Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Sul libro c'è l'esempio di un' equazione differenziale autonoma $ddot x (t)=g(x)$ ; viene riscritta in un sistema del primo ordine di 2 eq. differenziali che corrisponde al campo:
$f([(x),(y)])=[[y],[-g(x)]]$
mi chiedo se questa sia un'equazione di 2 variabili o una sola.
$x$ e $y$ sottintendono $x(t)$ e $y(t)$, quindi mi verrebbe da dire che sia una sola variabile dato che dipende solo da $t$, ossia $f: RR rightarrow RR^2$.
O invece è una ...
Buongiorno a tutti! Volevo chiedervi aiuto su questo problema:
Sia $X$ uno spazio normato e si supponga che esistono $n$ punti ${x_k : 1<=k<=n}$ ed un numero $r>1$ tali che:
$ B(0,r)sub bigcup_{k=1}^n B(x_k,1) $
Dimostrare che $X$ ha dimensione finita.
Quell'unione finita mi fa pensare di dimostrare che $B(0,r)$ sia compatta (e questo concluderebbe la dimostrazione) utilizzando i ricoprimenti, ma non mi sembra dimostrabile che quel ricoprimento ...
Sto studiando la dimostrazione di un teorema ed ad un certo punto della dimostrazione dice che se un triangolo ha i tre vertici allineati, l'integrale lungo la frontiera del triangolo è sempre zero per qualsiasi funzione continua a valori complessi. Il libro dice che questo fatto è ovvio, ma non riesco a capire perché. Qualcuno può rendermi questa "ovvietà" un po' più esplicita?
Non ho idea se sia o meno la sezione giusta (non avendo assolutamente idea di che cosa siano), quindi spero di non sbagliare.
La domanda è appunto tanto banale quanto disarmante: di che cosa si tratta?
Nel corso di riferimento non è stato trattato nulla di tutto ciò (il docente si è limitato ad una dualità per problemi lineari), e di riflesso i testi di cui dispongo non ne fanno minimo accenno. Tuttavia, a quanto sembra, per arrivare a dimostrare la (6) partendo dalla (3) come descritto nel ...
Salve a tutti, dagli appunti del mio professore esce fuori che integrali del tipo $ int_(0)^(2pi) R(senx) dx $ e $ int_(0)^(2pi) R(cosx) dx $ con $ R $ funzione razionale si possono direttamente risolvere mediante la seguente formula $ -2pi sum_(k ) Res[wk]*(sgn(wk))/(sqrt(wk^2-1) $ , a patto che i poli siano reali semplici e in modulo maggiore di 1.
Mi chiede di dimostrare da dove esce la seguente formula $ R[w]=sum_(k ) (Res[wk])/(w-wk) $ considerando questo esercizio :
$ int_(0)^(2pi) dx/(12(senx)^2-35senx+25) $ dove $ w=senx $
Ho provato a fare la ...
Ho di nuovo un problema con un integrale in campo complesso. Anche in questo caso mi viene chiesto di risolverlo applicando la definizione.
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz$ con $p(z)=(z-1)^4(z+i)^7$
Inizio calcolando $p'(z)$:
$p'(z)=4(z-1)^3(z+i)^7+7(z-1)^4(z+i)^6$
$p'(z)=(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]$
Ora calcolo l'integrale:
$\int_{\abs{z}=R} \frac{p'}{p}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{(z-1)^3(z+i)^6[4(z+i)+7(z-1)]}{(z-1)^4(z+i)^7}dz=$
$=\int_{\abs{z}=R} \frac{4(z+i)+7(z-1)}{(z-1)(z+i)}dz=$
$=4\int_{\abs{z}=R} \frac{1}{z-1}dz+7\int_{\abs{z}=R}\frac{1}{z+i}dz=$
A questo punto scrivo $z=Re^{i\theta}$, $dz=iRe^{i\theta}d\theta$
$=4\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}-1}d\theta + 7\int_{0}^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}+i}d\theta =$
$=4[log(Re^{i\theta}-1)]_{0}^{2\pi} + 7[log(Re^{i\theta}+i)]_{0}^{2\pi}=$
$=4[log(R-1)-log(R-1)]+7[log(R+i)-log(R+i)]=$
$=0$
Il ...
