Sigma-algebra di Borel di prodotti topologici
Mi servirebbe sapere se questo risultato è vero:
siano $(Omega_1, \tau_1), (Omega_2, \tau_2)$ spazi topologici; indichiamo con $\tau_1\times \tau_2$ la topologia prodotto su $Omega_1\timesOmega_2$ (topologia generata dai rettangoli aperti).
Allora la $sigma$-algebra di Borel relativa alla topologia prodotto è il prodotto delle $sigma$-algebre di Borel, o in simboli (indico con $sigma(X)=$"la più piccola $sigma$ algebra contenente $X$":
$\sigma(\tau_1 \times \tau_2)=\sigma(\sigma(\tau_1)\times \sigma (\tau_2))$.
Non mi interessa la dimostrazione, solo sapere se è vero o no; ho consultato il libro di Halmos ma purtroppo non ho trovato questo risultato formulato esplicitamente. Grazie!
siano $(Omega_1, \tau_1), (Omega_2, \tau_2)$ spazi topologici; indichiamo con $\tau_1\times \tau_2$ la topologia prodotto su $Omega_1\timesOmega_2$ (topologia generata dai rettangoli aperti).
Allora la $sigma$-algebra di Borel relativa alla topologia prodotto è il prodotto delle $sigma$-algebre di Borel, o in simboli (indico con $sigma(X)=$"la più piccola $sigma$ algebra contenente $X$":
$\sigma(\tau_1 \times \tau_2)=\sigma(\sigma(\tau_1)\times \sigma (\tau_2))$.
Non mi interessa la dimostrazione, solo sapere se è vero o no; ho consultato il libro di Halmos ma purtroppo non ho trovato questo risultato formulato esplicitamente. Grazie!
Risposte
....ciao diss.
non ho trovao nulla pure io però a pensarci mi pare di si......te hai fato qualche conto?
saluti ...holmes
non ho trovao nulla pure io però a pensarci mi pare di si......te hai fato qualche conto?
saluti ...holmes
No, guarda, non sono nemmeno convinto che sia vero. Poi queste faccende di $sigma$-algebre generate da qualcosa sono molto difficili per me, ci sono un sacco di risultati complicati che non conosco, ecco perché chiedevo qui.
Forse il risultato è vero se $Omega_1, Omega_2$ hanno una base numerabile di aperti?
Forse il risultato è vero se $Omega_1, Omega_2$ hanno una base numerabile di aperti?
In generale $\sigma(\tau_1\times \tau_2)$ contiene strettamente l'altra; tuttavia, se non ricordo male, vale l'uguaglianza quando hai due spazi metrici separabili.
EDIT: vedi se questo ti può interessare:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-ma ... igalg_prod
EDIT: vedi se questo ti può interessare:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-ma ... igalg_prod
Ti ringrazio, Rigel. Intanto ho capito che non è un fatto sempre vero e già questo risponde alla mia domanda. Appena ho un po' di tempo darò un'occhiata al link che hai indicato.
.........sei riuscito a trovare un controesempio?!
è vero (Halmos "Measure theory" pag 140 riga 5)
Sergiorgio sei precisissimo (addirittura il rigo! fantastico) ma potresti indicarmi l'edizione per favore? Credo sia diversa dalla mia.
Ho spulciato un po' l'Halmos.
Mi sembra che le sezioni interessanti per la tua questione siano la 50 e la 51.
Se $(X, \tau_1)$ e $(Y,\tau_2)$ sono spazi di Hausdorff localmente compatti, Halmos definisce la $\sigma$-algebra $S_0$ degli insiemi di Baire, che è generata dall'insieme $C_0$ dei compatti di $X\times Y$ che siano $G_{\delta}$.
Allora (Th. 51.E) questa $\sigma$-algebra coincide con $\sigma(\tau_1\times\tau_2)$.
Inoltre (Th. 50.E), se $X\times Y$ è separabile, essa coincide con $\sigma(\sigma(\tau_1)\times\sigma(\tau_2))$.
Mi sembra che le sezioni interessanti per la tua questione siano la 50 e la 51.
Se $(X, \tau_1)$ e $(Y,\tau_2)$ sono spazi di Hausdorff localmente compatti, Halmos definisce la $\sigma$-algebra $S_0$ degli insiemi di Baire, che è generata dall'insieme $C_0$ dei compatti di $X\times Y$ che siano $G_{\delta}$.
