Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Consultando i miei appunti sulla definizione di distribuzione, si legge quanto segue.
Una distribuzione $T \in D'$ è un funzionale lineare e continuo, ossia risulta
1)\(\displaystyle T(c\varphi + d\psi) = cT\varphi + dT\psi\)
\(\displaystyle \forall \varphi,\psi \in D\) e \(\displaystyle c,d \in \mathbb{C} \), denotando con $D$ lo spazio delle funzioni test.
2) \(\displaystyle \varphi_n \rightarrow \varphi\) in $D$ ...
Buonasera.
Devo determinare che tipo di singolarità è 0 per la seguente funzione
$ f(z)=z*sin(1/z^2) $
Io avrei detto una singolarità eliminabile, perchè facendo il limite per z che va a 0, ho il prodotto di una infinitesima per una limitata che dà 0.
In realtà è una singolarità essenziale. Dove sbaglio?
E' noto* che la direttività di un array di antenne, quando le eccitazioni relative dei singoli elementi radianti sono quelle che producono un pattern somma alla Chebyshev, la direttività assume la seguente espressione matematica:
[tex]D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}[/tex]
dove [tex]N[/tex] è naturale ([tex]2N+1[/tex] è il numero di elementi), [tex]u_0\geq 1[/tex] e tale che [tex]T_{2N}(u_0)=b[/tex] ([tex]T_{2N}[/tex] è il ...
Ciao a tutti! Ho un quesito di analisi complessa particolarmente interessante secondo me.
Sia $Omega$ un aperto del piano complesso ed $H(Omega)$ l'anello delle funzioni olomorfe in $Omega$. Provare che: \[ H(\Omega) \text{ e' un dominio di integrita'} \iff \Omega \text{ e' connesso }\]
Per quanto riguarda $(Leftarrow)$ ho che $Omega$ è un aperto connesso e se $f$ e $g in H(Omega)$ non sono la funzione identicamente nulla allora posso ...
Salve.
In contesti di probabilità [nota]Detto $\mathcal{C}$ lo spazio delle funzioni continue da $[0,T]$, con $T>0$, a valori in $\mathbb R^m$ e $\mathcal{M}$ la $\sigma$-algebra di borel associata alla topologia della convergenza uniforme sui compatti, dovevo provare che una certa successione di leggi di processi convergesse alla misura di Wiener $\mathbb P^W$.[/nota] mi sono trovato di fronte alla nozione di " topologia della convergenza ...
Salve a tutti ho iniziato a studiare i segnali e mi è sorto un dubbio sulla formula di un segnale in particolare. Praticamente considerando la finestra triangolare, ottiene che il segnale si esprime in questo modo :
$ A(t)=(1+t)[u(t+1)-u(t)]+(1-t)[u(t)-u(t-1)] =$
e fin qui mi è chiaro, perchè è come se sommasse i due pezzi, dopodichè scrive
$ =(1-|t|)[u(t+1)-u(t-1)] $ e questa quantità non capisco da dove esca, potreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo.
Sia \( \xi \) la funzione xi di Riemann allora possiede fattorizzazione di Hadamard
\[ \xi(s) = e^{Bs} \prod_{ \rho } \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho} \]
dove la costante \( B \in \mathbb{C} \) è
\[ B = - \sum_{\rho } \frac{1}{\rho} \]
e dove \( \rho \) percorre l'insieme degli zeri non banali della \( \zeta \).
Alla fine della dimostrazione c'è un NB che mi fa venire il dubbio se il tutto è ben definito.
Per la prima parte sono apposto. La seconda parte (l'espressione di B) ho un ...
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Studente Anonimo
12 dic 2020, 18:26
Avrei una domanda sul seguente teorema:
La funzione \( \zeta(s) \) si prolunga meromorficamente a tutto il piano complesso e verifica l'equazione funzionale seguente
\[ \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) = \pi^{-(1-s)/2} \Gamma\left( \frac{1-s}{2} \right) \zeta(1-s) \]
Il cui solo polo, semplice e di residuo \(1\), si trova in \(s=1\).
Utilizzando inoltre le relazione che \( \Gamma(s) \Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin(\pi s) } \) e \( \Gamma(s) \Gamma(s + 1/2) = \sqrt{\pi} 2^{1-2s} \Gamma(2s) \), ...
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Studente Anonimo
12 dic 2020, 14:36
Ho difficoltà a capire diversi passaggi nella dimostrazione di questo lemma.
Sia \( \chi \mod q \) un carattere di Dirichlet non prinicipale. Allora \( L(1,\chi) \neq 0 \). Dove \( L(s,\chi) \) è la \(L\)-function associata a \( \chi \).
Per semplicità ho suddiviso la dimostrazione in più step. Ogni step è un piccolo claim e nello spoiler ci sono le domande, segue poi la dimostrazione.
Grazie anche a chi riesce a rispondermi solo ad alcune di queste domande. Grazie.
Step 1: Dimostriamo che ...
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Studente Anonimo
10 dic 2020, 18:39
Ciao.
Sto scrivendo la mia tesi e il mio relatore mi ha chiesto di inserire un esempio di insieme convesso di R^n e di trovare i suoi punti estremali. Io finché si tratta di insieme in R^2/R^3 sarei in grado, ma in R^n non riesco proprio. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano.
Vi ringrazio!!
