Integrazione funzione reale con analisi complessa
Salve, mi sono imbattuto nella formula (l'ultima):
che trovo molto utile per evitare di calcolare il limite su ogni tratto di curva (è indicata la curva a forma di "pacman"), ma vorrei sapere se si può estendere anche per alfa razionali maggiori di 1. Se non ho compreso male per alfa=8/3 (notato in un testo di esame) l'uguaglianza risulta valida. Grazie
che trovo molto utile per evitare di calcolare il limite su ogni tratto di curva (è indicata la curva a forma di "pacman"), ma vorrei sapere se si può estendere anche per alfa razionali maggiori di 1. Se non ho compreso male per alfa=8/3 (notato in un testo di esame) l'uguaglianza risulta valida. Grazie
Risposte
Ciao AlfaMath,
Posso chiederti da quale testo hai scattato la foto che poi hai pubblicato nell'OP?
Non ci sono delle ipotesi sul grado del polinomio $\text{deg}[P(x)] $?
Posso chiederti da quale testo hai scattato la foto che poi hai pubblicato nell'OP?
Non ci sono delle ipotesi sul grado del polinomio $\text{deg}[P(x)] $?
Bentornato AlfaMath!
Dunque, a parte che potevi scrivere subito il link invece che postare immagini che andrebbero sempre evitate, a me risulta che si possa scrivere
$ \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = [1 - e^{2\pi \alpha i}] \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = - 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha) \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $
da cui
$ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = 1/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = 1/[- 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha)] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = - e^{- i\pi \alpha}/(2i sin(\pi \alpha)) \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z $
a patto che l'integrale $\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $ converga, e questo accade se $ - 1 < \text{Re}[\alpha] < \text{deg}[P(x)] - 1 $ che,
essendo nel tuo caso $\alpha$ reale, diventa $ - 1 < \alpha < \text{deg}[P(x)] - 1 $
Quindi il caso $\alpha = 8/3 $ che hai citato è possibile, ad esempio se $\text{deg}[P(x)] = 4 $
Non sono tanto d'accordo sulla '"formula per il calcolo immediato" di integrali di questa forma' citato dal testo, perché personalmente mi paiono un po' più pratiche le formule coi residui seguenti:
$\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] $
ove la sommatoria si intende estesa ai residui della funzione $z^{\alpha}/(P(z))$ relativi a tutte le sue singolarità polari, cioè agli zeri di $P(z) $.
Dunque, a parte che potevi scrivere subito il link invece che postare immagini che andrebbero sempre evitate, a me risulta che si possa scrivere
$ \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = [1 - e^{2\pi \alpha i}] \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = - 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha) \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $
da cui
$ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = 1/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = 1/[- 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha)] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = - e^{- i\pi \alpha}/(2i sin(\pi \alpha)) \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z $
a patto che l'integrale $\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $ converga, e questo accade se $ - 1 < \text{Re}[\alpha] < \text{deg}[P(x)] - 1 $ che,
essendo nel tuo caso $\alpha$ reale, diventa $ - 1 < \alpha < \text{deg}[P(x)] - 1 $
Quindi il caso $\alpha = 8/3 $ che hai citato è possibile, ad esempio se $\text{deg}[P(x)] = 4 $
Non sono tanto d'accordo sulla '"formula per il calcolo immediato" di integrali di questa forma' citato dal testo, perché personalmente mi paiono un po' più pratiche le formule coi residui seguenti:
$\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] $
ove la sommatoria si intende estesa ai residui della funzione $z^{\alpha}/(P(z))$ relativi a tutte le sue singolarità polari, cioè agli zeri di $P(z) $.
Perfetto, grazie!
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