Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao a tutti, ho questa funzione di cui devo calcolare la trasformata di Fourier $ f(x)=(1+x)e^-(|x|) $ . Utilizzo la definizione $ F(omega)=int_(-oo )^(oo ) f(x)e^-(iomegax) dx $. L'ho calcolata spezzandola in due parti $ f(x)=e^-(|x|)+xe^-(|x|) $ e si trova (il risultato dovrebbe essere, se non ho sbagliato qualcosa) $ F(omega )=(2omega^2-4iomega+2)/((1+omega^2)^2 $ . Ora stavo pensando ad un modo alternativo per calcolare la mia trasformata, ma mi porta ad un risultato simile ma non uguale. La funzione è $ f(x)=(1+x)e^-(|x|) $, sostituisco $ t=1+x $ quindi ...
Siano \( - \infty < a
Buonasera,
sto studiando l'equazione di d'Alambert con campo scalare in un mezzo omogeneo nel tempo e nello spazio. In particolare il calcolo della green function, ovvero il campo irradiato da una sorgente impulsiva nello spazio e nel tempo:
\(\displaystyle
(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}) g(\mathbf{R},\tau)= \delta(\mathbf{R}) \delta(\tau)
\)
Ovviamente per l'unicità servono anche le condizioni iniziali sulla funzione e sulla derivata prima.
Per la risoluzione, il ...
Salve,
sono uno studente in chimica, quindi non sono molto ferrato in matematica, devo fare l'esame di meccanica quantistica/chimica quantistica e nella risoluzione dell'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico sono rimasto bloccato su un integrale improprio.
sapendo che in base alla dimostrazione mi trovo:
$xi = sqrt((mu omega)/ħ)x = alpha^(1/2) x$ $rArr$ $x = alpha^(-1/2) xi$ $rArr$ $dx = alpha^(-1/2) d xi$
$Psi_n(xi)=N_nH_n(xi)e^(- (xi^(2))/2)$
$H_n(xi) = (-1)^n e^(xi^(2)) d^n/(d xi^n) e^(-xi^(2))$
(la definizione sopra riportata di polinomi di ...
Buongiorno a tutti.
Definiamo l'arcocoseno complesso (più precisamente il suo valore principale) nel seguente modo:
$\arccos: \mathbb{C} \setminus {\pm 1} \to \mathbb{C} | \arccos(z)=-i\log(z+i\sqrt{1-z^2})$,
dove $\log(z)=\ln|z|+i arg(z)$ è il valore principale del logaritmo complesso (cioè $-\pi<arg(z) \le \pi$),
mentre $\sqrt{1-z^2}=e^{\frac{1}{2}\log(1-z^2)}$ è il valore principale della radice quadrata complessa.
La mia domanda è: [highlight]quanto fa $\arccos(cos(z))$?[/highlight] ($\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ è il coseno complesso).
Il mio procedimento è il seguente: fissiamo anzitutto ...
Salve a tutti.
Ho due esercizi collegati tra loro,
1) Sia \(\displaystyle z\in\mathbb{C}, \vert z\vert=1, z\neq1 \). Si provi che la successione \(\displaystyle (z^n)_n \) non è convergente in \(\displaystyle \mathbb{C} \).
Che è semplice in quanto basta usare la definizione di successione di Cauchy per cui \(\displaystyle \vert z^{n+1}-z^n\vert=\vert e^{i\theta}-1 \vert \) che dipende da \(\displaystyle \theta \) e non da \(\displaystyle n \) quindi non esiste il limite
2) Sia ...
Ciao a tutti, vi scrivo per un aiuto su una Trasformata di Fourier. Devo calcolare la trasformata di Fourier di $ f(x)=1/(x^2-2x+2) $ e credo sia uguale a $ pie^(i(1+i)|omega | $ (spero sia corretta, se così non fosse vi prego di segnalarmelo). Adesso mi viene chiesto di calcolare il seguente integrale $ int_(-prop )^(+prop ) e^(-|x|) cosx dx $ a partire dalla trasformata. So come si fanno esercizi di questo tipo e in altri casi ci sono riuscito ma proprio non riesco a calcolare questo integrale. Potreste aiutarmi? Grazie ...
