Verifica soluzione PDE

[cooper1]

Ciao a tutti. Non riesco a portare a termine questa verifica per la soluzione di una PDE. Si consideri
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial v^{\epsilon}(t,x)}{\partial t}= L^{\epsilon}v^{\epsilon}(t,x)+c(x)v^{\epsilon}(t,x)+g(x); \quad t>0, \: x \in \mathbb{R}^r \\
v^{\epsilon}(0,x)=f(x) \\
\end{cases}
\end{equation}
per $\epsilon > 0$ insieme al problema per $\epsilon = 0$:
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{\partial v^{0}(t,x)}{\partial t}= L^{0}v^{0}(t,x)+c(x)v^{0}(t,x)+g(x); \quad t>0, \: x \in \mathbb{R}^r \\
v^{0}(0,x)=f(x) \\
\end{cases}
\end{equation}
Considerare poi l'SDE: $dX_{t}^{\epsilon,x}=b(X_{t}^{\epsilon, x})dt+\epsilon \sigma(X_{t}^{\epsilon,x})dW_t$, dove $W$ è un processo di Wiener

$
L^{\epsilon}= \frac{\epsilon^2}{2} \sum_{i,j=1}^{r}a^{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x^i \partial x^j} + \sum_{i=1}^{r}b^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i}
$

con $\sigma(x)\sigma^t(x)=a^{i,j}(x)$.

Ho provato che
\begin{equation*}
\begin{split}
\lim_{\epsilon \to 0} v^{\epsilon}(t,x) &= f(X_{t}^{0,x})\exp\biggl\{ \int_{0}^{t}c(X_{s}^{0,x})ds \biggr\} \\
&+ \int_{0}^{t} g(X_{s}^{0,x})\exp \biggl\{ \int_{0}^{s}c(X_{v}^{0,x})dv \biggr\} ds
\end{split}
\end{equation*}
e ora devo far vedere che la funzione a destra è soluzione del secondo problema di Cauchy (quello con $\epsilon =0$). So che devo calcolare le derivate e sostituirle ma sto avendo dei problemi. Quello che ho fatto è questo:

$
\frac{\partial v^0}{\partial t}= f(X_{t}^{0,x})c(X_{t}^{0,x})e^{\int_{0}^{t}c(X_{s}^{0,x})ds}+g(X_{t}^{0,x})e^{\int_{0}^{t}c(X_{s}^{0,x})ds}
$

$
L^0v^0 = \frac{\partial f}{\partial X}(X_{t}^{0,x})e^{\int c(X_{s}^{0,x})ds}+f(X_{t}^{0,x})c(X_{t}^{0,x})e^{\int c(X_{s}^{0,x})ds}+g(X_{t}^{0,x})e^{\int c(X_{s}^{0,x})ds}
$

Se sostituisco nel problema e sommo ottengo
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial X}(X_{t}^{0,x})e^{\int_{0}^{t} c(X_{s}^{0,x})ds}+f(X_{t}^{0,x})c(X_{t}^{0,x})e^{\int_{0}^{t} c(X_{s}^{0,x})ds}+c(X_{t}^{0,x})\int_{0}^{t}g(X_{s}^{0,x})e^{\int_{0}^{s} c(X_{v}^{0,x})dv}ds+g(X_{t}^{0,x})=0
\end{equation*}

quello che ho fatto è giusto? come posso continuare/correggere?
grazie in anticipo a tutti quanti

[cooper1]

Ho tentato con questa argomentazione:
considero il processo
\[
Y(s)=v(t-s,X_s)e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}+\int_{0}^{s}g(X_r)e^{\int_{0}^{r}c(X_v)dv}dr
\]
che so essere una martingala e quindi ha coefficiente diffusivo (o drift) nullo. Applicando la formula di integrazione per parti stocastica ho
$dY_s = d(e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr})v+e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}dv+d(e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr})dv+d(\int_{0}^{s}g(X_r)e^{\int_{0}^{r}c(X_v)dv}dr)$
poi osservo che
1. $d(e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr})=c(X_s)e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}ds$
2. il terzo termine è $O(dsdw_s)$ e quindi lo posso trascurare
3.$ dv=(-\dot{v}+\mathcal{L}v)ds+\sigma(X_s)\epsilonv_x e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}dw_s$
4. $d(\int_{0}^{s}g(X_r)e^{\int_{0}^{r}c(X_v)dv}dr)= g(X_s)e^{\int_{0}^{s}c(X_v)dv}$
dove $\mathcal{L}$ è il generatore infinitesimale del semigruppo di Kolmogorov. quindi
$dY_s = e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}(-\dot{v}+\mathcal{L}v+cv+g)ds+\sigma(X_s)\epsilonv_x e^{\int_{0}^{s}c(X_r)dr}dw_s$
annullando il drift ho quindi la PDE cercata.
Pensate possa andare?