Flusso di una superficie
Buongiorno ragazzi. E' da un paio di giorni che cerco di venire a capo di questo flusso. La traccia è la seguente:
Calcolare il flusso del campo vettoriale \(\displaystyle F=(x,y,arctanx) \) attraverso la superficie \(\displaystyle \Sigma \), orientando la superficie data in modo tale che la normale a \(\displaystyle \Sigma \) nel punto \(\displaystyle (0,0,0) \),sia \(\displaystyle (0,0,-1) \)
\(\displaystyle { \sum =\left \{ \left ( x,y,z \right ) \in R^3 : \left | xcosz+ysinz \right | + \left | -xsinz+ycosz \right |=1, z\in[0,\pi/4) \right \}} \).
Ho provato a svolgerlo in coordinate cilindriche ottenendo:
\(\displaystyle \left | \rho cos\theta cosz+ \rho sin\theta sinz\right | + \left | -\rho cos\theta sinz +\rho sin\theta cosz\right | = 1 \)
Proprietà della somma dei seni e dei coseni:
\(\displaystyle \left | \rho cos(\theta -z)\right | + \left | \rho cos(\theta - z)\right | = 1 \)
A questo punto ho ragionato in questo modo: siccome devo dimostrare che la somma dei moduli deve essere uguale a 1 che è positivo, allora entrambi gli addendi dovranno essere positivi. Essendo \(\displaystyle \rho >0 \) allora dovranno essere \(\displaystyle cos(\theta -z) \) e \(\displaystyle sin(\theta-z) \) entrambi contemporaneamente positivi. Pertanto:
\(\displaystyle z<\theta<\pi/2+z \). Dunque a questo punto dovrei poter applicare il teorema della divergenza al campo vettoriale. Le condizioni su \(\displaystyle (\rho, \theta, z) \) dovrebbero essere:
\(\displaystyle \rho \in [0, +\infty ), \theta \in (z,\pi/2+z), z\in[0,\pi/4) \)
A patto di non aver scritto delle stupidaggini sopra come posso orientare la superfice in modo tale che che al normale a \(\displaystyle \Sigma \) nel punto (0,0,0) sia (0,0,-1)?
Calcolare il flusso del campo vettoriale \(\displaystyle F=(x,y,arctanx) \) attraverso la superficie \(\displaystyle \Sigma \), orientando la superficie data in modo tale che la normale a \(\displaystyle \Sigma \) nel punto \(\displaystyle (0,0,0) \),sia \(\displaystyle (0,0,-1) \)
\(\displaystyle { \sum =\left \{ \left ( x,y,z \right ) \in R^3 : \left | xcosz+ysinz \right | + \left | -xsinz+ycosz \right |=1, z\in[0,\pi/4) \right \}} \).
Ho provato a svolgerlo in coordinate cilindriche ottenendo:
\(\displaystyle \left | \rho cos\theta cosz+ \rho sin\theta sinz\right | + \left | -\rho cos\theta sinz +\rho sin\theta cosz\right | = 1 \)
Proprietà della somma dei seni e dei coseni:
\(\displaystyle \left | \rho cos(\theta -z)\right | + \left | \rho cos(\theta - z)\right | = 1 \)
A questo punto ho ragionato in questo modo: siccome devo dimostrare che la somma dei moduli deve essere uguale a 1 che è positivo, allora entrambi gli addendi dovranno essere positivi. Essendo \(\displaystyle \rho >0 \) allora dovranno essere \(\displaystyle cos(\theta -z) \) e \(\displaystyle sin(\theta-z) \) entrambi contemporaneamente positivi. Pertanto:
\(\displaystyle z<\theta<\pi/2+z \). Dunque a questo punto dovrei poter applicare il teorema della divergenza al campo vettoriale. Le condizioni su \(\displaystyle (\rho, \theta, z) \) dovrebbero essere:
\(\displaystyle \rho \in [0, +\infty ), \theta \in (z,\pi/2+z), z\in[0,\pi/4) \)
A patto di non aver scritto delle stupidaggini sopra come posso orientare la superfice in modo tale che che al normale a \(\displaystyle \Sigma \) nel punto (0,0,0) sia (0,0,-1)?
Risposte
Prima di fare alcunché, è consigliabile farsi un'idea sulla superficie di integrazione. Noterai che tagliandola per $z=0$ fino a $z=pi/4$ vengono fuori curve che sono una grande schifezza...e al contempo ti farai un'idea su quale potrebbe essere una buona riparametrizzazione.
Ti colpirà l'idea di avere la componente X del campo in funzione di Z e non viceversa com'è ora.
Quindi porrai $x=tan(z)$ e il campo diventerà $F=(tan(z), y, z)$
Con $0<=z
Ora è decisamente più semplice spaccare i valori assoluti e ricavare y in funzione di z nelle varie combinazioni.
Se sei come me, potresti persino sostituire $y+1=w$ perché infastidisce.
Ti colpirà l'idea di avere la componente X del campo in funzione di Z e non viceversa com'è ora.
Quindi porrai $x=tan(z)$ e il campo diventerà $F=(tan(z), y, z)$
Con $0<=z
Ora è decisamente più semplice spaccare i valori assoluti e ricavare y in funzione di z nelle varie combinazioni.
Se sei come me, potresti persino sostituire $y+1=w$ perché infastidisce.
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