Analisi superiore

Salve, stavo cercando di capire una definizione, trovata tra i miei appunti, di curva $ gamma$ che si contrae ad un punto $z_0 in Omega $ : $ gamma : [a,b] -> Omega $ si contrae ad un punto $ z_0 in Omega $ , se $ EE Gamma : [a,b] xx [0,1] -> Omega $ $ Gamma (t,1) = gamma (t)$ $Gamma (a,s) = Gamma (b,s)$ $Gamma (t,0) = z_0 AA t in [a,b]<br /> $ Qualcuno potrebbe spiegarmi questa definizione? Grazie a tutti

Buonasera a tutti, avrei una piccola questione: Si consideri la funzione di variabile complessa $ f(z) = cosz/(z^2+1)^2 $ . Calcolare lo sviluppo di Taylor all'ordine 2 di $ f(z) $ centrato in $ z=0 $ . Applicando il teorema di Taylor trovo che $ f(0)=1, fprime(0)=0,fprimeprime(0)=-5, $ quindi si conclude che $ f(z)=1-5/2z^2+o(z^2) $. Il mio dubbio è: posso sviluppare singolarmente i 2 termini $ cosz=1-z^2/2+o(z^2) $ e $ (z^2+1)^2=1+2z^2+o(z^2) $ e poi procedere dicendo che $ cosz/(z^2+1)^2=(1-z^2/2)/(1+2z^2)+o(z^2)=(1-z^2/2+5/2z^2-5/2z^2)/(1+2z^2)+o(z^2) =$ ...

Ciao a tutti, devo scrivere lo sviluppo in serie di Laurent di $ f $ centrato in $ z=1 $ dove $ f(z)=(3z+1)/(z(z-1)^3 $ . Ho trovato la parte singolare nel polo di ordine 3 in $ z=1 $ sviluppando $ h(z) = (z-1)^3f(z) $ in serie di Taylor ottenendo $ 4/(z-1)^3-1/(z-1)^2+1/(z-1) $ . Il problema è che da qui non so come procedere. Chi sa aiutarmi?

Siano \(f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R}) \) e \( \left| \widehat{f} \right| \in L^1(\mathbb{R}) \) i) Trovare una soluzione formale \(u=u(x,t) \) del problema \[ \left\{\begin{matrix} u_t +u_{xxxx}+u =0 & \text{se} &x \in \mathbb{R}, t >0 \\ u(x,0)=f(x)& \text{con} & x \in \mathbb{R} \end{matrix}\right. \] ii) Dimostra che la soluzione formale trovata in nella questione precedente converge uniformemente a \(f(x) \) quando \(t \to 0 \) Io ho fatto così, va bene? Edit ...

Siano \(f,g \in L^1 (-\pi,\pi) \) con \( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^1} \leq 2 \pi \) Siano \[ f_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \] i) Dimostra che \( \left| 4in + f_n + (-2)^n \right| \geq 1 \) ii) Trova una soluzione formale espressa in serie complessa di \[4u'(x) + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt + 2u(x-\pi) = g(x) \] iii) Inoltre se \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) e \(2\pi\) periodica, dimostra che la soluzione formale trovata in ii) è \( ...

Sia \(f \) la funzione \(2\pi\)- periodica definita su \( [-\pi,\pi[ \) da \[ f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{\pi-x}{2}& \text{se} &x \in ]0,\pi[ \\ 0&\text{se} &x=0 \\ \frac{-\pi-x}{2}& \text{se} &x \in [-\pi,0[ \end{matrix}\right. \] Calcolare la serei complessa di Fourier \(Ff(x) \) e comparare \(Ff(x) \) e \(f(x) \) per ogni \( x \in ]-\pi,\pi[ \), in particolare per \(f(0)\). Allora io ho trovato che la serie di Fourier complessa di \(f \) è data da \[ Ff(x) = \lim_{N \to \infty} ...

C'è un teorema di analisi complessa che ci dice che se \(f\) è analitica in \( z_0 \) e l'ordine dello zero \( ord(f',z_0) = n \geq 0 \), allora effettuando un cambiamento di coordinate locale, \(f(z)= z^{n+1} \). Ovvero esistono dei diffeomorfismi analitici \(h_1, h_2 \) tale che \( h_1(0)=z_0 \) e \( h_2 (0) = f(z_0) \) tale che \[ h_2 \circ f \circ h_1^{-1} = z^{n+1} \] Mi chiedevo, se \(f\) è un polinomio \(f(z)=(z-z_0)^{n} g(z) \) con \(g(z_0) \neq 0 \), a coefficienti interi e ...

Sia \( f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \) \(T\)-periodica e \( g \in L^1(0,T) \). Dimostra che \[ \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{T} f(kx) g(x) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx \int_{0}^{T} g(x) dx \] Io ho pensato di fare così, ma non so se se è corretto, anche perché le correzioni dicono una cosa differente. Per alleggerire la notazione supponiamo \( T= 2\pi \). Se \(g = 0 \) quasi ovunque il risultato è banalmente vero, supponiamo dunque che non sia il caso e abbiamo pertanto \( 0< ...

Ciao, sto studiando il metodo di Perron per risolvere il problema di Dirichlet per il laplaciano e mi sono imbattuto nelle definizioni più generali di funzioni subarmoniche, che però non sono uniche. Ne ho trovate diverse ma non capisco se siano equivalenti: (A) u continua è subarmonica in un aperto $\Omega$ se per ogni palla chiusa $\overline{B} \subset \Omega$ e h armonica nella palla si ha l'implicazione \[u \leq h \text{ in } \partial B \implies u \leq h \text{ in } B\] (B) " " se per ...