Considera il problema seguente
\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) \frac{\partial u}{\partial t} & = & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&& x \in ]0, \pi[& t >0 \\
u(0,t) & = &u(\pi,t)& =&0& t >0 \\
u(x,0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale.
ii) Sotto l'ipotesi \(f \in L^1(0, \pi) \) dimostra la regolarità della soluzione.
iii) Sotto l'ipotesi che \(f \in \mathcal{C}^4 \) dimostra che \(\lim_{t \to 0} u(x,t) = f(x) \).
Avrei una domanda sulla parte ...
Buonasera,
Ho un esercizio in cui mi si richiede di dimostrare che lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su $R^n$ non è chiuso in $L^infty (R^n)$ rispetto alla norma dell'estremo superiore essenziale e che, dunque, rispetto a tale norma non è uno spazio di Banach.
Per quanto riguarda la seconda parte è tutto chiaro, ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Banach è anch'esso di Banach. Sulla prima parte invece ho dei problemi.
Suppongo vi sia da trovare una ...
[pgn][/pgn]Buongiorno ragazzi, vi chiedo uno spunto per cominciare questo esercizio poiché non mi viene proprio in mente come partire:
Sia $1<=p_1<p<p_2<=+infty$. Mostrare che se $f in L^p(\R^n)$ allora esistono due funzioni $f_1 in L^(p_1)(\R^n)$ e $f_2 in L^(p_2)(\R^n)$ tali che $f=f_1+f_2$.
Grazie in anticipo
Ho qualche problema con la definizione di convergenza debole. Il mio professore, seguendo abbastanza il mio libro di testo, fa questo ragionamento:
Innanzitutto definiscono il concetto di topologia debole e costruiscono tale topologia attraverso un sistema fondamentale di intorni.
Def. Sia X uno spazio di Banach con $X^*$ come duale, chiamo topologia debole su X la topologia più debole, ossia con meno aperti, che renda continui tutti i funzionali del duale.
Senza dare una ...
Ciao,
sto studiando i seguenti argomenti :
- sviluppo e trasformata di Fourier,
- Laplace,
- Zeta.
Ho molta confusione su come dimostrare che un segnale sia Fourier-trasformabile, Laplace-trasformabile , Z-trasformabile e sviluppabile in serie di Fourier.
La definizione mi da un aiuto nel capire :
Per Z deve essere un segnale discreto ammissibile con convergenza assoluta.
Per Laplace causale.
Per Fourier deve essere assolutamente integrabile (limitata, continua ed infinitesima per f -> ...
buongiorno a tutti,
mi trovo in enorme difficolta con questo esercizio:
Sia $ g(x)=e^(-x)H(x) $ , data la successione di funzioni \( f_n(x)=g(x)\ast \chi _{[0,n ]} (x) \)
(iii) stabilire il limite della successione in D'(R) e in S'(R).
ho le soluzioni a portata di mano, ma non le capisco completamente (in D maggiora sfruttando il supporto, in S con la convergenza dominata).
vorrei sapere quali solo i ragionamenti che devo fare nell'affrontare questo tipo di esercizi e se possibile qualche ...
Salve, sono alle prese con lo studio riguardante transizioni fra stati elettronici molecolari in potenziali di Morse cercando di calcolare i Fattori di Franck-Condon in via analitica. Premettendo che non sono del tutto sicuro del risultato a cui sono arrivato volevo chiedervi aiuto per la risoluzione di tale integrale in modo da poter avere una formula facilmente programmabile.
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-(x/2)(1+e^{\beta'd})} x^{(1/2)(a+a')} L^{a}_{n}(x) L^{a'}_{n'}(xe^{\beta'd)} ...
