Monotonia della derivata
Salve a tutti, problemino teorico:
Sia $f(x) in C^2$ definita su $RR_{>=0}$ una funzione tale che $f'(x)$, definita su $RR_{>0}$, sia monotona crescente. Sia inoltre $f(0)=0$. Provare che $g(x)=f(x)/x$, $g(x)$ definita su $RR_{>0}$ è monotona crescente.
Proposta di soluzione.
Essendo $f'(x)$ monotona crescente abbiamo $f''(x)>=0$.
$g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$. L'intenzione è di dimostrare la non negatività di questa espressione.
Nell'intervallo d'interesse il denominatore è sempre positivo.
Il numeratore ha derivata $D[xf'(x)-f(x)]=xf''(x)>=0$, perciò è crescente; per mostrare che è ovunque positivo o nullo devo mostrare che lo è all'origine: $\lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)>=0$.
La crescenza di $f'(x)$ garantisce che $lim_{x \to 0^+}f'(x)!=+\infty$.
Se $lim_{x \to 0^+}f'(x)$ assume un valore finito allora $\lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)=0$ e l'esercizio è concluso.
Tuttavia non riesco a provare formalmente che ciò sia valido anche nel caso $lim_{x \to 0^+}f'(x)=-\infty$...
Suggerimenti?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Sia $f(x) in C^2$ definita su $RR_{>=0}$ una funzione tale che $f'(x)$, definita su $RR_{>0}$, sia monotona crescente. Sia inoltre $f(0)=0$. Provare che $g(x)=f(x)/x$, $g(x)$ definita su $RR_{>0}$ è monotona crescente.
Proposta di soluzione.
Essendo $f'(x)$ monotona crescente abbiamo $f''(x)>=0$.
$g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$. L'intenzione è di dimostrare la non negatività di questa espressione.
Nell'intervallo d'interesse il denominatore è sempre positivo.
Il numeratore ha derivata $D[xf'(x)-f(x)]=xf''(x)>=0$, perciò è crescente; per mostrare che è ovunque positivo o nullo devo mostrare che lo è all'origine: $\lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)>=0$.
La crescenza di $f'(x)$ garantisce che $lim_{x \to 0^+}f'(x)!=+\infty$.
Se $lim_{x \to 0^+}f'(x)$ assume un valore finito allora $\lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)=0$ e l'esercizio è concluso.
Tuttavia non riesco a provare formalmente che ciò sia valido anche nel caso $lim_{x \to 0^+}f'(x)=-\infty$...
Suggerimenti?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao dott.ing 
Ho letto con attenzione il tuo ragionamento. Secondo me riguardo al tuo ultimo punto la conclusione è abbastanza semplice: se per ipotesi $f'(x)$ è crescente e $f(0) = 0$ non potrà mai essere che che $\lim_{x \to 0^{+}} f'(x) = -\infty$ altrimenti avremmo $f''(x) \leq 0$ e la nostra $f'(x)$ non sarebbe più monotona crescente contrariamente alle ipotesi.
Ho letto con attenzione il tuo ragionamento. Secondo me riguardo al tuo ultimo punto la conclusione è abbastanza semplice: se per ipotesi $f'(x)$ è crescente e $f(0) = 0$ non potrà mai essere che che $\lim_{x \to 0^{+}} f'(x) = -\infty$ altrimenti avremmo $f''(x) \leq 0$ e la nostra $f'(x)$ non sarebbe più monotona crescente contrariamente alle ipotesi.
Ciao onlyReferee, innanzitutto grazie per la risposta.
Prima di provare a livello teorico la possibilità che una siffatta funzione non esista ho cercato qualche esempio pratico ed ho provato poi a generalizzare. E temo di aver trovato qualcosa che soddisfa i requisiti
Sia, ad esempio, $f(x)=-root(3)(x)$. Torna, no?
O, più in generale, $f(x)=-x^\alpha$, $\alpha in (0,1)$.
O magari qualche funzione non necessariamente esprimibile formalmente: insomma, basta che parta in origine tangente all'asse delle ordinate e sia convessa.
Che ne pensi?
Prima di provare a livello teorico la possibilità che una siffatta funzione non esista ho cercato qualche esempio pratico ed ho provato poi a generalizzare. E temo di aver trovato qualcosa che soddisfa i requisiti
Sia, ad esempio, $f(x)=-root(3)(x)$. Torna, no?
O, più in generale, $f(x)=-x^\alpha$, $\alpha in (0,1)$.
O magari qualche funzione non necessariamente esprimibile formalmente: insomma, basta che parta in origine tangente all'asse delle ordinate e sia convessa.
Che ne pensi?
La funzione dev'essere $\mathcal{C}^2$ su $\mathbb{R}_{\ge 0}$ o solo su $\mathbb{R}_{>0}$ ?
In effetti l'approccio del primo post ha qualche problema se \(f'(x)\downarrow -\infty\). Non saprei se si possa risolvere o se l'approccio è da buttare: l'esempio della funzione \(f(x)=-x^\alpha\), con \(0<\alpha<1\), non va bene perché in quel caso \(xf'(x)\to 0\).
