Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Il dominio della trasformata di Laplace è una striscia del piano complesso del tipo $\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2$
Dimostrazione
Sia $x(t)$ trasformabile nei punti $s1 = \sigma_1 + j \omega_1$ e $s2 = \sigma_2 + j \omega_2 \in \mathbb{C}$ tali che $\sigma_1 < \sigma_2$
Allora $x(t)e^{-s_1t}$ e $x(t)e^{-s_2t}$ sono sommabili
$\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st} = \int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-\sigmat-j\omega t}$
divido in due l'integrale scrivendo in maniera alternativa ma equivalente l'integranda
$\int_0^{+\infty} x(t)e^{-(\sigma-\sigma_1)t-j(\omega-\omega_1)t} e^{-(\sigma_1+j\omega_1)t}dt + <br />
\int_-\infty^0 x(t)e^{-(\sigma-\sigma_2)t-j(\omega-\omega_2)t} e^{-(\sigma_2+j\omega_2)t}dt$
Sapendo che $|\int f| \leq \int |f|$ scrivo
$|\int_-\infty^{+\infty} x(t)e^{-st}| \leq \int_0^{+\infty}|x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_1)t} |e^{-s_1 t}| dt + \int_-\infty^0 |x(t)| e^{-(\sigma-\sigma_2)t} |e^{-s_2 t}| dt$
Per ...
Una funzione di Fermi di ordine $\alpha$ è definita come:
\begin{equation}
f_{\alpha}(\xi) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} \mathcal{E}^{\alpha-1} \frac{ \xi e^{-\mathcal{E}}}{1+ \xi e^{-\mathcal{E}}} d \mathcal{E}
\end{equation}
con $\alpha>1$ e $\xi > -1$ e la si incontra in meccanica statistica quantistica quando si studiano i gas di Fermi (ovvero i gas ideali composti di fermioni) in regime di velocità classiche.
Propongo, a chi ha voglia di cimentarsi, ...
Salve a tutti, amici
(spero di non aver sbagliato sezione, è il mio primo post).
Nell'Analisi infinito-dimensionale, trovo spesso questa definizione (operativa?) di "separabilità di uno spazio":
Def.1 uno spazio vettoriale è separabile se e solo se le sue basi complete siano tuttalpiù numerabili.
Invece, approfondendo dal Prodi1 (santa anima) un poco di Topologia, avevo letto riguardo agli spazi "separabili (alla Hausdorff)"
Def.2 uno spazio si dice separabile se, presi due elementi ...
Ciao!
riguardavo una dimostrazione passata e c'é una cosa che non mi è chiara: è una parte del teorema di Caratheodory
si considerano un insieme non vuoto $X$, una misura esterna $lambda:P(X)->RR$ e l'insieme
$M={A in P(X): forallE inP(X), lambda(E)=lambda(AcapE)+lambda(A^(c)capE)}$
il dubbio si trova nella parte in cui si mostra che $M$ è una $sigma$-algebra
supponete di aver già provato che $M$ sia una algebra e che $lambda$ sia additiva su $M$, si usa la seguente ...
Ciao
Sapreste dirmi dove posso trovare una dimostrazione del fatto che "se due variabili casuali hanno le stesse funzioni generatrici dei momenti allora hanno la stessa distribuzione"?
(Nel caso questa non sia la sezione più appropriata, nel caso scusatemi e spostatela pure).
Sia data la serie $\sum_{n\ge1} 1/(z^2+n^2)$. Si mostri che la serie è meromorfa su $\mathbb{C}$ e se ne determini l'insieme dei poli.
Per mostrare che la serie è meromorfa su $\mathbb{C}$, mostro che è olomorfa su $\mathbb{C}-S$, dove
$S={\pm ni | n\in\mathbb{N}}$.
In particolare dico che $\forall z\in\mathbb{C}, \forall n\in\mathbb{N}$ si ha $|z^2+n^2|\ge n^2$
Da cui la totale convergenza della serie passando ai moduli (ditemi se tale ...
Sia $\{f_n\}$ una successione di Cauchy allora per definizione: $$\forall k\in\mathbb{N},\quad\exists n(k)\in\mathbb{N}\quad|\quad\forall m,n>n(k)\quad \|f_m-f_n\|
Calcolare l'anti-trasformata di Laplace di $X(s) = \frac{5}{(s^2+25)^2}$
L'ho svolto in due modi: con i residui e con la formula di Hermite
[size=130]Residui[/size]
$\text{L}^{-1} (\frac{5}{(s^2+25)^2}) = \text{L}^{-1}(\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}+\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
Calcolo solo i residui in $A$ e $C$ poichè $A = \overline{B}$ e $C = \overline{D}$
$A = \text{Res}(X(s), 5j) = -\frac{j}{100}$
$C = \text{Res}(X(s)(s-5j), 5j) = -\frac{1}{20}$
Dunque basta anti-trasformare
$\text{L}^{-1}[-j/100 \cdot 1/(s-5j) + j/100 \cdot 1/(s+5j) - 1/20 \cdot 1/(s-5j)^2 - 1/20 \cdot 1/(s+5j)^2]$
che è banale.
[size=130]Formula di Hermite[/size]
Con Hermite riscrivo la $X(s)$ come $\frac{A}{s-5j}+\frac{B}{s+5j}- d/(ds)(\frac{C}{(s-5j)^2}+\frac{D}{(s+5j)^2})$
dove ...
Mi è venuto il pallino di calcolare questo integrale, così per esercizio;
\[
I=\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix^2}}{1+x^2}\, dx.\]
Se al numeratore ci fosse \(e^{ix}\) sarebbe un esercizio standard nell'uso del teorema dei residui; usando un percorso a semicerchio, si vedrebbe facilmente che l'integrale sul "grande cerchio" tende a zero. Ma con \(e^{ix^2}\) questo non è più vero. Ho pensato anche di sfruttare la simmetria e di calcolare
\[
2\int_0^\infty \frac{e^{ix^2}}{1+x^2}\, dx, \]
usando ...
Salve a tutti,
avrei una curiosità.
Essendo nota la $ X(f) = rect(f-2) $ , so per la proprietà della modulazione che la $ x(t)= sinc(t) * e^(j*4*\pi*t)$.
Se volessi dimostrarla?
Ho impostato l'integrale per l'antitrasformata, ottenendo quindi : $x(t)= \int_{1,5}^{2,5} e^(j*2*\pi*f*t) df$
e quindi : $ 1/(j*2*\pi*t) * (e^(j*5*\pi*t) - e^(j*3*\pi*t)) $.
Anche se sviluppo gli esponenziali non riesco a giungere alla soluzione, cosa sbaglio?
Grazie mille
Buonasera a tutti,
volevo verificare il valore RMS di un'onda triangolare a partire dal suo sviluppo in serie di Fourier.
Se ho un'onda triangolare di picco $ X_M $ il suo valore RMS è: $ X_M/sqrt(3) $ ;
lo sviluppo in serie di Fourier è: $ X_M*8/pi^2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^2 cos((2k+1)omega t) $
Applicando la definizione di valore RMS di un segnale allo sviluppo in serie di Fourier e svolgendo i calcoli; ad un certo punto mi ritrovo il seguente risultato: $ X_M*8/pi^2*sqrt(1/2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^4 ) $
Affinchè i due risultati siano uguali ...
Buonasera a tutti, da novellino vorrei chiedervi una cosa. In un esercizio di telecomunicazioni devo calcolare l'uscita di un sistema dato in ingresso il segnale $x(t)$ scritto di seguito e come risposta in frequenza un altro segnale dato dalla traccia che è gia nel dominio della frequenza... senza stare a fare troppi calcoli, posso trasformare l'ingresso $x(t)=rep_T prod (t/(T/2)) $ nel modo seguente?
