Analisi matematica di base
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Ho un dubbio riguardo questo esercizio:
Calcolare e disegnare il dominio di definizione di questa funzione:
$f(x,y)=log(1-2sin(x+y^2))$
Lo ho svolto in questo modo:
$1 - 2sin(x+y^2) > 0$
$sin(x+y^2) < 1/2$
Adesso, io ho capito che la funzione è definita se $x+y^2$ è nell'arco di circonferenza che va da $pi/6$ a $5/6pi$, ma non so esattamente qual'è la sintassi formale corretta per scrivere il dominio, a me verrebbe da pensare questo:
$5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, k$ ...
Un interessante lemma reca:
Sia \(D \subseteq \mathbb{C}\) un aperto, e sia \(f : D \to \mathbb{C}\) una funzione olomorfa. Per \(c \in D\) sono equivalenti:
(i) \(c\) è un punto di accumulazione di \(Z(f) = \{z \in D \, : \, f(z) = 0\}\);
(ii) \(c\) è contenuto nell'interno topologico di \(Z(f)\);
(iii) Si ha \(f^{(n)} (c) = 0\) per ogni \(n=0,1,2,3, \dots\).
Inoltre, se \(D\) è anche connesso, allora \(f\) è identicamente nulla su tutto \(D\) se e solo se \(Z(f)\) ha almeno un punto di ...
Buongiorno a tutti, ho un problema con questo esercizio teorico, che mi è capitato in un compito di analisi2:
siano $a_n in RR$ tali che $\sum_{n=0}^infty a_n$ converge, mentre $\sum_{n=0}^infty |a_n| = infty$, determinare il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum_{n=0}^infty a_n x^n$.
Ora dai dati che mi dà, so per certo che $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ perché la serie degli $a_n$ converge, mentre nulla so dire per il $\lim_{n \to \infty}|a_n|$ perché potrebbe essere qualunque cosa; quindi per determinare il ...
Buongiorno a tutti, ho un problema con le successioni di funzioni; l'esercizio mi sembra anche abbastanza semplice, ma spero che mi possa aiutare in generale con quest'argomento; devo stabilire convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione
$ f_n(x)=x/(x^2+n) $
allora per la convergenza puntuale non ci sono problemi visto che
$f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)=0 AA xinRR$, il problema è con la convergenza uniforme. Dovrei studiare il
$ sup_xinRR |f_n(x)-f(x)| $ e se questo tende a 0 per $n$ che tende a + ...
Ciao ragazzi !
Nel procedimento di linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell'intorno di un punto di equilibrio, il mio libro dice che è
possibile giungere alla forma delle Eq. del moto
$ Addot(x) = -Bx $
attraverso due metodi: il primo a partire dalla Lagrangiana $ L = 1/2dotxAdotx - 1/2 xBx $ e il secondo partendo dalle equazioni del moto.
Ecco, a me interesserebbe il secondo procedimento. Il libro parte con una procedura che poi non conclude la riporto qui sotto.
Ponendo ...
Ho assistito a un orale e il candidato non aveva problemi sulla
def. di limite finito. Si è però bloccato quando il prof. gli ha chiesto
perché non si possa considerare la dimens. dell'intorno - delta - come
una funzione dell'epsilon scelto. Che cosa avrebbe dovuto rispondere
e perché? Molte grazie
Ciao a tutti! Vorrei capire meglio qual è lo spazio di funzioni che deve essere contenuto in $X$ affinché a partire da
\( \int_\mathbb{R} f(t)g(t)dt=0\ \ \ \ \ \ \forall g \in X \)
dove $f \in L^p(\mathbb{R})$, possa concludere che $f$ è nulla quasi ovunque.
Per fare in modo che l'integrale abbia senso cercherei $X\subsetL^{1-\frac{1}{p}}(\mathbb{R})$ .
Se $p$ è pari sicuramente mi basta che $X$ contenga uno spazio di funzioni denso in $L^{\frac{p}{p-1}}(\mathbb{R})$ (come ad ...
Buongiorno a tutti ragazzi,
non capisco proprio, neanche guardando il libro (e ciò mi sembra parecchio grave), come vedere se un punto è di max o min relativo.
Mi è chiaro come funziona il tutto nel caso dell'Hessiano non nullo, ma con l'Hessiano nullo proprio non mi sono chiari i passaggi.
Immagino che devo comunque risolvere il sistema $ { ( f_x(x,y)=0 ),( f_y(x,y)=0 ):} $ per trovare i punti critici, trovare le f_xx , f_xy, f_yy, f_yx per costruire la matrice Hessiano e farne il determinante, ma poi?
Ad ...
Scusate la domanda banale, ma presa dallo studio delle funzioni in due variabili trovo le prime difficoltà. Il libro dice che:
$f(x,y) : D sub R^2 -->R$ ora mi chiedo perchè succede ciò? Perchè io presa una funziona in due variabili(quindi$ R^2$) associo ad$ x$ ed$ y$ due valori in$ R$? inoltre non capisco la differenza tra quelle in 1 e 2 variabili. Tipo avevo che in una sola variabile :
$f(x)= x$ cioè che la variabile era solo la x, mentre ...
Ciao a tutti,
ho un problema con questo tipo di esercizi.
Come faccio a vedere se una funzione, ad esempio $ f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2) $ se è differenziabile in $(0,0)$?
