Dualità conica e dualità di Fenchel
Non ho idea se sia o meno la sezione giusta (non avendo assolutamente idea di che cosa siano), quindi spero di non sbagliare.
La domanda è appunto tanto banale quanto disarmante: di che cosa si tratta?
Nel corso di riferimento non è stato trattato nulla di tutto ciò (il docente si è limitato ad una dualità per problemi lineari), e di riflesso i testi di cui dispongo non ne fanno minimo accenno. Tuttavia, a quanto sembra, per arrivare a dimostrare la (6) partendo dalla (3) come descritto nel link di cui sotto a pag. 4
sembrano essere argomenti indispensabili.
(Si veda anche il post da me aperto https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=39&t=211258 per avere - almeno spero - una migliore contestualizzazione dell'argomento).
Anche internet non sembra venirmi incontro: ho trovato su Wiki
ma non avendo, a quanto pare, una preparazione matematica adeguata non mi è affatto chiaro quanto viene detto.
Potreste spiegarmi dunque di che cosa si sta parlando, o se ciò non fosse possibile indicarmi qualche fonte che sia quantomeno accessibile? Grazie in anticipo
La domanda è appunto tanto banale quanto disarmante: di che cosa si tratta?
Nel corso di riferimento non è stato trattato nulla di tutto ciò (il docente si è limitato ad una dualità per problemi lineari), e di riflesso i testi di cui dispongo non ne fanno minimo accenno. Tuttavia, a quanto sembra, per arrivare a dimostrare la (6) partendo dalla (3) come descritto nel link di cui sotto a pag. 4
sembrano essere argomenti indispensabili.
(Si veda anche il post da me aperto https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=39&t=211258 per avere - almeno spero - una migliore contestualizzazione dell'argomento).
Anche internet non sembra venirmi incontro: ho trovato su Wiki
[url]https://it.qaz.wiki/wiki/Fenchel's_duality_theorem[/url]
ma non avendo, a quanto pare, una preparazione matematica adeguata non mi è affatto chiaro quanto viene detto.
Potreste spiegarmi dunque di che cosa si sta parlando, o se ciò non fosse possibile indicarmi qualche fonte che sia quantomeno accessibile? Grazie in anticipo
Risposte
La trasformata di Fenchel è una trasformata funzionale che a volte permette di semplificare problemi di ottimizzazione o variazionali; cioè invece che risolvere un problema risolvi il suo duale (posto che il duality gap sia \( = 0 \), cosa che avviene nelle ipotesi indicate nel secondo link che hai postato) che a volte può essere più semplice. Se fai due volte la trasformata di Fenchel ottieni l'inviluppo convesso di una funzione; se poi la funzione di partenza è semicontinua inferiormente e convessa, (ri)ottieni la funzione stessa (per il teorema di Fenchel-Moreau).
Strano che tu non abbia trovato niente, ci sono un sacco di libri sull'argomento. In ordine di difficolta' direi il Borwein-Lewis, il Bauschke-Combettes e il Rockafellar. Se ti interessa l'approccio "variazionale", l'Ekeland-Temam. Il Boyd-Vandenberghe ne parla di sicuro, ma non l'ho mai letto.
Strano che tu non abbia trovato niente, ci sono un sacco di libri sull'argomento. In ordine di difficolta' direi il Borwein-Lewis, il Bauschke-Combettes e il Rockafellar. Se ti interessa l'approccio "variazionale", l'Ekeland-Temam. Il Boyd-Vandenberghe ne parla di sicuro, ma non l'ho mai letto.
Chiaro e conciso, e grazie per i riferimenti 
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