Siano \( -\infty < a < b

Salve, mi è venuto un dubbio risolvendo un esercizio. Sostanzialmente l'esercizio è questo \[ L_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi c^2 t}} e^{ - \frac{x^2}{4c^2t}} \] E bisogna dimostrare che per ogni \( \delta >0 \) \[ \lim_{t \to 0^+} \int_{ \left| x \right| > \delta } L_t(x) dx = 0 \] La domanda non è sull'esercizio ma sull'applicazione del teorema della convergenza dominata facendo un cambiamento di variabile. Per questo metto in spoiler l'esercizio. Bom ho stimato per usare il teorema della ...

Controesempi: i) Trova una funzione che è uguale a una funzione continua quasi ovunque ma che non è continua quasi ovunque. ii) Trova una funzione che è continua quasi ovunque ma non è uguale a una funzione continua quasi ovunque. Io per i) ho pensato a \( \chi_{\mathbb{Q}} \) che è quasi ovunque uguale a \( 0 \) che è continua, ma è discontinua ovunque. Per ii) ho pensato a \( \chi_{[0,1]} \) che è continua quasi ovunque (tranne in \(0\) e in \(1\) ) e penso che non sia uguale una funzione ...

Buongiorno Devo calcolare $int_{0}^{+infty} logx/((x-1)^3+x-1) dx$ (logaritmo naturale) ma penso di sbagliare qualcosa. L'integrale è assolutamente convergente perché $x=1$ è una discontinuità eliminabile, il logaritmo si controlla con una potenza di x e la funzione integranda è infinitesima di ordine 3 per x che tende a $+infty$ Ho considerato la funzione ausiliaria $(log z)^2/((z-1)^3+z-1) dz$ ed il cammino di integrazione https://ibb.co/9r2KZc2 "saltando" $z=1$ dal bordo inferiore del taglio ...

Calcola la serie di Fourier di \(f(x)= \left| \sin(x) \right| \) e deduci il valore di \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4n^2-1)^2} \] Allora calcolando la serie di Fourier ho trovato \[ \left| \sin(x) \right| = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{1-4n^2} \] Chiaramente se \( x= \pi \) riesco a calcolare \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-4n^2} = - \frac{1}{2} \] Ma non vedo come dedurre il valore dell'altra... Guardando su wolfram ottengo che quella serie è \( ...

Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto. Consideriamo tre funzioni $f,a,b:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Mi potete confermare se la seguente uguaglianza é corretta? $\int_\mathbb{R} [ f(x) \ast a(x) ] b(x) dx = \int_\mathbb{R} a(x) [ f(-x) \ast b(x) ] dx$ dove $f(x) \ast a(x) = \int_\mathbb{R} f(x-x')a(x')dx'$. Io l'ho ricavata usando lo scambio di ordine di integrazione, ma non sono per nulla convinto che sia corretta. Grazie in anticipo per l'aiuto.

Buon pomeriggio, come esercizio devo calcolare il seguente integrale di linea : $ oint_(C)z^2/(senh^2(z) $ lungo la circonferenza $ zin C, |z|=7 $ Volendo utilizzare il teorema dei residui per calcolare tale integrale, dopo aver classificato le singolarità della funzione ho che : 0 è una singolarità eliminabile $ pi i, -pi i, 2pi i, -2pi i $ sono poli del secondo ordine Quindi il primo residuo dovrebbe essere 0, sto avendo difficoltà nel calcolare gli altri per via della derivata che mi si presenta e mi ...

Salve a tutti, studiando il teorema di Cauchy (analisi complessa), tra le ipotesi del teorema ho trova la seguente: $f:Omega->C$ regolare a tratti $gamma$ Non riesco a spiegarmi cosa significhi che f sia " regolare a tratti $gamma$ " , qualcuno potrebbe darmi una definizione o comunque una spiegazione pratica ? Grazie a tutti P.s. in maniera intuitiva ho pensato ad una funzione che è $regolare $ nei tratti $gamma$ in cui è suddivisa. Quindi in ogni ...

Sia \( u_n \) una successione di funzioni misurabili tali che \( \left| u_n \right| \leq f \) dove \( f \in L^1(\mathbb{R}) \). i) Dimostra che \[ \int \lim \inf_{n \to \infty} u_n \leq \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \leq \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \leq \int \lim \sup_{n \to \infty} \] ii) Calcola i quattro integrali per \( u_{2n} = \chi_{[0,1]} \) e \( u_{2n+1} = \chi_{]1,3] } \). Allora per il punto i) penso di aver fatto giusto ma non uso l'ipotesi che \(f\in L^1\) quindi ...

Buonasera a tutti, come esercizio devo risolvere mediante il teorema rei residui il seguente integrale di linea : $ oint_(c)1/(senh(z) $ dove C è la curva complessa così definita : $ z in C, |z|=7 $ Per prima cosa ho classificato i poli della funzione da integrare, dopo aver fatto opportune considerazioni sulla funzione seno iperbolico, e sfruttandone l'espansione in serie di Taylor ho calcolato che i residui sono : 1 per i poli $ 0,2pi i,-2pi i $ -1 per i poli $ pi i,-pi i $ E quindi ...

Salve a tutti Stavo cercando di sviluppare la seguente funzione in serie di Laurent centrata in $ z0 = 2 $. La funzione è $ f(z) = z/((z-3)^2(z-1)) $ La funzione ha due poli: $ z1 = 3 $ di ordine $2$ e $ z2 = 1 $ che è un polo semplice. Sono riuscito a trovare i residui per scomporla in fratti semplici, quindi: $ f(z) = (1/4)/(z-1) + (3/2)/(z-3)^2 - (1/4)/(z-3) $ Il problema è che ora non so come andare avanti: avevo pensato di considerarla come una somma di serie geometriche, ma non so come sviluppare ...