Teorema di sufficienza per differenziabilità nell'origine.
Ciao a tutti, mi son trovato in difficoltà con l'utilizzare il teorema di sufficienza per affermare che una funzione è differenziabile in un punto $X0$, nel dettaglio:
Sia $f(x,y)= (x^3+2y^4)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)!=(0,0)$, $f(x,y)=0$ se $(x,y)=(0,0)$
a) stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso
b) stabilire in quali punti del piano è differenziabile
c) Determinare il piu grande insieme aperto A del piano in cui f è $C^1$
a)per svolgere questo punto ragiono così: vedo innanzitutto che la funzione è costituita da termini che, derivati non costituiscono "problemi" se non nell'origine, dunque, ne concludo immediatamente che $f$ è derivabile in tutto $R^2$ eccetto l'origine che studio ora: provo a calcolare $fx(x,0)=1$ e calcolo $fx(0,y)=0$. Dunque scopro che è derivabile anche nell'origine, bene.
b) Per il teorema di sufficienza se una funzione $f$ è derivabile IN UN INTORNO di $x0$ e continua in $x0$ allora essa è DIFFERENZIABILE in $x0$...bene...io non so perchè ma non è differenziabile in $x0$ se applico la definizione ma mi sembra differenziabile per il teorema di sufficienza....cioè, è sicuramente derivabile nell'origine e in un suo intorno ed è anche continua...non capisco cosa mi manca, ne potrei dedurre che l'origine non appartiene all'insieme aperto di $R^2$ ma questo mi sembra assurdo...grazie a chi mi vuole illuminare
Sia $f(x,y)= (x^3+2y^4)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)!=(0,0)$, $f(x,y)=0$ se $(x,y)=(0,0)$
a) stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in tal caso
b) stabilire in quali punti del piano è differenziabile
c) Determinare il piu grande insieme aperto A del piano in cui f è $C^1$
a)per svolgere questo punto ragiono così: vedo innanzitutto che la funzione è costituita da termini che, derivati non costituiscono "problemi" se non nell'origine, dunque, ne concludo immediatamente che $f$ è derivabile in tutto $R^2$ eccetto l'origine che studio ora: provo a calcolare $fx(x,0)=1$ e calcolo $fx(0,y)=0$. Dunque scopro che è derivabile anche nell'origine, bene.
b) Per il teorema di sufficienza se una funzione $f$ è derivabile IN UN INTORNO di $x0$ e continua in $x0$ allora essa è DIFFERENZIABILE in $x0$...bene...io non so perchè ma non è differenziabile in $x0$ se applico la definizione ma mi sembra differenziabile per il teorema di sufficienza....cioè, è sicuramente derivabile nell'origine e in un suo intorno ed è anche continua...non capisco cosa mi manca, ne potrei dedurre che l'origine non appartiene all'insieme aperto di $R^2$ ma questo mi sembra assurdo...grazie a chi mi vuole illuminare
Risposte
Le derivate devono essere continue, non la funzione.
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