Studio della continuità e della derivabilità di fx
allora come dice il titolo devo studiare la conti. e la deriv. di una funzione semplice giusto per capire come comportarmi vi mostro il mio procedimento e i miei dubbi
$f(x)=sqrt(1-x^2)$ facilmente individuo il duo domino $D: -1<=x<=1$ e so che la funzione e continua in questo intervallo
adesso ne studio la derivabilità quindi
$f(x)^{\prime}=-x/(sqrt(1-x^2))$ il domino della derivata è $-1
adesso per provare definitamente che $-1,1$ non appartengono al domino della derivata prima devo fare il limite del rapporto incrementale in quei due punti sia da destra che sinistra e se sono uguali allora $-1,1$ appartengono anche loro al domino della derivata prima
quindi la funzione in $1$ e $-1$ ha come valore $0$ infatti $f(-1)=f(1)=0$ quindi
$\lim_(h->0^+)((0+h)-0)/h=1$
$\lim_(h>0^-)((0+h)-0)/h=1 $
concludo dicendo che i limiti del rapporto increm dx e sx sono uguali e allora i punti $-1$ e $1$ appartengono al domino di derivabilità della funzione ma sul mio libro ce scritto che intervallo di derivabilità è $-1
Tutto giusto si o no ??? grazie anticipatamente
$f(x)=sqrt(1-x^2)$ facilmente individuo il duo domino $D: -1<=x<=1$ e so che la funzione e continua in questo intervallo
adesso ne studio la derivabilità quindi
$f(x)^{\prime}=-x/(sqrt(1-x^2))$ il domino della derivata è $-1
adesso per provare definitamente che $-1,1$ non appartengono al domino della derivata prima devo fare il limite del rapporto incrementale in quei due punti sia da destra che sinistra e se sono uguali allora $-1,1$ appartengono anche loro al domino della derivata prima
quindi la funzione in $1$ e $-1$ ha come valore $0$ infatti $f(-1)=f(1)=0$ quindi
$\lim_(h->0^+)((0+h)-0)/h=1$
$\lim_(h>0^-)((0+h)-0)/h=1 $
concludo dicendo che i limiti del rapporto increm dx e sx sono uguali e allora i punti $-1$ e $1$ appartengono al domino di derivabilità della funzione ma sul mio libro ce scritto che intervallo di derivabilità è $-1
Tutto giusto si o no ??? grazie anticipatamente
Risposte
"alessandrof10":
Tutto giusto si o no ???
no
prendi ad esempio il punto $x_0=1$
la funzione è derivabile in questo punto se,e solo se, $ lim_(h -> 0^-)(f(1+h)-f(1))/h $ esiste ed è finito
e scusa il limite esistono e sono finiti scusami non capisco dove è lo sbaglio che mi stai facendo notare
guarda che il limite che devi calcolare è il seguente $ lim_(h -> 0^-)sqrt(1-(1+h)^2)/h $ ,che penso non sia neanche lontano parente di quello che hai calcolato tu
ci ho messo un po per capire da dove hai tirato fuori questo limite adesso e tutto chiaro
cioè per essere formali dovresti scriverlo in questo modo $\lim_(h-0^(+-)) (sqrt(1-(1+h)^2)-0)/h $
qundi facendo i limiti escono $+infty e -infty $
per il resto della trattazione è tutto giusto ??
cioè per essere formali dovresti scriverlo in questo modo $\lim_(h-0^(+-)) (sqrt(1-(1+h)^2)-0)/h $
qundi facendo i limiti escono $+infty e -infty $
per il resto della trattazione è tutto giusto ??
poi un altra cosa i punti di non derivabilità in cui la derivata non è definita sono gli stessi punti di discontinuità per la funzione allora non ce bisogno di fare il lim del rapp incrementale per vedere se in quei punti la derivata esiste ?? cioè affermo a priori basandomi su la continuità che la derivata in quel punto non esiste
"alessandrof10":
$\lim_(h-0^(+-)) (sqrt(1-(1+h)^2)-0)/h $
qundi facendo i limiti escono $+infty e -infty $
Il limite per $h->0^-$ vale $-infty$, quello per $h->0^+$ non esiste.
$\lim_(h->0) sqrt(-1-2/h)$ per $0^(-) ->sqrt(-1+infty)=+infty $ invece per $0^(+)->sqrt(-infty)$ giustamente non è definita la radice di meno infinito
ok dott ?? ti sei confuso sul meno infinito infatti è piu infinito nel primo limite
ok dott ?? ti sei confuso sul meno infinito infatti è piu infinito nel primo limite
"alessandrof10":
ok dott ?? ti sei confuso sul meno infinito infatti è piu infinito nel primo limite
Nope.
