Linearizzazione equazioni di Lagrange
Ciao ragazzi ! 
Nel procedimento di linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell'intorno di un punto di equilibrio, il mio libro dice che è
possibile giungere alla forma delle Eq. del moto
$ Addot(x) = -Bx $
attraverso due metodi: il primo a partire dalla Lagrangiana $ L = 1/2dotxAdotx - 1/2 xBx $ e il secondo partendo dalle equazioni del moto.
Ecco, a me interesserebbe il secondo procedimento. Il libro parte con una procedura che poi non conclude la riporto qui sotto.
Ponendo $ q=q_0+x $ nell'equazione $ sum_k(partial^2L)/(partialdotx_ipartialdotx_k)ddotx_k + sum_k(partial^2L)/(partialdotx_ipartialx_k)dotx_k = (partial L)/(partialx_i) $
ottengo l'equzione
$ (partial^2L(q_0+x,dotx))/(partialdotx_ipartialdotx_k)ddotx_k + (partial^2L(q_0+x,dotx))/(partialdotx_ipartialx_k)dotx_k = (partialL(q_0+x,dotx))/(partialx_i) $
A questo punto il libro dice che "nel membro di sinistra i termini di ordine più basso si ottengono semplicemente valutando le derivate della lagrangiana nel punto $ (q_0,0) $ mentre il membro di destra diviene:
$ (partialL(q_0+x,dotx))/(partialx_i)= (partial^2L(q_0,0))/(partialx_ipartialdotx_k)dotx_k + (partial^2L(q_0,0))/(partialx_ipartialx_k)x_k + o(x,dotx) $
Mi sapreste dire come si giunge all'equazione finale? In modo particolare non so come si sviluppa con Taylor il primo mebro
Un mega grazie per chi è in grado ri rispondere a questa domanda !
Nel procedimento di linearizzazione delle equazioni di Lagrange nell'intorno di un punto di equilibrio, il mio libro dice che è
possibile giungere alla forma delle Eq. del moto
$ Addot(x) = -Bx $
attraverso due metodi: il primo a partire dalla Lagrangiana $ L = 1/2dotxAdotx - 1/2 xBx $ e il secondo partendo dalle equazioni del moto.
Ecco, a me interesserebbe il secondo procedimento. Il libro parte con una procedura che poi non conclude la riporto qui sotto.
Ponendo $ q=q_0+x $ nell'equazione $ sum_k(partial^2L)/(partialdotx_ipartialdotx_k)ddotx_k + sum_k(partial^2L)/(partialdotx_ipartialx_k)dotx_k = (partial L)/(partialx_i) $
ottengo l'equzione
$ (partial^2L(q_0+x,dotx))/(partialdotx_ipartialdotx_k)ddotx_k + (partial^2L(q_0+x,dotx))/(partialdotx_ipartialx_k)dotx_k = (partialL(q_0+x,dotx))/(partialx_i) $
A questo punto il libro dice che "nel membro di sinistra i termini di ordine più basso si ottengono semplicemente valutando le derivate della lagrangiana nel punto $ (q_0,0) $ mentre il membro di destra diviene:
$ (partialL(q_0+x,dotx))/(partialx_i)= (partial^2L(q_0,0))/(partialx_ipartialdotx_k)dotx_k + (partial^2L(q_0,0))/(partialx_ipartialx_k)x_k + o(x,dotx) $
Mi sapreste dire come si giunge all'equazione finale? In modo particolare non so come si sviluppa con Taylor il primo mebro
Un mega grazie per chi è in grado ri rispondere a questa domanda !
Risposte
Tutti questi indici ti stanno facendo incasinare, secondo me. Prendi il caso monodimensionale, poi generalizzare è facile. Sono tutti sviluppi di Taylor al primo ordine.
Qual è il caso monodimensionale della lagrangiana?
Monodimensionale = di dimensione uno. Quindi le coordinate Lagrangiane non sono $(x_1, x_2, \ldots x_{50})$ ma solo $x$. In questo caso spariscono gli indici e i conti sono più facili
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