Risolvere il seguente integrale con i residui?
Salve a tutti ho il seguente integrale :
$ int_(-oo )^(+oo ) (1-cos(2pix))/(x^4-1)^2 dx $
Allora il libro mi consiglia di utilizzare la funzione $ f(z)=(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per poi considerare la sua parte reale e trovarmi l'integrale. Calcolando gli zeri di tale funzione nella semicirconferenza positiva ottengo z1=1,z2=-1,z3=j. Trovo che 1 e -1 sono poli semplici, mentre j è polo doppio.
Dal libro quindi porta che $ int_(-oo )^(+oo) f(z)dz=int_(-r )^(-1-epsilon ) f(x)dx+int_(-1+epsilon )^(1-epsilon ) f(x)dx+int_(1+epsilon )^(r ) f(x)dx-int_(gamma1 ) f(z) dz-int_(gamma2 ) f(z) dz+int_(Gamma ) f(z) dz $
Il mio dubbio sorge quando vado a calcolare attraverso il teorema del grande cerchio il limite $ lim_(z -> oo ) z*(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per capire quanto valga l'integrale di f(z) esteso alla frontiera della semicirconferenza all'infinito. Il limite mi esce $ -oo $ ma il $ lim_(r -> +oo ) int_(Gamma ) f(z) dz $ deve essere uguale a zero , come mai?
$ int_(-oo )^(+oo ) (1-cos(2pix))/(x^4-1)^2 dx $
Allora il libro mi consiglia di utilizzare la funzione $ f(z)=(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per poi considerare la sua parte reale e trovarmi l'integrale. Calcolando gli zeri di tale funzione nella semicirconferenza positiva ottengo z1=1,z2=-1,z3=j. Trovo che 1 e -1 sono poli semplici, mentre j è polo doppio.
Dal libro quindi porta che $ int_(-oo )^(+oo) f(z)dz=int_(-r )^(-1-epsilon ) f(x)dx+int_(-1+epsilon )^(1-epsilon ) f(x)dx+int_(1+epsilon )^(r ) f(x)dx-int_(gamma1 ) f(z) dz-int_(gamma2 ) f(z) dz+int_(Gamma ) f(z) dz $
Il mio dubbio sorge quando vado a calcolare attraverso il teorema del grande cerchio il limite $ lim_(z -> oo ) z*(1-e^(j2piz))/(z^4-1)^2 $ per capire quanto valga l'integrale di f(z) esteso alla frontiera della semicirconferenza all'infinito. Il limite mi esce $ -oo $ ma il $ lim_(r -> +oo ) int_(Gamma ) f(z) dz $ deve essere uguale a zero , come mai?
Risposte
Ciao Omi,
I punti sul cerchio grande $\Gamma_r $ sono descritti da $z = re^{j\theta} $, $0 <= \theta <= \pi $: per $|z| = r \to +infty $ il limite che hai scritto vale senz'altro $0$.
Poi, siccome $z_3 = j $ è l'unico polo doppio interno al cerchio grande, mi risulta:
$ \int_{-r}^{- 1 - \epsilon} f(x)\text{d}x - \int_{\gamma_(\epsilon)} f(z) \text{d}z + \int_{- 1 + \epsilon}^{1 - \epsilon} f(x)\text{d}x - \int_{\gamma'_(\epsilon)} f(z) \text{d}z + \int_{1 + \epsilon}^r f(x)\text{d}x + $
$ + \int_{\Gamma_r} f(z) \text{d}z = 2\pi j \cdot \text{Res}[f(z); j] $
Mentre per il (secondo) lemma del piccolo cerchio si ha:
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\gamma_(\epsilon)} f(z) \text{d}z = \pi j \cdot \text{Res}[f(z); - 1] $
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\gamma'_(\epsilon)} f(z) \text{d}z = \pi j \cdot \text{Res}[f(z); 1] $
I punti sul cerchio grande $\Gamma_r $ sono descritti da $z = re^{j\theta} $, $0 <= \theta <= \pi $: per $|z| = r \to +infty $ il limite che hai scritto vale senz'altro $0$.
Poi, siccome $z_3 = j $ è l'unico polo doppio interno al cerchio grande, mi risulta:
$ \int_{-r}^{- 1 - \epsilon} f(x)\text{d}x - \int_{\gamma_(\epsilon)} f(z) \text{d}z + \int_{- 1 + \epsilon}^{1 - \epsilon} f(x)\text{d}x - \int_{\gamma'_(\epsilon)} f(z) \text{d}z + \int_{1 + \epsilon}^r f(x)\text{d}x + $
$ + \int_{\Gamma_r} f(z) \text{d}z = 2\pi j \cdot \text{Res}[f(z); j] $
Mentre per il (secondo) lemma del piccolo cerchio si ha:
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\gamma_(\epsilon)} f(z) \text{d}z = \pi j \cdot \text{Res}[f(z); - 1] $
$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\gamma'_(\epsilon)} f(z) \text{d}z = \pi j \cdot \text{Res}[f(z); 1] $
Ciao Pilo, come sempre grazie mille per il tuo prezioso aiuto. Il fatto è proprio questo, facendo il limite che ho scritto sopra (perdonami se non lo riscrivo ma sono da mobile) ottengo un -infinito. Ho provato a farlo anche usando Wolfram alpha utilizzando x al posto della variabile z. Non capisco dov'è che sbaglio, scusa per l'ulteriore disturbo che posso recarti, puoi suggerirmi come fare quel limite?
"Omi":
Ciao Pilo, come sempre grazie mille per il tuo prezioso aiuto.
Prego.
"Omi":
facendo il limite che ho scritto sopra (perdonami se non lo riscrivo ma sono da mobile) ottengo un -infinito.
Non capisco come tu faccia a sostenere che quel limite risulti $-\infty $...
"Omi":
Ho provato a farlo anche usando Wolfram alpha utilizzando x al posto della variabile z.
Benché ti sconsigli di fare uso di WolframAlpha, a meno che tu non sappia esattamente cosa stai facendo, anche con WolframAlpha il limite proposto risulta $0$:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+z%281-e%5E%28i+2%5Cpi+z%29%29%2F%28z%5E4-1%29%5E2%2C+z+to+%2Binfty
Si adesso ho risolto Pilo. Ingenuamente omettevo il j sull'esponenziale, considerandolo un esponenziale reale e sbagliavo sia su wolfram che sul quaderno 
A volte la stanchezza fa brutti scherzi, scusa per il disturbo.
A volte la stanchezza fa brutti scherzi, scusa per il disturbo.
"Omi":
scusa per il disturbo.
Di niente, figurati.
"Omi":
Ingenuamente omettevo il j sull'esponenziale, considerandolo un esponenziale reale e sbagliavo sia su wolfram che sul quaderno
Solo una precisazione su WolframAlpha per l'uso futuro, anche se probabilmente l'hai già capito: l'unità immaginaria per lui è $i$, non $j$. Quindi se scrivi lo stesso limite con $j$ invece che con $i$ lo interpreta come un qualsiasi numero, ma di certo non come unità immaginaria:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+z%281-e%5E%28j+2%5Cpi+z%29%29%2F%28z%5E4-1%29%5E2%2C+z+to+%2Binfty
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