$x(t)= prod (t/(T/2)) = prod((2t)/T) = T "sinc"(2fT)$
Dite che può andar bene?
Grazie
Buonasera a tutti, sto cercando di concludere questo esercizio.
Sia $z \in \mathbb{C}$ e sia $f(x)=e^{i \pi zx}$ for $x \in (-1,1)$. Estendiamo $f$ sulla retta reale come funzione $2$-periodica.
Devo calcolare la sua serie di Fourier e dedurre che
$$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{k\ \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-k)^2}.$$
I coefficienti di Fourier di $f$ sono
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} ...
Ciao a tutti! Sto preparando un esame per università, di elaborazione dei segnali, e non mi è chiara una cosa: devo calcolare lo spettro di un segnale dato nel dominio del tempo, quindi calcolare la sua trasformata di fourier.
Il segnale è composto da un coseno moltiplicato per un seno... Devo calcolare il prodotto delle due trasformate notevoli di seno e coseno, o devo calcolare la loro consolazione? e nel caso della convoluzione, come si calcola? Cioè, ho ben presente la formula e il ...
Ciao a tutti, ho questo problema di Dirichlet $ { ( ux x + uy y =0 ),( u(x,0)=u(x,4)=u(5,y)=0 ),( u(0,y)=1 ):} $ con $ 0<x<5, 0<y<4 $. Osservando lo svolgimento (che vi allego) non riesco a capire come fa a definire "una possibile soluzione", dopo aver valutato le condizioni del problema. Inoltre non riesco a capire a cosa servano nella pratica queste condizioni che andiamo a studiare. Potete mostrarmi i passaggi necessari per risolvere i miei dubbi? Vi ringrazio tanto
Buonasera, vorrei un aiuto nel comprendere l'ultima uguaglianza:
[tex]\exp\bigg({\frac{i \hat{p} a}{\hbar}}\bigg) \psi(x) = \bigg(1 + a \frac{\text{d}}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} + ... \bigg)\psi(x) =[/tex]
[tex]= \psi(x) + a \frac{\text{d}\psi}{\text{d}x} + \frac{a^2}{2!} \frac{\text{d}^2\psi}{\text{d}x^2} + \frac{a^3}{3!} \frac{\text{d}^3\psi}{\text{d}x^3} + ... = \psi(x + a)[/tex]
Se avessi dovuto fare ...
per calcolare un integrale con il metodo della FFT (Fast Fourier Transform) con quale criterio scelgo il parametro M?
($N=2^M$)
Ciao a tutti,
data una funzione $f \in L^2(\mathbb{R})$, periodica di periodo $T$, conosco i suoi coefficienti di Fourier:
$$\hat{f}(k)= \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T f(x)e^{-2\pi i k \frac{x}{T}}dx$$
La sua serie di Fourier è quindi
$$\frac{1}{T}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k \frac{x}{T}}$$
Come posso mostrare che tale serie di Fourier corrisponde a
$$f(x)=a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k ...
Sia $x(t)$ trasformabile in $dom_L(x(t)) \Rightarrow X(s)$ è olomorfa in $dom_L(x(t))$ e $d/(ds) X(s) = L[-tx(t)]$
Dimostrazione
Voglio dimostrare che $d/(ds) \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt = \int_{-\infty}^{+\infty}-t\cdot x(t)e^{-st}dt = L[-tx(t)]$
Per cui faccio il limite del rapporto incrementale ottenendo
$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-(s+h)t}dt - \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt}{h}$
cioè
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{h} dt $
moltiplico e divido per $-t$
$\lim_{h\rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st} \frac{(e^{-ht}-1)}{-th}(-t) dt $
Per semplicità indicherò da ora in avanti l'intera integranda come $g_h(t)$ e voglio dimostrare che quest'ultima è maggiorata da una funzione ...
Salve ragazzi,
vorrei capire se sto ragionando bene sulla risoluzione di questo tipo di esercizi. Quest'ultimo è:
\[x(t)= \left\{\begin{matrix} t^2 +3t , & -3
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