Non so se si chiami effettivamente così, ma l'ho trovata nel mio libro di antenne:
\(\displaystyle e^{ik\rho \sin\theta\cos(\phi-\beta)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}j^mJ_m(k\rho\sin\theta )e^{jm(\phi-\beta)} \)
dove \(\displaystyle k,\rho>0 \) e \(\displaystyle \theta,\phi,\beta\in [0,2\pi] \); $j$ è l'unità immaginaria e $J_m$ è la funzione di Bessel ordinaria di ordine $m$.
Mi piacerebbe capire la teoria che c'è dietro questa uguaglianza, se c'è qualcosa ...
Sarà una cavolata, ma non capisco molto bene perché afferma che sono equivalenti
Sia \(f \) una funzione aritmetia e \(g: [y,x] \to \mathbb{C} \) una funzione continuamente derivabile. Allora
\[ \sum_{y < n \leq x} f(n) g(n) = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x) - \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(y) - \int_{y}^{x} \left( \sum_{n \leq \xi} f(n) \right) g'(\xi) \operatorname{d} \xi \]
oppure equivalentemente
\[ \sum_{y < n \leq x} f(n) g(n) = \int_{y}^{x} g(\xi) ...
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Studente Anonimo
9 dic 2020, 11:33
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Si consideri la funzione:
$ hat(f)(k)= e^(ik\cdot y)/((2pi)^(3/2)|k|^2) $ con $ kin R^3 $ , $ yin R^3 $.
Verificare che $ hat(f) $ è la trasformata di Fourier della funzione:
$ f(x)=1/(4pi|x-y|) $ con $ xinR^3 $.
Grazie per l'aiuto.
Buongiorno a tutti ragazzi, sto studiando la valutazione di opzioni multiasset in programmazione robusta così come spiegata nei paper qui sotto
http://www.mit.edu/~dbertsim/papers/Robust%20Optimization/Robust%20Option%20Pricing.pdf(pag. 848, 5.1)https://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/55108/591313102-MIT.pdf;sequence=2(pag. 31, 6.1)https://www.doc.ic.ac.uk/teaching/distinguished-projects/2012/n.rujeerapaiboon.pdf(pag. 76, 6.2) e sto trovando difficoltà a capire come gli autori arrivino alla condizione
$||C(\tilde{R}_1-\hat{R}_1)|| \leq \Gamma$(So che il "cappello" dovrebbe essere "verso il basso" ma non riesco ad inserirlo in Latex) dove:
1) $\Gamma \in \mathbb{R}^+$ è un parametro che viene prestabilito dal ...
Ciao a tutti.
Sono passati diversi anni ormai da quando studiai analisi 1 e analisi 2 all'Università. Oggi però avrei necessità di comprendere una cosa per un altro studio che utilizza proprio strumenti di analisi. Con non poca fatica mi ci sono messo , ma ho dei dubbi e dunque vi chiederei se siete così gentili da aiutarmi a chiarire.
Non mi serve entrare troppo nel merito con dimostrazioni, semplicemente vorrei capire cosa è giusto e soprattutto cosa è sbagliato.
Devo approssimare una ...
Salve
è possibile in modo relativamente semplice dimostrare che
$d/dx[(1 - x^2)^m d^m/dx^mPn(x)] = -(n+m)(n-m+1)(1 - x^2)^(m-1)d^(m-1)/dx^(m-1)Pn(x)$ ?
dove Pn(x) è il polinomio di Legendre
$1/(2^n n!) d^n/dx^n (x^2 - 1)^n$
Salve a tutti, avrei bisogno di risolvere il seguente integrale, va bene anche utilizzando la sostituzione nel campo complesso.
$ int_(0)^(2pi) dx/(5+4cosx)^2 $
Ho provato ad utilizzare il campo complesso ma non riesco a trovarmi. Grazie a tutti in anticipo.
Vorrei calcolare $\int_{C(0,2a)} e^z/(a^2+z^2) dz, a>0$. Ho scritto $a^2+z^2=(z+ia)(z-ia)$ ed intendo usare la formula di Cauchy per la circonferenza. Tuttavia $ia, -ia in D(0,2a)$ e questo mi impedisce di utilizzare detto teorema scrivendo l'integranda come $(e^z/(z-ia))/(z+ia)$ ad esempio, perché avrei che la funzione al num non è olomorfa in $D(0,2a)$. Sapete qualche trucchetto per ovviare a questo problema?
Sia $M={f in L_2[-1,1] : \int_-1^1 f(t)dt =\int_-1^1 tf(t)dt=\int_-1^1 t^2f(t)dt=0}$
Data $f in L_2[-1,1]$ trovare $g in M$ che meglio approssima f.
Sfruttando il fatto che $L_2[-1,1]$ è uno spazio di Hilbert e che $M$ è chiuso (penso di esserci riuscito utilizzando nuclei di funzionali lineari) vorrei trovare $h in M^\bot$ tale che $f=h+(f-h)$ cioè la proiezione ortogonale di f. Io ho provato ad andare un po' a tentativi dapprima con le funzioni costanti $g(t)=alpha$, che però mi portano a dire che ...
Ciao a tutti potete aiutarmi con questo esercizio?
Sia $B_n={(\rhocost, \rhosint) : \rho \in [2,3], t \in [n\alpha, (n+1)\alpha]}$, con $\alpha= pi/(138\sqrt(3))$
Calcolare, se esiste $lim_{n->infty}int_{B_n}(x^3)/(2+cos^2(nxy))dxdy$.
Ho provato a riscrivere la funzione come combinazione lineare di funzioni caratteristiche per integrare su $R^2$, poi passando in coordinate polari ho provato a cercare una funzione sommabile che maggiorasse la successione ma non l'ho trovata. Come potrei fare? Grazie!
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