Allora (Th. 51.E) questa $\sigma$-algebra coincide con $\sigma(\tau_1\times\tau_2)$.
Inoltre (Th. 50.E), se $X\times Y$ è separabile, essa coincide con $\sigma(\sigma(\tau_1)\times\sigma(\tau_2))$.
Io ce l'ho come file (scaricato dal Web) , è una versione della Spinger Verlag (GTM) 1970.
Se mi scrivi (***) te lo spedisco.[mod="dissonance"]Email oscurata.[/mod]
Se mi scrivi (***) te lo spedisco.[mod="dissonance"]Email oscurata.[/mod]
(@Sergiorgio: Ho oscurato l'email, è meglio non lasciarla visibile al pubblico perché altrimenti te la riempiono di pubblicità).
Ok, intanto quanto dice Rigel mi convince. Quindi il risultato è vero per tutti gli spazi "geometrici": varietà differenziabili e varietà topologiche di dimensione finita.
Ok, intanto quanto dice Rigel mi convince. Quindi il risultato è vero per tutti gli spazi "geometrici": varietà differenziabili e varietà topologiche di dimensione finita.
LA proprietà ha validità generale, la dimostrazione è puramente insiemistica:
DIMOSTRAZIONE:
Premessa, dato un insieme $X$ sia $P(X):=\{A| A \subset X\}$, per $\alpha \subset P(X) $ sia $\sigma (\alpha) $ la minima $\sigma$-algebra contenente $\alpha$ (intersezioni di tutte le $\sigma$-algebre contenenti $\alpha$), si ha che $\alpha = \sigma (\alpha)$ SSE $\alpha$ è una $\sigma $-algebra, analogamente sia $\tau(\alpha)$ la topologia generata da $\alpha $ .
Essendo una $\sigma$-agebra una topologia segue: $\tau(\alpha) \subset \sigma(\alpha)$ ed essendo $\sigma(a) \subset \sigma(\beta)$ per $\alpha\subset \beta $ segue $\sigma(\alpha)=\sigma (\tau(\alpha))$.
Per $\alpha \subset P(X),\ beta \subset P(Y) $ sia $\alpha \otimes \beta :=\{A\times B| A\in \alpha,\ B\in \beta \}$, allora il prodotto di due spazi topologici $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è $(X\times Y, \tau(\alpha \otimes \beta ))$ analogamente il prodotto di due spazi $\sigma$-algerbe $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è $(X\times Y, \sigma(\alpha \otimes \beta ))$ , ambedue hanno la proprietà universale del prodotto nelle rispettive categorie.
Inoltre per $\alpha \subset P(X) $ sia $\alpha \times Y := \{A\times Y |A\in \alpha\} $ se $\alpha$ è una una $\sigma $-algebra allora lo è anche $\alpha\times Y$, analogamente dicasi per $X\times \beta\ \beta \subset P(Y)$ (lo stesso dicasi per le topologie). Segue che per $\alpha \subset P(X),\ \beta \subset P(Y)$ con $X\in \alpha$, $Y\in \beta$ si ha che $\sigma(\alpha \otimes \beta) $ contiene $\sigma(\alpha)\times Y$ (una $\sigma$ algebra $C$ contenente $\alpha \times \beta$ contiene $\alpha \times Y$ e posto $A:=\{a \subset X| a\times Y \in C\}$ questi è una $\sigma$-algebra contenente $\alpha$ e con $A\times Y \subset C$ ) e contiene $X \times \sigma(\beta )$ e intesecando elementi di $\sigma(\alpha) \times Y$ e $X \times \sigma(\beta )$ si ha che $ \sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta) \subset \sigma(\alpha \otimes \beta ) $ quindi $ \sigma( \sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta)) = \sigma(\alpha \otimes \beta ) $.
Da quanto detto, la $\sigma$-algebra generata dal prodotto topologico di due spazi topologici $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è:
$( X \times Y , \sigma(\tau(\alpha \otimes \beta )) = ( X \times Y , \sigma(\alpha \otimes \beta))$ = $( X \times Y , \sigma(\sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta)) $
e il primo spazio è quello che tu ha indicato come $(X \times Y, \sigma(\alpha \times \beta )) $ .