Nella definizione di spazio normato si ha che deve valere la disuguaglianza triangolare:
$||x+y||<=||x||+||y||$ $AA x,y in X$
Adesso c'è un esercizio che mi chiede che questa condizione è equivalente a quella della disuguaglianza triangolare inversa:
$|||x||-||y|||<=||x-y||$ $AA x,y in X$
Sono riuscita a dimostrare che dalla disuguaglianza triangolare segue l'inversa, ma non il viceversa. Avete qualche suggerimento? Non trovo nulla online. Grazie mille
Salve, mi sono imbattuto nella formula (l'ultima):
che trovo molto utile per evitare di calcolare il limite su ogni tratto di curva (è indicata la curva a forma di "pacman"), ma vorrei sapere se si può estendere anche per alfa razionali maggiori di 1. Se non ho compreso male per alfa=8/3 (notato in un testo di esame) l'uguaglianza risulta valida. Grazie
Mi viene chiesto di risolvere questo integrale applicando la definizione. Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
$\int_{\gamma} \frac{dz}{z}$ con $\gamma=[1-i,1+i,-1+i,-1-i,1-i]$ (quadrato di lato 2 centrato in 0)
Inizio parametrizzando il cammino $\gamma$:
$\gamma_1(t)=1+it$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_2(t)=-t+i$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_3(t)=-1-it$ con $t\in[-1,1]$
$\gamma_4(t)=t-i$ con $t\in[-1,1]$
[/list:u:654heoj8]
A questo punto utilizzo la definizione ...
Mi chiedevo se qualcuno riuscisse a darmi un idea intuitivo/"geometrica" del perché esiste questo teorema. Cioè perché mai dovrebbe valere questa cosa?
Sia \( f \in \mathcal{H}(\overline{B_1(0)}) \) tale che \(f'(0)=1\) - dove con \( \mathcal{H}(D) \) intendo le funzioni olomorfe in \(D\) e con \(\overline{B_r(c)} \) la palla chiusa di raggio \(r\) centrata in \(c\) - allora esiste \(p \in \mathbb{C} \) tale che
\[ B_{3/2 - \sqrt{2}}(p) \subset f(B_1(0)) \]
Cioè mi sembra così tanto "casuale" ...
Salve a tutti ho il seguente integrale :
$ int_(-oo )^(+oo ) (1-cos(2pix))/(x^4-1)^2 dx $
Allora il libro mi consiglia di utilizzare la funzione $ f(z)=(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per poi considerare la sua parte reale e trovarmi l'integrale. Calcolando gli zeri di tale funzione nella semicirconferenza positiva ottengo z1=1,z2=-1,z3=j. Trovo che 1 e -1 sono poli semplici, mentre j è polo doppio.
Dal libro quindi porta che $ int_(-oo )^(+oo) f(z)dz=int_(-r )^(-1-epsilon ) f(x)dx+int_(-1+epsilon )^(1-epsilon ) f(x)dx+int_(1+epsilon )^(r ) f(x)dx-int_(gamma1 ) f(z) dz-int_(gamma2 ) f(z) dz+int_(Gamma ) f(z) dz $
Il mio dubbio sorge quando vado a calcolare attraverso il teorema del grande cerchio il limite ...
Salve a tutti, ho il seguente integrale :
$ int_(-oo )^(+oo) dx/(x^6-2x^3+4) $
Calcolando le singolarità imponendo la semicirconferenza ottengo che $ R[root(3)(2) e^(jpi/9)] $ , $ R[root(3)(2) e^(j7/9pi)] $ , $ R[root(3)(2) e^(j5/9pi)] $ , sono i residui da calcolare. Normalmente per ogni residuo farei il limite del punto singolare di (z-zo) f(z) e lo calcolerei, però sul libro giunge al risultato in un modo diverso, e spero che voi possiate aiutarmi a capire come fa.
Praticamente scrive che $ R[root(3)(2) e^(jpi/9)] $ = $ lim_(z -> root(3)(2) e^(jpi/9)) 1/(6z^5-6z^2) $ e da qui ...
Riascoltando le sbobinature delle lezioni mi sono reso conto di quanto poco avessi chiaro in testa questo passaggio. Il professore dice, cito testualmente:
Il problema che dobbiamo risolvere al fine di individuare l'istante ottimo di esercizio per un'opzione di tipo Americano è ${ ( max{L_(BS)f,\varphi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\varphi(T,\cdot) ):}{: ( ),( ) :}{: ( (0,T)xx \mathbb(R)^+ ),( \mathbb(R)^+ ) :}$. Questo problema associa ad ogni valore assunto dalla funzione $f\in C([0,T]xx \mathbb(R)^+)$ il massimo tra il payoff $\varphi$ del derivato, con $\varphi:=\varphi(t,S_t)$ funzione convessa e localmente ...
Sia \(f : I \to J\) un omeomorfismo tra due intervalli di \(\mathbb R\); se \(F\) è una primitiva di \(f\), allora
\[
\int f^{-1}(y)dy = y f^{-1}(y) + F(f^{-1}(y))+C
\] dove \(f^{-1}\) è la funzione inversa di \(f\).
Ciao a tutti,
vorrei proporvi questo esercizio per chiedervi se la mia risoluzione è corretta, perchè ho diversi dubbi a proposito.
Data la seguente funzione
[tex]f(z) =z^{2}\sin\biggl(\frac{1}{z-1}\biggr)[/tex]
$z=1$ è un punto di singolarità essenziale e voglio calcolare ivi il residuo sviluppando la funzione in serie e calcolando il coefficiente del termine di grado $-1$.
Sapendo che lo sviluppo del seno è:
[tex]\sin z = ...
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio che non so come risolvere:
Si consideri la funzione: $ f(x)=e^(-a|x|^2) $, con $ x in R^n $ e $ a>0 $ . Trovare la sua trasformata di Fourier.
Qualche consiglio su come risolverlo?
Grazie.
1) Sia \( 1 \leq p < q \leq \infty \) e \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)
1.1) Sia \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}(0,1) \) dimostra che \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}(0,1) \)
1.2) Sia \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{p} \) dimostra che \( \xi \in \ell_{\mathbb{F}}^{q} \)
Mi chiedevo se il punto 1.2) dimostrasse che se \( f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) \) allora \( f \in L_{\mathbb{F}}^{q}((1,\infty)) \)
Infatti se non sbaglio per ogni \(f \in L_{\mathbb{F}}^{p}((1,\infty)) ...
Ciao a tutti. Non riesco a portare a termine questa verifica per la soluzione di una PDE. Si consideri
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial v^{\epsilon}(t,x)}{\partial t}= L^{\epsilon}v^{\epsilon}(t,x)+c(x)v^{\epsilon}(t,x)+g(x); \quad t>0, \: x \in \mathbb{R}^r \\
v^{\epsilon}(0,x)=f(x) \\
\end{cases}
\end{equation}
per $\epsilon > 0$ insieme al problema per $\epsilon = 0$:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial v^{0}(t,x)}{\partial t}= ...
Dimostra che \( (C[a,b], \left \| \cdot \right \|_{\infty} ) \) e \( (C[a,b], \left< \cdot,\cdot \right> ) \) sono separabili.
Voglio dimostrare che l'insieme \( \mathbb{Q}[x] \subset C([a,b],\mathbb{R}) \) è denso in \( C[a,b] \), poiché se non erro, i polinomi a coefficienti razionali sono numerabili per un grado fissato \(k\) abbiamo una biiezione con \( \mathbb{N}^k \) che è numerabile sempre. E siccome abbiamo \(\mathbb{N} \) possibili gradi allora abbiamo una biiezione \( \mathbb{N} ...
Sia \( (X,d) \) uno spazio metrico. Consideriamo \( f: X \to \mathbb{R} \) una funzione limitata, i.e. \( f(X) \) è un sottoinsieme-limitato di \( \mathbb{R} \), denotiamo con \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \) l'insieme delle applicazioni limitate, e definiamo \( \rho(f,g) = \sup \{ \left| f(x)-g(x) \right| : x \in X \} \) per \(f,g \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \).
a) Dimostra che \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \) è uno spazio metrico.
b) Dimostra che è completo
Ho una domanda sul punto ...
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