I passi da fare quali sono, verificare che le derivate parziali in quel punto, $(0,0)$ in questo caso, sono uguali e poi vedere se il limite $ lim_{(h,k)->(0,0)} (f(x+h,y+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ è nullo, cioè viene $0$??
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F = (y, 2z, x+y)$ uscente dalla superficie $(3/4)x^2 + y^2 + (1/3)(z-1)^2 = 4$ con $y >= 1$. Sia col calcolo diretto del flusso che con l'utilizzo del teorema della divergenza.
Risultato dovrebbe essere $12π$.
Grazie in anticipo a chi mi dara una mano!
Ps: potete evitare base teoriche di aggancio e svolgere direttamente i calcoli. Sulla teoria son ben ferrato.
Una nota proposizione afferma che se $E$ è uno spazio normato di dimensione infinita, \[S_E= \{x \in E \, : \, \|x \|=1 \}\]e \[B_E = \{x \in E \, : \, \| x \| \le 1 \}\]allora \(B_E = \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)} \) (chiusura debole di \(S_E\)), dove indico appunto con \(\sigma(E,E^*)\) la topologia debole. Per dimostrare che \(B_E \subseteq \overline{S_E} {}^{\sigma(E,E^*)}\) si fa così: dato un punto \(x_0 \in B_E\), si mostra \(V \cap S \ne \varnothing \ \forall \ V\) ...
Salve raga! Sapreste dirmi come risolvere una equazione differenziale del tipo:
$y''(x) + a i y'(x) + b i y(x) = 0$
Io sono nel caso in cui l' equazione differenziale è direttamente così
$y''(x) + bi y(x) = 0$
dove $ai$ e $bi$ sono appunto dei coefficienti immaginari.
Io ho cercato di svolgerla come nel caso di equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti solo che con il polinomio caratteristo non arrivo ad una soluzione complessa e coniugata!
Non ho trovato nessuna ...
Mi servirebbe sapere se questo risultato è vero:
siano $(Omega_1, \tau_1), (Omega_2, \tau_2)$ spazi topologici; indichiamo con $\tau_1\times \tau_2$ la topologia prodotto su $Omega_1\timesOmega_2$ (topologia generata dai rettangoli aperti).
Allora la $sigma$-algebra di Borel relativa alla topologia prodotto è il prodotto delle $sigma$-algebre di Borel, o in simboli (indico con $sigma(X)=$"la più piccola $sigma$ algebra contenente $X$":
$\sigma(\tau_1 \times \tau_2)=\sigma(\sigma(\tau_1)\times \sigma (\tau_2))$.
Non ...
Ciao ragazzi !
Sto studiando un argomento di meccanica analitica (Il vettore di Runge-Lenz), che il mio libro mi definisce così :
$ C=Kq/|q| - L^^dot(q) $
Per dimostrare che C si mantiene costante lungo le soluzioni dell'equazione di Newton, il libro segue l'evoluzione temporale del versore $ q/|q| $ e a questo punto sviluppa la seguente identità (che non capisco):
$ d/(dt)q/|q| = dot(q)/|q|-q(q*dotq)/|q|^3 = ((q*dotq)dotq-(q*dotq)q)/|q|^3 = (q^^dotq)^^q/|q|^3 $
In modo particolare il secondo passaggio. Come fa a ottenerlo? E dal secondo al terzo?
Grazie mille ...
Buongiorno, ho un problema con un esercizio che richiede di calcolare la matrice esponenziale
$e^(At)$
dove A è la matrice seguente:
$((3,-1),(4,-1))$
Comincio cercando gli autovalori e trovo che esiste un unico autovalore $\lambda=1$ che ha molteplicità algebrica 2. Cerco quindi l'autovettore corrispondente e trovo:
$v=(1,2)$
che ha dimensione 1, e quindi la matrice A non è diagonalizzabile.
Posso però trovare una matrice di Jordan simile alla matrice A.
Banalmente ...
Ciao a tutti!
Ho questo sistema differenziale e devo trovarne gli equilibri.
$\{(\dot \lambda (t)=-m+\frac{\lambda^2 \rho^2}{4c}+\lambda \delta +r\lambda),(\dot{x}(t)= \frac{\lambda(t) \rho^2 (1-x(t))}{2c}-\delta x(t)):}$
dove $m$, $\rho$, $\delta$, $r$, $c$ sono tutte costanti positive. Inoltre so che $\lambda(t)>0$ e $x(t) \in [0,1] \forall t$.
Ho quindi risolto il sistema
$\{(\dot \lambda (t)=0),(\dot{x}(t)=0):}$
trovando un'unico equilibrio ammissibile
$(\bar x, \bar \lambda)=(\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{-U + \sqrt{U^2+4mS}+2\delta},\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{2S}) $
con $S= \frac{\rho^2}{4c}$ e $U= \delta + r $
Ora, mi vengono chieste due domande:
1- L'equilibrio è stabile? ...
Salve .
Sto affrontando un esercizio di analisi che da la seguente funzione , che ammette derivate fino alla terza, continue:
Sia f:[0,+oo[ e tale che esistono continue f', f'' ed f''' in ]0,+oo[.
Avrei un problema nel capire il perchè della correttezza della seguente affermazione ( sul libro risulta vera )
Se la f ' (2) = f ' '(2) = 2 e f ''' (2) < 0 allora la funzione ha un flesso in x = 2.
Ora, poichè la derivata seconda non è uguale a zero non capisco come sia determinabile ( ed ...
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