$\lim_(h-0^-)(sqrt(1-(1+h)^2))/h=\lim_(h-0^-)sqrt(h^2(-1-2/h))/h=\lim_(h->0^-) (-hsqrt(-1-2/h))/h=-\infty$.
perche scrivi $-h$ caso mai dovresti scrivere $|h|$ cmq sia grazie potresti rispondermi gentilmente a
"alessandrof10":
poi un altra cosa i punti in cui la derivata non è definita e sono gli stessi punti di discontinuità per la funzione allora non ce bisogno di fare il lim del rapp incrementale per vedere se in quei punti la derivata esiste ?? cioè affermo a priori basandomi su la continuità che la derivata in quel punto non esiste
E' un passaggio che effettua senza scriverlo, da $|h|$ passa a $-h$ perché $h<0$ perché il limite in $0$ è sinistro, per il valore assoluto lo deve rendere positivo e lo cambia di segno.
si pero le cose non tornano perche' arrivati a questo punto $sqrt(-h^2-2h)/h$ porto dentro h $sqrt((-h^2-2h)/h^2)$ semplificando esce $sqrt(-1-2/h)$ adesso se passo al limite esce per $0^(-) -> -h$ il risultato è $sqrt(-1+infty)=sqrt(+infty)$
adesso il dubbio sorge sul fatto che la radice di infinito è uguale al modulo di infinito ??che varia in base a dove è stato calcolato il limite in questo caso -infinito (che cose brutte che dico )
adesso il dubbio sorge sul fatto che la radice di infinito è uguale al modulo di infinito ??che varia in base a dove è stato calcolato il limite in questo caso -infinito (che cose brutte che dico )
In realtà quando porti un valore dentro la radice quadrata occorre rimanere un segno fuori, nel tuo caso avresti:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{-h^2-2h}}{h}=\frac{1}{h} \sqrt{-h^2-2h}=\mbox{sgn} \left(\frac{1}{h}\right)\sqrt{-1-\frac{2}{h}} =-\sqrt{-1-\frac{2}{h}}\)
Nota infatti che se hai
\(\displaystyle a\sqrt{3}\)
Con $a=-3$ allora puoi tu stesso verificare che non è vero che si ha
\(\displaystyle a\sqrt{3}=\sqrt{3a^2} \)
Mentre è vero che
\(\displaystyle a\sqrt{3}=\mbox{sgn}(a)\sqrt{3a^2} \)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{-h^2-2h}}{h}=\frac{1}{h} \sqrt{-h^2-2h}=\mbox{sgn} \left(\frac{1}{h}\right)\sqrt{-1-\frac{2}{h}} =-\sqrt{-1-\frac{2}{h}}\)
Nota infatti che se hai
\(\displaystyle a\sqrt{3}\)
Con $a=-3$ allora puoi tu stesso verificare che non è vero che si ha
\(\displaystyle a\sqrt{3}=\sqrt{3a^2} \)
Mentre è vero che
\(\displaystyle a\sqrt{3}=\mbox{sgn}(a)\sqrt{3a^2} \)
grazie campion queste sono piccole cose di grandissima importanza che ti fanno cambiare la funzione. te la sentiresti di rispondere a quella domanda precedentemente fatta sulla derivabilità e continuità???
Come detto da CaMpIoN la scrittura $|h|$ è equivalente a $-h$ per $h<0$.
Occhio a portar dentro e fuori: $h$ è negativo, quando lo porti sotto radice e lo elevi al quadrato lo stai facendo diventare positivo, e ciò non va bene perché fai cambiare segno a tutta l'espressione.
La scrittura corretta è $-sqrt((-h^2-2h)/h^2)$, che preserva la negatività iniziale.
"alessandrof10":
si pero le cose non tornano perche' arrivati a questo punto $ sqrt(-h^2-2h)/h $ porto dentro h $ sqrt((-h^2-2h)/h^2) $
Occhio a portar dentro e fuori: $h$ è negativo, quando lo porti sotto radice e lo elevi al quadrato lo stai facendo diventare positivo, e ciò non va bene perché fai cambiare segno a tutta l'espressione.
La scrittura corretta è $-sqrt((-h^2-2h)/h^2)$, che preserva la negatività iniziale.
sisi grazie dott. mi state aiutando parecchio in questo periodo... a settembre ho l esame di analisi :S
"alessandrof10":[/quote]
potresti rispondermi gentilmente a
[quote="alessandrof10"]poi un altra cosa i punti in cui la derivata non è definita e sono gli stessi punti di discontinuità per la funzione allora non ce bisogno di fare il lim del rapp incrementale per vedere se in quei punti la derivata esiste ?? cioè affermo a priori basandomi su la continuità che la derivata in quel punto non esiste
La continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. Se non è continua in un punto non è ivi derivabile.
quindi è giusto che lo ho detto grazie mille dott. scusa se te lo chiedo ma sei insegnante di matematica ??
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