Ci si può pensare, ma nel frattempo mi permetto di suggerire una strada alternativa: scrivendo
\[
\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x f'(y)\, dy, \]
secondo me le cose si chiariscono. Questa funzione è infatti la media sull'intervallo \((0, x)\) di una funzione crescente. E' chiaro (ma bisogna dimostrarlo) che la media di una roba crescente è ancora crescente.
Ci si può pensare, ma nel frattempo mi permetto di suggerire una strada alternativa: scrivendo
\[
\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x f'(y)\, dy, \]
secondo me le cose si chiariscono. Questa funzione è infatti la media sull'intervallo \((0, x)\) di una funzione crescente. E' chiaro (ma bisogna dimostrarlo) che la media di una roba crescente è ancora crescente.
_fabricius_, giusta osservazione.
Chiedo scusa ma nel tradurre e sintetizzare l'esercizio penso di aver esagerato nel porre i vincoli alla funzione.
Rielaborandolo più correttamente è: $ f(x) $ definita su $ RR_{>=0} $, almeno $C^1(RR_{>0})$.
Non sono posti vincoli sulla continuità della derivata seconda.
Ossia: $f(x)={(-root(3)(x), x in [0,1)),(x^2-7/3x+1/3, x in [1,+infty)):}$ rispetta comunque le richieste sulla funzione.
Chiedo scusa ma nel tradurre e sintetizzare l'esercizio penso di aver esagerato nel porre i vincoli alla funzione.
Rielaborandolo più correttamente è: $ f(x) $ definita su $ RR_{>=0} $, almeno $C^1(RR_{>0})$.
Non sono posti vincoli sulla continuità della derivata seconda.
Ossia: $f(x)={(-root(3)(x), x in [0,1)),(x^2-7/3x+1/3, x in [1,+infty)):}$ rispetta comunque le richieste sulla funzione.
"dissonance":
Ci si può pensare, ma nel frattempo mi permetto di suggerire una strada alternativa: scrivendo
\[
\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x f'(y)\, dy, \]
Grazie dissonance per la risposta. Mi sembra una buona strada.
Tuttavia
"dissonance":non mi viene proprio immediatamente.
E' chiaro (ma bisogna dimostrarlo) che la media di una roba crescente è ancora crescente.
Buttandomi a fionda sulla derivata del secondo membro $\frac{1}{x}\int_0^x f'(y)dy$, (applicando il primo teorema fondamentale del calcolo) mi sono ritrovato al punto di partenza, ossia $\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$.
Ma forse non è l'approccio giusto per mostrare quello che dici...
Così torni indietro. Prova ad applicare qualche cambio di variabile.
I tentativi con la media integrale sono stati inconcludenti. Ho provato a mostrarlo indipendentemente dall'esercizio del thread ma vado sempre a finire in una forma indeterminata da cui non ne esco per via della genericità dell'integranda.
Rimane comunque un esercizio interessante, continuerò a pensarci (non mi lamenterò se dovesse arrivare qualche input in merito...).
Tornando invece all'approccio iniziale ho osservato la seguente cosa. Voglio mostrare che $ \lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)=0 $.
Riscrivo l'espressione come $f'(x)=f(x)/x$, $(x->0^+)$. Questa identità risulta sempre verificata, infatti $\lim_{x \to 0^+}f'(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)/x$[tex]\overset{H}{=}[/tex]$\lim_{x \to 0^+}f'(x)$.
Se abbiamo poi il caso particolare \( f'(x)\downarrow -\infty \) l'uguaglianza non è a valori finiti ma resta comunque valida.
È accettabile il procedimento proposto?
Rimane comunque un esercizio interessante, continuerò a pensarci (non mi lamenterò se dovesse arrivare qualche input in merito...).
Tornando invece all'approccio iniziale ho osservato la seguente cosa. Voglio mostrare che $ \lim_{x \to 0^+}xf'(x)-f(x)=0 $.
Riscrivo l'espressione come $f'(x)=f(x)/x$, $(x->0^+)$. Questa identità risulta sempre verificata, infatti $\lim_{x \to 0^+}f'(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)/x$[tex]\overset{H}{=}[/tex]$\lim_{x \to 0^+}f'(x)$.
Se abbiamo poi il caso particolare \( f'(x)\downarrow -\infty \) l'uguaglianza non è a valori finiti ma resta comunque valida.
È accettabile il procedimento proposto?
MMMmmhhh non mi convince. A priori \[\lim_{x\downarrow 0} xf'(x)-f(x)\]
potrebbe essere nella forma indeterminata \(\infty-\infty\), come fai a manipolarlo così? (Comunque penso che funzioni, si tratta solo di scrivere le cose per bene).