DIMOSTRAZIONE:
Premessa, dato un insieme $X$ sia $P(X):=\{A| A \subset X\}$, per $\alpha \subset P(X) $ sia $\sigma (\alpha) $ la minima $\sigma$-algebra contenente $\alpha$ (intersezioni di tutte le $\sigma$-algebre contenenti $\alpha$), si ha che $\alpha = \sigma (\alpha)$ SSE $\alpha$ è una $\sigma $-algebra, analogamente sia $\tau(\alpha)$ la topologia generata da $\alpha $ .
Essendo una $\sigma$-agebra una topologia segue: $\tau(\alpha) \subset \sigma(\alpha)$ ed essendo $\sigma(a) \subset \sigma(\beta)$ per $\alpha\subset \beta $ segue $\sigma(\alpha)=\sigma (\tau(\alpha))$.
Per $\alpha \subset P(X),\ beta \subset P(Y) $ sia $\alpha \otimes \beta :=\{A\times B| A\in \alpha,\ B\in \beta \}$, allora il prodotto di due spazi topologici $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è $(X\times Y, \tau(\alpha \otimes \beta ))$ analogamente il prodotto di due spazi $\sigma$-algerbe $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è $(X\times Y, \sigma(\alpha \otimes \beta ))$ , ambedue hanno la proprietà universale del prodotto nelle rispettive categorie.
Inoltre per $\alpha \subset P(X) $ sia $\alpha \times Y := \{A\times Y |A\in \alpha\} $ se $\alpha$ è una una $\sigma $-algebra allora lo è anche $\alpha\times Y$, analogamente dicasi per $X\times \beta\ \beta \subset P(Y)$ (lo stesso dicasi per le topologie). Segue che per $\alpha \subset P(X),\ \beta \subset P(Y)$ con $X\in \alpha$, $Y\in \beta$ si ha che $\sigma(\alpha \otimes \beta) $ contiene $\sigma(\alpha)\times Y$ (una $\sigma$ algebra $C$ contenente $\alpha \times \beta$ contiene $\alpha \times Y$ e posto $A:=\{a \subset X| a\times Y \in C\}$ questi è una $\sigma$-algebra contenente $\alpha$ e con $A\times Y \subset C$ ) e contiene $X \times \sigma(\beta )$ e intesecando elementi di $\sigma(\alpha) \times Y$ e $X \times \sigma(\beta )$ si ha che $ \sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta) \subset \sigma(\alpha \otimes \beta ) $ quindi $ \sigma( \sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta)) = \sigma(\alpha \otimes \beta ) $.
Da quanto detto, la $\sigma$-algebra generata dal prodotto topologico di due spazi topologici $(X, \alpha),\ (Y, \beta )$ è:
$( X \times Y , \sigma(\tau(\alpha \otimes \beta )) = ( X \times Y , \sigma(\alpha \otimes \beta))$ = $( X \times Y , \sigma(\sigma(\alpha) \otimes \sigma(\beta)) $
e il primo spazio è quello che tu ha indicato come $(X \times Y, \sigma(\alpha \times \beta )) $ .
Mi sono ricordato di questo vecchio thread quando mi sono imbattuto in:
http://mathoverflow.net/q/39882/13042
Secondo il post linkato la proposizione non è vera senza qualche ipotesi sugli spazi topologici in questione, c'è anche un esempio. Non ci capisco molto ma comunque lascio qui il link casomai qualcuno si pone la stessa domanda.
http://mathoverflow.net/q/39882/13042
Secondo il post linkato la proposizione non è vera senza qualche ipotesi sugli spazi topologici in questione, c'è anche un esempio. Non ci capisco molto ma comunque lascio qui il link casomai qualcuno si pone la stessa domanda.
Prova a vedere in questo http://books.google.it/books?id=L6fhXh1 ... &q&f=false anche se forse tu cerchi qualcosa di più generale.
Grazie Vict! Al momento questa roba non mi serve a nulla, ho riesumato solo perché mi ricordavo di questa vecchia risposta di Sergiorgio che sembra dimostrare la proprietà nel caso più generale possibile. Pare invece che occorra qualche ipotesi sugli spazi topologici in questione, come anche il tuo link conferma: nella dimostrazione di Sergiorgio deve esserci qualche errore chissà dove. Grazie al tuo intervento, se qualcuno passerà di qua troverà tutte le informazioni necessarie.
PS Grazie Gugo per avere sistemato le formule!
PS Grazie Gugo per avere sistemato le formule!
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