Vettore di Runge - Lenz (passaggio matematico)

[fede161]

Ciao ragazzi !
Sto studiando un argomento di meccanica analitica (Il vettore di Runge-Lenz), che il mio libro mi definisce così :

$ C=Kq/|q| - L^^dot(q) $

Per dimostrare che C si mantiene costante lungo le soluzioni dell'equazione di Newton, il libro segue l'evoluzione temporale del versore $ q/|q| $ e a questo punto sviluppa la seguente identità (che non capisco):

$ d/(dt)q/|q| = dot(q)/|q|-q(q*dotq)/|q|^3 = ((q*dotq)dotq-(q*dotq)q)/|q|^3 = (q^^dotq)^^q/|q|^3 $

In modo particolare il secondo passaggio. Come fa a ottenerlo? E dal secondo al terzo?

Grazie mille per la risposta.

[Emar1]

Ma dato che \(\mathbf{v} \perp \dot{\mathbf{v}}\), il prodotto scalare non dovrebbe essere nullo?
Difatti:
\[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 1 \ \ \ \implies \ \ \ \frac{d}{dt} \left(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right)= \frac{d}{dt} \left( 1 \right) \ \ \ \implies \ \ \ 2 \mathbf{v} \cdot \mathbf{\dot{v}} = 0\]

Proprio per questo non mi torna il primo passaggio. Il secondo addendo è:
\[- \mathbf{q}\frac{\dot{q}}{q^2} = - \mathbf{q}\frac{q\dot{q}}{q^3}\]
Ma non capisco come fanno a passare al prodotto scalare dato che \(\mathbf{q} \perp \dot{\mathbf{q}}\).

Sbaglio io?

[gugo82]

Hai:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{1}{|\mathbf{q}|}\ \mathbf{q} &= \left( \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{1}{|\mathbf{q}|} \right)\ \mathbf{q} + \frac{1}{|\mathbf{q}|}\ \dot{\mathbf{q}} \\
&= \left( -\frac{1}{|\mathbf{q}|^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \sqrt{\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}}\right)\ \mathbf{q} + \frac{1}{|\mathbf{q}|}\ \dot{\mathbf{q}} \\
&= - \frac{1}{|\mathbf{q}|^3}\ (\mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}})\ \mathbf{q} + \frac{1}{|\mathbf{q}|^3}\ (\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}\\
&= \frac{1}{|\mathbf{q}|^3}\ \Big( (\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} - (\mathbf{q}\cdot \dot{\mathbf{q}})\ \mathbf{q}\Big)\; .
\end{split}
\]
Per la nota identità del triplo prodotto vettoriale:
\[
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\ \mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\ \mathbf{c}
\]
si ottiene:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{1}{|\mathbf{q}|}\ \mathbf{q} = \frac{1}{|\mathbf{q}|^3}\ \mathbf{q}\times \left( \dot{\mathbf{q}}\times \mathbf{q}\right)\; .
\]

[fede161]

Grande Gugo!!

Mi sembra tutto chiaro! Volevo solo chiederti un'ultima cosa:

Nel primo passaggio quando dici che $ d/dt 1/|q|q = (d/dt 1/|q|)q + 1/|q|dotq $ utilizzi la definizione di "derivata di funzione composta"?

[gugo82]

Beh, è la classica derivazione del prodotto, niente di che...