P.S.: Per l'approccio integrale, prova il cambio di variabile \(y=xt.\) E non ti fissare con le derivate, per mostrare che una funzione è monotona si può anche fare a mano e spesso è molto meglio.
potrebbe essere nella forma indeterminata \(\infty-\infty\), come fai a manipolarlo così? (Comunque penso che funzioni, si tratta solo di scrivere le cose per bene).
P.S.: Per l'approccio integrale, prova il cambio di variabile \(y=xt.\) E non ti fissare con le derivate, per mostrare che una funzione è monotona si può anche fare a mano e spesso è molto meglio.
"dissonance":
A priori \[\lim_{x\downarrow 0} xf'(x)-f(x)\]
potrebbe essere nella forma indeterminata \(\infty-\infty\)
Non ti seguo. Come potrebbe accadere ciò? $f(0)=0$ è una condizione imposta dal problema.
Provo con la sostituzione suggerita.
Hai ragione che non mi esprimo bene (sto andando a dormire), voglio dire che non mi piace come manipoli i limiti. Tu infatti stai dicendo che, per la regola di l'Hopital,
\[
\lim_{x\downarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\downarrow 0} f'(x), \]
e l'ultimo limite esiste perché \(f'\) è monotona. Questo va bene. Ma ora passi a dire che
\[
\lim_{x\downarrow 0} \frac{f(x)}{x}-f'(x)=0,
\]
il che mi rende un po' nervoso perché mi puzza di \(-\infty+\infty\). Non so se mi spiego. (Se giustifichi bene questo ultimo passaggio, sono d'accordo che da questo segue
\[
\lim_{x\downarrow 0 } f(x)-xf'(x)=0.)\]
\[
\lim_{x\downarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x\downarrow 0} f'(x), \]
e l'ultimo limite esiste perché \(f'\) è monotona. Questo va bene. Ma ora passi a dire che
\[
\lim_{x\downarrow 0} \frac{f(x)}{x}-f'(x)=0,
\]
il che mi rende un po' nervoso perché mi puzza di \(-\infty+\infty\). Non so se mi spiego. (Se giustifichi bene questo ultimo passaggio, sono d'accordo che da questo segue
\[
\lim_{x\downarrow 0 } f(x)-xf'(x)=0.)\]
Salve a tutti
Tento una dimostrazione:
Ciao
Tento una dimostrazione:
Ciao
@Shocker: Va quasi bene, non capisco solo come fai a dimostrare la crescenza stretta (vedi più sotto). Se ti limiti alla disugaglianza \(\le\), tutto funziona. L'ultimo argomento non ha bisogno di tutti quei giri di parole: basta osservare che
\[
\frac{1}{x_1}\int_0^{x_1} f(y)\, dy= f(\lambda)
\]
e
\[
\frac{1}{\epsilon}\int_{x_1}^{x_1+\epsilon}f(y)\, dy=f(\mu), \]
per un \(\lambda\in[0, x_1]\) e un \(\mu\in [x_1, x_1+\epsilon]\). Siccome \(f\) è crescente, \(f(\lambda)\le f(\mu)\). Nota che questa dimostrazione non esclude che \(\lambda=\mu=x_1\) e quindi la funzione \(\frac{1}{x}\int_0^x f(y)\, dy\) potrebbe essere solo crescente non strettamente.
C'è un argomento secondo me molto più facile che è il cambio di variabile \(y=xt\). Con quello, si ha che
\[
F(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(y)\, dy=\int_0^1 f(tx)\, dt.\]
Per la monotonia dell'integrale (i.e., la proprietà secondo cui \(f(x)\le g(x)\Rightarrow \int f\le \int g\)), la funzione \(F\) è crescente.
\[
\frac{1}{x_1}\int_0^{x_1} f(y)\, dy= f(\lambda)
\]
e
\[
\frac{1}{\epsilon}\int_{x_1}^{x_1+\epsilon}f(y)\, dy=f(\mu), \]
per un \(\lambda\in[0, x_1]\) e un \(\mu\in [x_1, x_1+\epsilon]\). Siccome \(f\) è crescente, \(f(\lambda)\le f(\mu)\). Nota che questa dimostrazione non esclude che \(\lambda=\mu=x_1\) e quindi la funzione \(\frac{1}{x}\int_0^x f(y)\, dy\) potrebbe essere solo crescente non strettamente.
C'è un argomento secondo me molto più facile che è il cambio di variabile \(y=xt\). Con quello, si ha che
\[
F(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(y)\, dy=\int_0^1 f(tx)\, dt.\]
Per la monotonia dell'integrale (i.e., la proprietà secondo cui \(f(x)\le g(x)\Rightarrow \int f\le \int g\)), la funzione \(F\) è crescente.
@Dissonance: hai ragione! In effetti quando ho scritto la dimostrazione ho utilizzato solo il $<=$, poi mi sono convinto che andasse bene anche $<$(avevo capito crescente in senso stretto e ho cambiato tutto 
). Il tuo approccio è nettamente superiore, chapeau. 
). Il tuo approccio è nettamente superiore, chapeau.
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