Completezza di \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \)
Sia \( (X,d) \) uno spazio metrico. Consideriamo \( f: X \to \mathbb{R} \) una funzione limitata, i.e. \( f(X) \) è un sottoinsieme-limitato di \( \mathbb{R} \), denotiamo con \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \) l'insieme delle applicazioni limitate, e definiamo \( \rho(f,g) = \sup \{ \left| f(x)-g(x) \right| : x \in X \} \) per \(f,g \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \).
a) Dimostra che \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \) è uno spazio metrico.
b) Dimostra che è completo
Ho una domanda sul punto b) secondo me le soluzioni l'hanno fatta inutilmente complicata.
Sia \( \{ f_n \}_{n \geq 1} \) una successione di Cauchy in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \). Ovvero
\[ \forall \epsilon > 0 \exists N >0 \text{ t.q. } \forall m, n \geq N \text{ risulta } \rho(f_m,f_n) < \epsilon \]
Per \(x \in X \) fissato deduciamo dunque
\[ \forall \epsilon > 0\exists N >0 \text{ t.q. } \forall m, n \geq N \text{ risulta } \left| f_m(x) - f_n(x) \right| < \epsilon \]
Dunque \( \{ f_n(x) \}_{n \geq 1 } \) è una successione di Cauchy in \( \mathbb{R} \). Siccome la retta euclidea è completa, abbiamo trovato un certo \( f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R} \). Effettuando il medesimo argomento per tutti gli \(x \in X \), questo definisce un'applicazione \( f: X \to \mathbb{R} \), tale che \(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) per tutti gli \(x \in X \).
A questo stadio non sappiamo ancora se \(f \) è limitata.
(e sono d'accordo abbiamo trovato un limite in \(f \in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) \), ma non è necessariamente vero che \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \).
Fissiamo \( \epsilon >0 \). Poiché \( \{ f_n \} \) è di Cauchy allora esiste \( N \) tale che
\[ \forall m \geq N , \forall n \geq N , \forall x \in X \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
che si può anche scrivere
\[ \forall n \geq N , \forall x \in X, \forall m \geq N , \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
E dunque per tutti gli \(n \geq N \) e tutti gli \(x \in X \) otteniamo
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| = \lim_{m \to \infty} \left| f_n(x) - f_m(x) \right| \leq \epsilon \]
Abbiamo dunque dimostrato che
\[ \forall \epsilon > 0 , \exists N >0 , \forall n \geq N \forall x \in X \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
pertanto
\[ \lim_{n \to \infty} \sup \{ \left| f_n(x) - f(x) \right| : x \in X \} = 0 \]
In particolare prendendo \( \epsilon = 1 \), otteniamo \( \left| f_N(x) - f(x) \right| \leq 1 \)
per tutti gli \(x \in X \) e dunque \( \left| f(x) \right| \leq \left| f_N(x) \right| + 1 < \infty \) per tutti gli \(x \in X \).
Dunque \(f \) è limitata e abbiamo dimostrato che \[ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall n \geq N \rho(f_n,f) \leq \epsilon \]
e dunque
\[ f_n \to f \in (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \]
Okay dice cose totalmente corrette. Ma non sarebbe sufficiente una volta dimostrato che esiste il limite in \( f \in \mathcal{F}(X,\mathbb{R} ) \) dire che per \(x \in X \) fissato e \( n \) sufficientemente grande possiamo trovare \( 0 < \epsilon < 1\) sufficientemente piccolo grazie al fatto che \( f_n(x) \to f(x) \) in \( ( \mathbb{R} , d_E ) \).
\[ \left| f(x) \right| \leq \left| f_n(x) \right| + \left| f(x) - f_n(x) \right| \leq \epsilon + \left| f_n(x) \right| \leq 1+ \sup_{x \in X} \left| f_n(x) \right| < \infty \]
pertanto \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) da cui segue direttamente che
\[ \lim_{n \to \infty} \rho(f_n,f) = 0 \]
a) Dimostra che \( (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \) è uno spazio metrico.
b) Dimostra che è completo
Ho una domanda sul punto b) secondo me le soluzioni l'hanno fatta inutilmente complicata.
