Molti dubbi sugli insiemi connessi
Sia $ (X,\tau) $ uno spazio topologico ed $ A\subsetX $. Posto $ \tau_A={A\capB:B\in\tau} $, la struttura $ (A,\tau_A) $ è uno spazio topologico con sostegno $ A $.
$ A $ si dice connesso se non si può scrivere come unione di due aperti in $ \tau_A $ disgiunti e non banali.
Se $ A\subset\tau $ (è un aperto di $ X $), allora gli aperti di $ A $ sono anche aperti di $ X $ ( $ \tau_A\subset\tau $)
Sia $ (R^n,d) $ uno spazio metrico dove $ d $ è la metrica euclidea ed $ A\subsetR^n $ un aperto metrico. $ A $ si dice aperto connesso se non si può scrivere come unione di due aperti di $ R^n $ (gli aperti di $ A $ sono anche aperti di $ R^n $) disgiunti non banali.
Se $ A\subsetR^n $ è un aperto metrico, allora sono equivalenti
1) $ A $ è un aperto connesso
2) $ A $ è connesso per poligonali
3) $ A $ è connesso per archi
Se $ A\subsetR^n$ non fosse un aperto metrico ma fosse un chiuso oppure nè aperto nè chiuso, come posso valutarne la connessione? Dovrei prima determinare la topologia indotta su $ A $ per vedere se si può o meno scrivere come unione di due aperti in $ \tau_A $ non disgiunti? Oppure posso ancora appellarmi alla connessione per poligonali o per archi anche se $ A $ non è aperto?
$ A $ si dice connesso se non si può scrivere come unione di due aperti in $ \tau_A $ disgiunti e non banali.
Se $ A\subset\tau $ (è un aperto di $ X $), allora gli aperti di $ A $ sono anche aperti di $ X $ ( $ \tau_A\subset\tau $)
Sia $ (R^n,d) $ uno spazio metrico dove $ d $ è la metrica euclidea ed $ A\subsetR^n $ un aperto metrico. $ A $ si dice aperto connesso se non si può scrivere come unione di due aperti di $ R^n $ (gli aperti di $ A $ sono anche aperti di $ R^n $) disgiunti non banali.
Se $ A\subsetR^n $ è un aperto metrico, allora sono equivalenti
1) $ A $ è un aperto connesso
2) $ A $ è connesso per poligonali
3) $ A $ è connesso per archi
Se $ A\subsetR^n$ non fosse un aperto metrico ma fosse un chiuso oppure nè aperto nè chiuso, come posso valutarne la connessione? Dovrei prima determinare la topologia indotta su $ A $ per vedere se si può o meno scrivere come unione di due aperti in $ \tau_A $ non disgiunti? Oppure posso ancora appellarmi alla connessione per poligonali o per archi anche se $ A $ non è aperto?
Risposte
Quindi dato un sottoinsieme $A$ di uno spazio metrico (o topologico più in generale), la connessione per archi (o poligonali) implica sempre la connessione e, quindi , che il sottoinsieme in questione non possa essere scritto come unione di due aperti del sottospazio metrico $A$. In generale invece non vale il viceversa.
Quindi se ho un chiuso $C\subsetR^n$ che non è connesso per archi posso concludere che non sarà connesso e che è esprimibile come unione di due aperti del suo sottospazio (o di $R^n$?) non vuoti e disgiunti.
Se in particolare $A$ è un sottoinsieme aperto di $R^n$ allora vale l'equivalenza tra:
1)$A$ connesso
2)$A$ connesso per poligonali
3)$A$ connesso per archi
ed in questo caso la connessione indica l'impossibilità di scrivere $A$ come unione di due aperti metrici di $R^n$ disgiunti e non banali ed $A$ sarà detto aperto connesso.
Ho compreso bene?
Mi sembra ancora tutto un po' confuso. La mia finalità è principalmente risolvere esercizi in cui, determinato il dominio di una funzione di più variabili reali a valori reali, mi viene chiesto di dire se è aperto, chiuso, compatto, connesso. Per le prime tre richieste non ho problemi perchè utilizzo la definizione di aperti e chiusi di spazi metrici e per la compattezza uso la caratterizzazione "limitato e chiuso=compatto". Per la connessione ho ancora dubbi e non capisco se il fatto che l'insieme sia aperto, chiuso o nessuno dei due, debba portarmi ad usare strategia diverse per decidere se sia connesso o meno
Quindi se ho un chiuso $C\subsetR^n$ che non è connesso per archi posso concludere che non sarà connesso e che è esprimibile come unione di due aperti del suo sottospazio (o di $R^n$?) non vuoti e disgiunti.
Se in particolare $A$ è un sottoinsieme aperto di $R^n$ allora vale l'equivalenza tra:
1)$A$ connesso
2)$A$ connesso per poligonali
3)$A$ connesso per archi
ed in questo caso la connessione indica l'impossibilità di scrivere $A$ come unione di due aperti metrici di $R^n$ disgiunti e non banali ed $A$ sarà detto aperto connesso.
Ho compreso bene?
Mi sembra ancora tutto un po' confuso. La mia finalità è principalmente risolvere esercizi in cui, determinato il dominio di una funzione di più variabili reali a valori reali, mi viene chiesto di dire se è aperto, chiuso, compatto, connesso. Per le prime tre richieste non ho problemi perchè utilizzo la definizione di aperti e chiusi di spazi metrici e per la compattezza uso la caratterizzazione "limitato e chiuso=compatto". Per la connessione ho ancora dubbi e non capisco se il fatto che l'insieme sia aperto, chiuso o nessuno dei due, debba portarmi ad usare strategia diverse per decidere se sia connesso o meno
"TS778LB":
Quindi se ho un chiuso $C\subsetR^n$ che non è connesso per archi posso concludere che non sarà connesso
No. Hai già un esempio di un insieme che è connesso ma non connesso per archi.
Quindi in definitiva se ho un aperto metrico la connessione per archi implica la connessione e la non connessione per archi implica la non connessione. Se invece ho un qualsiasi altro insieme (chiuso o né aperto né chiuso), la connessione per archi implica sempre la connessione mentre la non connessione per archi non implica in generale la non connessione e in questo caso dovrò verificare l'eventuale connessione con la definizione che riguarda l'impossibilità di scriverlo come unione di aperti metrici del suo sottospazio non vuoti e disgiunti.
Giusto?
Ho un altro dubbio:
Una circonferenza del piano è un chiuso connesso per archi e quindi connesso. Ma non è connesso per poligonali. Quindi la connessione per poligonali la prendo in considerazione solo per aperto metrici?
Giusto?
Ho un altro dubbio:
Una circonferenza del piano è un chiuso connesso per archi e quindi connesso. Ma non è connesso per poligonali. Quindi la connessione per poligonali la prendo in considerazione solo per aperto metrici?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo