Sistema differenziale da risolvere
Ciao a tutti! 
Ho questo sistema differenziale e devo trovarne gli equilibri.
$\{(\dot \lambda (t)=-m+\frac{\lambda^2 \rho^2}{4c}+\lambda \delta +r\lambda),(\dot{x}(t)= \frac{\lambda(t) \rho^2 (1-x(t))}{2c}-\delta x(t)):}$
dove $m$, $\rho$, $\delta$, $r$, $c$ sono tutte costanti positive. Inoltre so che $\lambda(t)>0$ e $x(t) \in [0,1] \forall t$.
Ho quindi risolto il sistema
$\{(\dot \lambda (t)=0),(\dot{x}(t)=0):}$
trovando un'unico equilibrio ammissibile
$(\bar x, \bar \lambda)=(\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{-U + \sqrt{U^2+4mS}+2\delta},\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{2S}) $
con $S= \frac{\rho^2}{4c}$ e $U= \delta + r $
Ora, mi vengono chieste due domande:
1- L'equilibrio è stabile? Lo scopo dei miei calcoli è quello di capire se vi è un'equilibrio a cui la soluzione tende all'infinito, ma analizzando la matrice jacobiana del problema nell'unico equilibrio trovato scopro che esso è un punto di sella. Cosa posso dire a riguardo?
2- Tra i dati del problema ho $x(0)=x_0$ ma non ho il dato iniziale per $\lambda(0)$. Mi è stato detto che avendo $x_0$, posso "saltare" sul suo sottospazio stabile e trovare quindi $\lambda(0)$. Come si fa?
Ho questo sistema differenziale e devo trovarne gli equilibri.
$\{(\dot \lambda (t)=-m+\frac{\lambda^2 \rho^2}{4c}+\lambda \delta +r\lambda),(\dot{x}(t)= \frac{\lambda(t) \rho^2 (1-x(t))}{2c}-\delta x(t)):}$
dove $m$, $\rho$, $\delta$, $r$, $c$ sono tutte costanti positive. Inoltre so che $\lambda(t)>0$ e $x(t) \in [0,1] \forall t$.
Ho quindi risolto il sistema
$\{(\dot \lambda (t)=0),(\dot{x}(t)=0):}$
trovando un'unico equilibrio ammissibile
$(\bar x, \bar \lambda)=(\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{-U + \sqrt{U^2+4mS}+2\delta},\frac{-U + \sqrt{U^2+4mS}}{2S}) $
con $S= \frac{\rho^2}{4c}$ e $U= \delta + r $
Ora, mi vengono chieste due domande:
1- L'equilibrio è stabile? Lo scopo dei miei calcoli è quello di capire se vi è un'equilibrio a cui la soluzione tende all'infinito, ma analizzando la matrice jacobiana del problema nell'unico equilibrio trovato scopro che esso è un punto di sella. Cosa posso dire a riguardo?
2- Tra i dati del problema ho $x(0)=x_0$ ma non ho il dato iniziale per $\lambda(0)$. Mi è stato detto che avendo $x_0$, posso "saltare" sul suo sottospazio stabile e trovare quindi $\lambda(0)$. Come si fa?
Risposte
Grazie mille per la correzione, è stato un errore di ricopiatura che correggo subito anche nel mio file tex! 
Per quanto riguarda la mia seconda domanda, qualche idea su come trovare $\lambda(0)$?
Per quanto riguarda la mia seconda domanda, qualche idea su come trovare $\lambda(0)$?
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