Sia \( \{ f_n \}_{n \geq 1} \) una successione di Cauchy in \( \mathcal{B}(X,\mathbb{R} ) \). Ovvero
\[ \forall \epsilon > 0 \exists N >0 \text{ t.q. } \forall m, n \geq N \text{ risulta } \rho(f_m,f_n) < \epsilon \]
Per \(x \in X \) fissato deduciamo dunque
\[ \forall \epsilon > 0\exists N >0 \text{ t.q. } \forall m, n \geq N \text{ risulta } \left| f_m(x) - f_n(x) \right| < \epsilon \]
Dunque \( \{ f_n(x) \}_{n \geq 1 } \) è una successione di Cauchy in \( \mathbb{R} \). Siccome la retta euclidea è completa, abbiamo trovato un certo \( f_n(x) \to f(x) \in \mathbb{R} \). Effettuando il medesimo argomento per tutti gli \(x \in X \), questo definisce un'applicazione \( f: X \to \mathbb{R} \), tale che \(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) per tutti gli \(x \in X \).
A questo stadio non sappiamo ancora se \(f \) è limitata.
(e sono d'accordo abbiamo trovato un limite in \(f \in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) \), ma non è necessariamente vero che \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \).
Fissiamo \( \epsilon >0 \). Poiché \( \{ f_n \} \) è di Cauchy allora esiste \( N \) tale che
\[ \forall m \geq N , \forall n \geq N , \forall x \in X \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
che si può anche scrivere
\[ \forall n \geq N , \forall x \in X, \forall m \geq N , \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon \]
E dunque per tutti gli \(n \geq N \) e tutti gli \(x \in X \) otteniamo
\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| = \lim_{m \to \infty} \left| f_n(x) - f_m(x) \right| \leq \epsilon \]
Abbiamo dunque dimostrato che
\[ \forall \epsilon > 0 , \exists N >0 , \forall n \geq N \forall x \in X \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq \epsilon \]
pertanto
\[ \lim_{n \to \infty} \sup \{ \left| f_n(x) - f(x) \right| : x \in X \} = 0 \]
In particolare prendendo \( \epsilon = 1 \), otteniamo \( \left| f_N(x) - f(x) \right| \leq 1 \)
per tutti gli \(x \in X \) e dunque \( \left| f(x) \right| \leq \left| f_N(x) \right| + 1 < \infty \) per tutti gli \(x \in X \).
Dunque \(f \) è limitata e abbiamo dimostrato che \[ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall n \geq N \rho(f_n,f) \leq \epsilon \]
e dunque
\[ f_n \to f \in (\mathcal{B}(X,\mathbb{R}),\rho) \]
Okay dice cose totalmente corrette. Ma non sarebbe sufficiente una volta dimostrato che esiste il limite in \( f \in \mathcal{F}(X,\mathbb{R} ) \) dire che per \(x \in X \) fissato e \( n \) sufficientemente grande possiamo trovare \( 0 < \epsilon < 1\) sufficientemente piccolo grazie al fatto che \( f_n(x) \to f(x) \) in \( ( \mathbb{R} , d_E ) \).
\[ \left| f(x) \right| \leq \left| f_n(x) \right| + \left| f(x) - f_n(x) \right| \leq \epsilon + \left| f_n(x) \right| \leq 1+ \sup_{x \in X} \left| f_n(x) \right| < \infty \]
pertanto \( f \in \mathcal{B}(X,\mathbb{R}) \) da cui segue direttamente che
\[ \lim_{n \to \infty} \rho(f_n,f) = 0 \]
Risposte
Santo cielo, correggi quel titolo!
Eh, il francese 
Ooops 
ormai i francesismi brutti mi escono senza accorgermi.
ormai i francesismi brutti mi escono senza accorgermi.
"3m0o":
[...] Ma non sarebbe sufficiente una volta dimostrato che esiste il limite in \( f \in \mathcal{F}(X,\mathbb{R} ) \) dire che per \(x \in X \) fissato e \( n \) sufficientemente grande possiamo trovare \( 0 < \epsilon < 1\) sufficientemente piccolo grazie al fatto che \( f_n(x) \to f(x) \) in \( ( \mathbb{R} , d_E ) \).
\[ \left| f(x) \right| \leq \left| f_n(x) \right| + \left| f(x) - f_n(x) \right| \leq \epsilon + \left| f_n(x) \right| \leq 1+ \sup_{x \in X} \left| f_n(x) \right| < \infty \] [...]
Questo argomento non mi convince. La stima che fai non è uniforme; fissiamo infatti \( \epsilon \). E' certamente vero che esiste \( N(x) \) tale che \( |f(x) - f_n(x)|<\epsilon \) per ogni \(n \ge N \) ma, come ho messo in evidenza, \(N\) dipende dal punto \(x\). Potrebbe esistere una successione di punti \( x_k \) tale che \( \sup_x |f_{N(x_k)} (x) | \to \infty \) per \( k \to \infty \).
Mi sa che hai ragione, non funziona. Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo