Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
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Siano \(f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R}) \) e \( \left| \widehat{f} \right| \in L^1(\mathbb{R}) \)
i) Trovare una soluzione formale \(u=u(x,t) \) del problema
\[
\left\{\begin{matrix}
u_t +u_{xxxx}+u =0 & \text{se} &x \in \mathbb{R}, t >0 \\
u(x,0)=f(x)& \text{con} & x \in \mathbb{R}
\end{matrix}\right.
\]
ii) Dimostra che la soluzione formale trovata in nella questione precedente converge uniformemente a \(f(x) \) quando \(t \to 0 \)
Io ho fatto così, va bene?
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Studente Anonimo
30 lug 2020, 16:37
Siano \(f,g \in L^1 (-\pi,\pi) \) con \( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^1} \leq 2 \pi \)
Siano \[ f_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \]
i) Dimostra che \( \left| 4in + f_n + (-2)^n \right| \geq 1 \)
ii) Trova una soluzione formale espressa in serie complessa di
\[4u'(x) + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt + 2u(x-\pi) = g(x) \]
iii) Inoltre se \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) e \(2\pi\) periodica, dimostra che la soluzione formale trovata in ii) è \( ...
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Studente Anonimo
28 lug 2020, 15:45
Sia \(f \) la funzione \(2\pi\)- periodica definita su \( [-\pi,\pi[ \) da
\[ f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{\pi-x}{2}& \text{se} &x \in ]0,\pi[ \\
0&\text{se} &x=0 \\
\frac{-\pi-x}{2}& \text{se} &x \in [-\pi,0[
\end{matrix}\right. \]
Calcolare la serei complessa di Fourier \(Ff(x) \) e comparare \(Ff(x) \) e \(f(x) \) per ogni \( x \in ]-\pi,\pi[ \), in particolare per \(f(0)\).
Allora io ho trovato che la serie di Fourier complessa di \(f \) è data da
\[ Ff(x) = \lim_{N \to \infty} ...
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Studente Anonimo
29 lug 2020, 16:42
C'è un teorema di analisi complessa che ci dice che se \(f\) è analitica in \( z_0 \) e l'ordine dello zero \( ord(f',z_0) = n \geq 0 \), allora effettuando un cambiamento di coordinate locale, \(f(z)= z^{n+1} \). Ovvero esistono dei diffeomorfismi analitici \(h_1, h_2 \) tale che \( h_1(0)=z_0 \) e \( h_2 (0) = f(z_0) \) tale che
\[ h_2 \circ f \circ h_1^{-1} = z^{n+1} \]
Mi chiedevo, se \(f\) è un polinomio \(f(z)=(z-z_0)^{n} g(z) \) con \(g(z_0) \neq 0 \), a coefficienti interi e ...
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Studente Anonimo
12 ago 2020, 11:19
Sia \( f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \) \(T\)-periodica e \( g \in L^1(0,T) \).
Dimostra che
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{T} f(kx) g(x) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) dx \int_{0}^{T} g(x) dx \]
Io ho pensato di fare così, ma non so se se è corretto, anche perché le correzioni dicono una cosa differente.
Per alleggerire la notazione supponiamo \( T= 2\pi \).
Se \(g = 0 \) quasi ovunque il risultato è banalmente vero, supponiamo dunque che non sia il caso e abbiamo pertanto \( 0< ...
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Studente Anonimo
29 lug 2020, 15:27
Ciao, sto studiando il metodo di Perron per risolvere il problema di Dirichlet per il laplaciano e mi sono imbattuto nelle definizioni più generali di funzioni subarmoniche, che però non sono uniche.
Ne ho trovate diverse ma non capisco se siano equivalenti:
(A) u continua è subarmonica in un aperto $\Omega$ se per ogni palla chiusa $\overline{B} \subset \Omega$ e h armonica nella palla si ha l'implicazione \[u \leq h \text{
in } \partial B \implies u \leq h \text{ in } B\]
(B) " " se per ...
Siano \( -\infty < a < b
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Studente Anonimo
30 lug 2020, 17:22
Salve, mi è venuto un dubbio risolvendo un esercizio. Sostanzialmente l'esercizio è questo
\[ L_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi c^2 t}} e^{ - \frac{x^2}{4c^2t}} \]
E bisogna dimostrare che per ogni \( \delta >0 \)
\[ \lim_{t \to 0^+} \int_{ \left| x \right| > \delta } L_t(x) dx = 0 \]
La domanda non è sull'esercizio ma sull'applicazione del teorema della convergenza dominata facendo un cambiamento di variabile. Per questo metto in spoiler l'esercizio.
Bom ho stimato per usare il teorema della ...
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Studente Anonimo
4 ago 2020, 14:24
Controesempi:
i) Trova una funzione che è uguale a una funzione continua quasi ovunque ma che non è continua quasi ovunque.
ii) Trova una funzione che è continua quasi ovunque ma non è uguale a una funzione continua quasi ovunque.
Io per i) ho pensato a \( \chi_{\mathbb{Q}} \) che è quasi ovunque uguale a \( 0 \) che è continua, ma è discontinua ovunque.
Per ii) ho pensato a \( \chi_{[0,1]} \) che è continua quasi ovunque (tranne in \(0\) e in \(1\) ) e penso che non sia uguale una funzione ...
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Studente Anonimo
2 ago 2020, 14:47
Buongiorno
Devo calcolare
$int_{0}^{+infty} logx/((x-1)^3+x-1) dx$
(logaritmo naturale)
ma penso di sbagliare qualcosa.
L'integrale è assolutamente convergente perché $x=1$ è una discontinuità eliminabile, il logaritmo si controlla con una potenza di x e la funzione integranda è infinitesima di ordine 3 per x che tende a $+infty$
Ho considerato la funzione ausiliaria $(log z)^2/((z-1)^3+z-1) dz$
ed il cammino di integrazione
https://ibb.co/9r2KZc2
"saltando" $z=1$ dal bordo inferiore del taglio ...
Calcola la serie di Fourier di \(f(x)= \left| \sin(x) \right| \) e deduci il valore di
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4n^2-1)^2} \]
Allora calcolando la serie di Fourier ho trovato
\[ \left| \sin(x) \right| = \frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{1-4n^2} \]
Chiaramente se \( x= \pi \) riesco a calcolare
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-4n^2} = - \frac{1}{2} \]
Ma non vedo come dedurre il valore dell'altra...
Guardando su wolfram ottengo che quella serie è \( ...
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Studente Anonimo
29 lug 2020, 22:15
Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto.
Consideriamo tre funzioni $f,a,b:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Mi potete confermare se la seguente uguaglianza é corretta?
$\int_\mathbb{R} [ f(x) \ast a(x) ] b(x) dx = \int_\mathbb{R} a(x) [ f(-x) \ast b(x) ] dx$
dove
$f(x) \ast a(x) = \int_\mathbb{R} f(x-x')a(x')dx'$.
Io l'ho ricavata usando lo scambio di ordine di integrazione, ma non sono per nulla convinto che sia corretta.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Buon pomeriggio, come esercizio devo calcolare il seguente integrale di linea :
$ oint_(C)z^2/(senh^2(z) $
lungo la circonferenza
$ zin C, |z|=7 $
Volendo utilizzare il teorema dei residui per calcolare tale integrale, dopo aver classificato le singolarità della funzione ho che :
0 è una singolarità eliminabile
$ pi i, -pi i, 2pi i, -2pi i $ sono poli del secondo ordine
Quindi il primo residuo dovrebbe essere 0, sto avendo difficoltà nel calcolare gli altri per via della derivata che mi si presenta e mi ...
Salve a tutti, studiando il teorema di Cauchy (analisi complessa), tra le ipotesi del teorema ho trova la seguente:
$f:Omega->C$ regolare a tratti $gamma$
Non riesco a spiegarmi cosa significhi che f sia " regolare a tratti $gamma$ " , qualcuno potrebbe darmi una definizione o comunque una spiegazione pratica ? Grazie a tutti
P.s. in maniera intuitiva ho pensato ad una funzione che è $regolare $ nei tratti $gamma$ in cui è suddivisa. Quindi in ogni ...
Sia \( u_n \) una successione di funzioni misurabili tali che \( \left| u_n \right| \leq f \) dove \( f \in L^1(\mathbb{R}) \).
i) Dimostra che
\[ \int \lim \inf_{n \to \infty} u_n \leq \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \leq \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \leq \int \lim \sup_{n \to \infty} \]
ii) Calcola i quattro integrali per \( u_{2n} = \chi_{[0,1]} \) e \( u_{2n+1} = \chi_{]1,3] } \).
Allora per il punto i) penso di aver fatto giusto ma non uso l'ipotesi che \(f\in L^1\) quindi ...
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Studente Anonimo
27 lug 2020, 18:14
Buonasera a tutti, come esercizio devo risolvere mediante il teorema rei residui il seguente integrale di linea :
$ oint_(c)1/(senh(z) $
dove C è la curva complessa così definita :
$ z in C, |z|=7 $
Per prima cosa ho classificato i poli della funzione da integrare, dopo aver fatto opportune considerazioni sulla funzione seno iperbolico, e sfruttandone l'espansione in serie di Taylor ho calcolato che i residui sono :
1 per i poli $ 0,2pi i,-2pi i $
-1 per i poli $ pi i,-pi i $
E quindi ...
Salve a tutti
Stavo cercando di sviluppare la seguente funzione in serie di Laurent centrata in $ z0 = 2 $.
La funzione è $ f(z) = z/((z-3)^2(z-1)) $
La funzione ha due poli: $ z1 = 3 $ di ordine $2$ e $ z2 = 1 $ che è un polo semplice.
Sono riuscito a trovare i residui per scomporla in fratti semplici, quindi:
$ f(z) = (1/4)/(z-1) + (3/2)/(z-3)^2 - (1/4)/(z-3) $
Il problema è che ora non so come andare avanti: avevo pensato di considerarla come una somma di serie geometriche, ma non so come sviluppare ...
Buonasera, come esercizio devo sviluppare la seguente funzione in serie di Laurent centrata in $z0 = 2$.
$ f(z)= 1/(z-1)^2 $ .
Lavorando sulla funzione primitiva rispetto a quella data e cercando di ricondurmi alla somma di una serie geometrica ho manipolato la funzione fino a :
$ -1/(1-(-(z-2))) $
Ora so che ho un polo semplice in $z=1$ e quindi nell'intorno del punto in cui mi si chiede di centrare lo sviluppo incontrerei una singolarità. Come devo procedere?
Buongiorno, non riesco a capire un'uguaglianza di una dimostrazione che riguarda le serie di potenze.
Se $ omega in D(z_0 , R) $ allora :
$ |c_k(z-z_0)^k|=|c_k(z-z_0)^k ((w-z_0)^k)/(z-z_0)^k|$
Per $D(z_0 , R)$ s'intende il disco chiuso, $z_0$ sarebbe il centro della serie e $|c_k(z-z_0)|$ il termine generale della serie di potenze.
p.s. non capisco perché quella quantità : $((w-z_0)^k)/(z-z_0)^k$ dovrebbe fare 1
Grazie a tutti
Buonasera,
sono uno studente di ingegneria e mi è sorto un dubbio sulla delta di dirac. Nel corso di microonde abbiamo definito una sorgente impressa collocata nell'origine sfruttando la funzione della delta di dirac. Dopo vari passaggi siamo arrivati a fare l'integrale di volume della delta di dirac considerando come volume una sferetta di raggio infinitesimo (quindi che tende a zero). Praticamente il risultato di questo integrale di volume è stato pari ad 1 ed il professore ci ha detto che ...
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