A corso il prof ci ha dato una dimostrazione falsa del seguente teorema lasciandoci come esercizio di trovare l'errore, ora siccome non trovo nessun errore e siccome lui sostiene sempre che un buon matematico dev'essere diffidente sto iniziando a pensare che non ci sia nessun errore
Voi riuscite a trovare un errore? Io proprio no, e se lo trovate non ditemelo perfavore ma magari indicatemi solo la "zona" di dov'è situato.
Sia \( - \infty \leq a < b \leq + \infty \) e \( 1 \leq p \leq + ...
Sia \(R>0\) e \(f: \partial B(0,R) \to \mathbb{R} \). Considera il problema di trovare \(u=u(x,t) : \overline{B(0,R)} \to \mathbb{R} \) soluzione del problema
\[ \left\{\begin{matrix}
\Delta u = 0 & \text{su} & B(0,R) \\
u = f & \text{su} & \partial B(0,R)
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale \(v\) passando alle coordinate polari \(v(r,\theta):=u(r \cos \theta, r \sin \theta) \) e \(g(\theta):=f(R\cos \theta ,R\sin \theta ) \)
ii) Sotto l'ipotesi che \(g \in L^1 (0,2\pi) \), ...
Salve a tutti ho un esercizio in cui mi sono bloccato ho usato 3 strade una formale una più legata ai calcoli e una più o meno ragionando sulla tipologia di funzione.
Devo dimostrare che:
$ int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx <oo $
Quello che ho fatto è questo:
Metodo formale
$1<=sen(4t)<=1 rArr |sen(4t)|<=1 $
$ rArr int_(-oo)^(oo) |(sen(4t))/(pit)| dx = int_(-oo)^(oo) |1/(pit)| dx$
Ma poi mi uscirebbe logaritmo di infinito ma ho provato a considerare $ 1/(pit)<piK $ ma mi troverei punto e a capo, perchè se $ t=0 $ sono fregato! Come potrei dimostrare che ...
Ho un dubbio riguardo questa funzione, ma non sul risultato che è abbastanza banale, quanto più su un passaggio specifico. Scusate la prolissità e qualche passaggio in più, ma voglio essere sicuro di spiegarmi bene. Devo valutare il tipo di singolarità in $z=0$ della funzione:
$f(z) = z/(e^z-1)$
Posso utilizzare lo sviluppo $e^z = sum_[n=0]^(+oo) (z^n)/(n!)=1+z+z^2/2+z^3/6+...$ e quindi ottengo:
$f(z) = z* 1/([1+z+z^2/2+o(|z|^2)]-1) = 1/(1+z/2+o(|z|)) = 1/(1-[-z/2+o(|z|)]) $
Quindi se chiamo (*)$w = [-z/2+o(|z|)] $, e sapendo che $sum_[n=0]^(+oo)w^n = 1/(1-w)$ per $|w|<1$ posso ...
Vorrei capire se si debba dire "funzione su un gruppo abeliano" oppure "in un gruppo" perchè non si capisce bene cosa intendono, in inglese io trovo tipo "non-linear function in abelian groups"
Una funzione \(\displaystyle {\displaystyle f\colon A\to B}\) definita su un gruppo abeliano \(\displaystyle {\displaystyle A}\) è periodica di periodo \(\displaystyle {\displaystyle t}\), con \(\displaystyle {\displaystyle t\in A}\), se \(\displaystyle {\displaystyle f(a+t)=f(a)}\) per ogni ...
Ciao a tutti, ho provato a svolgere questo esercizio: data la funzione $f(x)=\Sigma\sin^2((n^2x)/2^n)$ determinarne il dominio e verificare che sia periodica di periodo $\pi$ e calcolarne la serie di Fourier (come funzione periodica di periodo $\pi$)
Il dominio mi verrebbe da dire sia R dato che la serie converge totalmente ma non ne sono sicuro, invece la funzione mi sembra periodica di periodo addirittura $\pi/2$ visto il seno al quadrato ma non sono riuscito a svolgere ...
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