ , $ R[root(3)(2) e^(j5/9pi)] $ , sono i residui da calcolare. Normalmente per ogni residuo farei il limite del punto singolare di (z-zo) f(z) e lo calcolerei, però sul libro giunge al risultato in un modo diverso, e spero che voi possiate aiutarmi a capire come fa. Praticamente scrive che $ R[root(3)(2) e^(jpi/9)] $ = $ lim_(z -> root(3)(2) e^(jpi/9)) 1/(6z^5-6z^2) $ e da qui ...

Riascoltando le sbobinature delle lezioni mi sono reso conto di quanto poco avessi chiaro in testa questo passaggio. Il professore dice, cito testualmente: Il problema che dobbiamo risolvere al fine di individuare l'istante ottimo di esercizio per un'opzione di tipo Americano è ${ ( max{L_(BS)f,\varphi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\varphi(T,\cdot) ):}{: ( ),( ) :}{: ( (0,T)xx \mathbb(R)^+ ),( \mathbb(R)^+ ) :}$. Questo problema associa ad ogni valore assunto dalla funzione $f\in C([0,T]xx \mathbb(R)^+)$ il massimo tra il payoff $\varphi$ del derivato, con $\varphi:=\varphi(t,S_t)$ funzione convessa e localmente ...

Sia \(f : I \to J\) un omeomorfismo tra due intervalli di \(\mathbb R\); se \(F\) è una primitiva di \(f\), allora \[ \int f^{-1}(y)dy = y f^{-1}(y) + F(f^{-1}(y))+C \] dove \(f^{-1}\) è la funzione inversa di \(f\).

Ciao a tutti, vorrei proporvi questo esercizio per chiedervi se la mia risoluzione è corretta, perchè ho diversi dubbi a proposito. Data la seguente funzione [tex]f(z) =z^{2}\sin\biggl(\frac{1}{z-1}\biggr)[/tex] $z=1$ è un punto di singolarità essenziale e voglio calcolare ivi il residuo sviluppando la funzione in serie e calcolando il coefficiente del termine di grado $-1$. Sapendo che lo sviluppo del seno è: [tex]\sin z = ...

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio che non so come risolvere: Si consideri la funzione: $ f(x)=e^(-a|x|^2) $, con $ x in R^n $ e $ a>0 $ . Trovare la sua trasformata di Fourier. Qualche consiglio su come risolverlo? Grazie.

1) Sia \( 1 \leq p < q \leq \infty \) e \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \) 1.1) Sia \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}(0,1) \) dimostra che \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}(0,1) \) 1.2) Sia \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \) dimostra che \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{q} \) Mi chiedevo se il punto 1.2) dimostrasse che se \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) allora \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \) Infatti se non sbaglio per ogni \(f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) ...