Parametrizzazione di una curva
Ho qualche dubbio su questo esercizio:
Verificare che il seguente sottoinsieme di $\mathbb{R}^3$ è il sostegno di una curva in $\mathbb{R}^3$, determinarne una parametrizzazione, studiarne regolarità e calcolare lunghezza.
$\gamma={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 | z=3/2sin\sqrt(x), y^2+z^2=3y, 0<=x<=pi^2/4}$
Devo mostrare che $\gamma$ è l'immagine di una funzione che sarà una sua parametrizzazione.
Avevo pensato, dato che l'equazione $y^2+z^2=3y$ rappresenta un cilindro traslato nello spazio, "sdraiato sull'asse x" di passare a coordinate cilindriche ottenendo una parametrizzazione molto brutta che non mi permette neanche di ricavare in modo agevole l'intervallo di variazione dell'angolo.
Quindi ho provato con un altra parametrizzazione, ponendo $x=t$ ho ottenuto:
\begin{cases}
x=t \\
y=\frac{3}{2} (1 \pm \cos\sqrt t) \\
z=\frac{3}{2} \sin\sqrt t
\end{cases}
Quindi la parametrizzazione è
$r(t)=(t,\frac{3}{2} (1 \pm cos\sqrt t), \frac{3}{2} sin\sqrt t)$ con $t \in [0,pi^2/4]$
L'aver trovato due soluzioni per la y cosa significa?
Che $gamma$ è unione delle due curve descritte dalle due parametrizzazioni trovate? Graficamente mi sembrerebbe così.
E per la lunghezza come mi comporto?
Grazie a tutti
Verificare che il seguente sottoinsieme di $\mathbb{R}^3$ è il sostegno di una curva in $\mathbb{R}^3$, determinarne una parametrizzazione, studiarne regolarità e calcolare lunghezza.
$\gamma={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 | z=3/2sin\sqrt(x), y^2+z^2=3y, 0<=x<=pi^2/4}$
Devo mostrare che $\gamma$ è l'immagine di una funzione che sarà una sua parametrizzazione.
Avevo pensato, dato che l'equazione $y^2+z^2=3y$ rappresenta un cilindro traslato nello spazio, "sdraiato sull'asse x" di passare a coordinate cilindriche ottenendo una parametrizzazione molto brutta che non mi permette neanche di ricavare in modo agevole l'intervallo di variazione dell'angolo.
Quindi ho provato con un altra parametrizzazione, ponendo $x=t$ ho ottenuto:
\begin{cases}
x=t \\
y=\frac{3}{2} (1 \pm \cos\sqrt t) \\
z=\frac{3}{2} \sin\sqrt t
\end{cases}
Quindi la parametrizzazione è
$r(t)=(t,\frac{3}{2} (1 \pm cos\sqrt t), \frac{3}{2} sin\sqrt t)$ con $t \in [0,pi^2/4]$
L'aver trovato due soluzioni per la y cosa significa?
Che $gamma$ è unione delle due curve descritte dalle due parametrizzazioni trovate? Graficamente mi sembrerebbe così.
E per la lunghezza come mi comporto?
Grazie a tutti
Risposte
Ciao Frink88,
Non ho provato a fare i conti, ma solo guardando $\gamma$ la parametrizzazione che mi pare più comoda è la seguente:
${(x = t^2),(y = 3/2 (1 + cos t)), (z = 3/2 sin t):} $
con $t \in [0, \pi/2] $
Non ho provato a fare i conti, ma solo guardando $\gamma$ la parametrizzazione che mi pare più comoda è la seguente:
${(x = t^2),(y = 3/2 (1 + cos t)), (z = 3/2 sin t):} $
con $t \in [0, \pi/2] $
"Frink88":
L'aver trovato due soluzioni per la y cosa significa?
Significa che non è buona e puoi trovare di meglio (vedi @pilloeffe)
Innanzitutto grazie ad entrambi per le risposte.
In effetti la parametrizzazione di pilloeffe è più comoda e avrebbe dovuto saltarmi all'occhio viste le radici.
Ma non dovrebbero esserci anche nella tua due espressioni per la y?
Io $\gamma$ lo visualizzo così: un cilindro con asse parallelo all'asse x intersecato da un seno tridimensionale tra un certo intervallo dell'asse x. Quando tu prendi solo la y con il + consideri solo metà curva (da uno dei due lati rispetto all'asse del cilindro), mi sbaglio?
In effetti la parametrizzazione di pilloeffe è più comoda e avrebbe dovuto saltarmi all'occhio viste le radici.
Ma non dovrebbero esserci anche nella tua due espressioni per la y?
Io $\gamma$ lo visualizzo così: un cilindro con asse parallelo all'asse x intersecato da un seno tridimensionale tra un certo intervallo dell'asse x. Quando tu prendi solo la y con il + consideri solo metà curva (da uno dei due lati rispetto all'asse del cilindro), mi sbaglio?
Allego un'immagine, la tua parametrizzazione dovrebbe essere quella verde, manca la parte in nero, che si ottiene considerando la stessa parametrizzazione con il - nella coordinata y
Non ho controllato la correttezza del disegno che hai postato, ma se è come sostieni dalla simmetria dello stesso per ottenere la lunghezza totale (curva verde + curva nera) basta raddoppiare la lunghezza che si ottiene con la parametrizzazione che ti ho suggerito nel mio post precedente... 
Si, mi sembrava solo strano non saper parametrizzare la curva intera.
Grazie
Grazie
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