Questa è una funzione di 2 variabili?

[wattbatt]

Sul libro c'è l'esempio di un' equazione differenziale autonoma $ddot x (t)=g(x)$ ; viene riscritta in un sistema del primo ordine di 2 eq. differenziali che corrisponde al campo:

$f([(x),(y)])=[[y],[-g(x)]]$

mi chiedo se questa sia un'equazione di 2 variabili o una sola.

$x$ e $y$ sottintendono $x(t)$ e $y(t)$, quindi mi verrebbe da dire che sia una sola variabile dato che dipende solo da $t$, ossia $f: RR rightarrow RR^2$.
O invece è una funzione di due variabili quindi $f: RR^2 rightarrow RR^2$ ? Se è un campo vettoriale dovrebbe essere giusta questa seconda ipotesi, ma se dipende da $t$...

il dubbio mi viene perchè sempre sul libro, una curva parametrizzata tipo:

$\vec r (t)=x(t)\vec i + y(t) \vec j+ z(t) \vec k$

vien data come una funzione $r :RR rightarrow RR^3$ , quindi a una sola variabile (t) non a tre (x,y,z); quindi questo dà ragione alla prima ipotesi...
Io qui ci vedo una contraddizione, cosa è sbagliato?

[dissonance]

Sono solo notazioni. Quello é campo vettoriale, ovvero una funzione (mathbb R^2 o mathbb R^2). Invece di scrivere
[
f(x,y)= ( y, -g(x)), ]
hanno scritto con i vettori colonna, ma non é una differenza sostanziale.

[feddy]

Riguardo all'ultima domanda: se la variabile è $t$, allora la $r(t)$ che hai scritto è effettivamente una funzione a valori vettoriali perché, per definizione dei versori $i,j,k$:

$$r_1(t) = x(t)$$
$$r_2(t) = y(t)$$
e così via.

Oppure puoi vedere $r_1(t)$ come prodotto scalare del versore $i$ e il **vettore** $\vec{r}$(t): $$r_1(t)=\vec{r}(t) \cdot i $$.

[feddy]

Oppure puoi vedere il membro di destra della tua ODE come la mappa $t mapsto f([x(t),y(t)]^T) = [y(t),-g(x(t))]^T$ che è effettivamente una funzione da $mathbb{R}$ in $mathbb{R}^2$, ma non serve a nulla in realtà. Al fine di studiare qualitativamente una ODE, oppure stabilirne esistenza, unicità, ecc., vedrai che ti basterà studiare $f$ definita come ha scritto dissonance.

[vict85]

Dipende un po' da come definisci il concetto di variabile. Quella è una funzione da \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\), ed è definita dal modo in cui associ i punti del dominio con quelli del codominio. La scrittura \(f(x, y)\) rispetto a \(f(\mathbb{v})\) non appartiene alla funzione ma alla tuo modo di vederla e scriverla. In altre parole dire che una funzione è a due variabili o ad una variabile vettoriale non è intrinseco alla funzione.

Volendo, puoi vedere le variabili come funzioni, ma complichiamo un po' il discorso e il principio comunque non cambia.

[wattbatt]

Quindi per esempio, se ho una parabola $y=1-x^2$ e parametrizzo con

$\{(x=t),(y=1-t^2):}$

ottenendo la curva $\vec r (t)=t \vec i + (1-t^2) \vec j$,
posso considerarla sia come una funzione $r(t): RR rightarrow RR^2$ (con variabile $t$) sia come $r(x,y): RR^2 rightarrow RR^2$ (con variabili $x(t),y(t)$ ), non c'è un' unica versione giusta, van bene entrambe?

[dissonance]

Ti stai confondendo. Una cosa é una curva, che é una funzione di UNA variabile a valori vettoriali. Un'altra cosa é un campo vettoriale, che é una funzione di DUE variabili a valori vettoriali. Il membro destro di una equazione differenziale del tipo del tuo primo post é un campo vettoriale. Una soluzione di tale equazione é una curva.

[wattbatt]

"dissonance":Una cosa é una curva, che é una funzione di UNA variabile a valori vettoriali. Un'altra cosa é un campo vettoriale, che é una funzione di DUE variabili a valori vettoriali

Anche sul libro ho letto che le curve parametrizzate sono funzioni tipo $RR rightarrow RR^n$ e i campi vettoriali sono funzioni tipo $RR^n rightarrow RR^n$, è che sto facendo una domanda di livello più pratico.

A meno di aver capito male, nella funzione $f$ che deriva dall'eq.diff. quando c'è scritto $x$ e $y$ si sottointende due funzioni $x(t)$ e $y(t)$.

E quindi a me verrebbe da dire che alla fine f dipende solo da una variabile, che è $t$, perchè : il libro quando mostra una parametrizzazione $r(t)$ come quella che ho scritto mica dice che è una funzione di 2 variabili $x(t),y(t)$ ; dice che è una funzione di una sola variabile come hai detto anche tu.

Ho capito che sono due argomenti diversi, ma io li sto mettendo vicini solo per chiedere: com'è che da una parte $x(t),y(t)$ se per esempio si trovano nella parametrizzazione di una curva, alla fine si conta $r(t)$ come funzione di 1 variabile sola, mentre invece $f$ del primo post che pure lei è in funzione di $x(t),y(t)$, quindi alla fine sempre di $t$, la devo contare come di due variabili?

é come dice vict85 che si tratta solo di scrittura e dipende da ciò che prendo per "variabile", quindi non è che c'è una risposta assoluta già prestabilita? Ossia, se anche ho $x(t),y(t)$ è lecito ignorare che sotto sotto ci sia solo $t$ e prendo "x" e "y" come due variabili? Perchè se fosse così allora potrei anche scrivere la parametrizzazione della parabola di prima come:

$r([(x(t)),(y(t))])=[[t],[1-t^2]]$ in maniera analoga a $f$, e quindi come una funz. di 2 variabili

oppure no? Se è no, non ho capito perchè.

Spero di non tediare troppo, ho cercato di esprimere il mio percorso mentale al massimo della chiarezza, magari è un'inezia inutile ma mi fa arrabbiare...

[vict85]

Anche se scrivi \(f( x(t), y(t) )\), la funzione \(f\) rimane da \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}^2\). Quello che hai fatto è comporla con una funzione da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}^2\) (la funzione \(\mathbf{g} = x \times y\)). Quando invece scrivi \(f(x, y)\) stai semplicemente dando nomi alle funzioni coordinate. L'utilizzo degli stessi nomi è più un fatto di comodità che altro.