Analisi matematica di base

Ho dei dubbi riguardanti cosx e senx in campo complesso. Mi è capitato di vedere in alcuni esercizi svolti che ad esempio il $ sin alpha = (e^(jalpha )-e^(-jalpha ))/(2j) $ e ci siamo.. Ma non capisco quando si approssima direttamente ad esempio discutendo la parte reale diventa $ cos alpha = e^(jalpha ) $ Che ragionamento c'è dietro? Grazie per eventuali risposte

Ho un dubbio con uno studio di segno della derivata seconda, la mia derivata seconda è: $ F''(x)={ ( cosx;x<0 ),( e^x+sinx;x>=0 ):} $ Come mi comporto in questo caso per studiare il segno? Devo mettere a sistema cosx>0 con x

Ho un dubbio pazzesco: se ho una funzione, definita a tratti, quindi diciamo una parte maggiore di zero e una minore di zero, mi calcolo le derivate prime e voglio studiare il segno della derivata, come faccio? Faccio un esempio concreto della funzione che sto studiando Sono arrivata a studiare il segno della derivata seconda, che è $ -1/(4sqrt((x+1)^3) $ se $ x>=0 $ $ (-3x+5)/[(x-1)^3(x-2)^2] $ se $ x<0 $ Allora io direi: studio la positività, quindi pongo la prima equazione ...

Ciao a tutti mi trovo in difficoltà nel risolvere questo quesito: Stabilire se la funzione $ f : [-1,1]->R $ così definita: $ sin(x) + x - 1 $ nell'intervallo $ [-1 , 0) $ $sin(x) + x + 1 $ nell'intervallo $ [0,1] $ è integrabile nell'intervallo $ (-1 , 1) $ - Io posso immediatamente dire che la funzione nell'intervallo non è continua; tra l'altro l'intervallo considerato non è limitato, dunque in conclusione non posso utilizzare la continuità come criterio di ...

Ciao! Come potrei risolvere questo esercizio? $z|z|-2z-i+1=0$ ho messo x+iy al posto di z ma con la radice quadrata del modulo si complica tutto e non so come procedere

Ciao a tutti. Nel risolvere il seguente esercizio che richiede di effettuare la trasformata di Fourier mi sono bloccato. Sostanzialmente ho $ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin(x)}{x^2+1} \* e^{-i \xi x} dx $ nel quale sostituendo $sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ottengo: $$ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix-i \xi x}}{x^2+1} - \frac{1}{2i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ix-i \xi x}}{x^2+1}$$ Come faccio a calcolare il primo integrale ad esempio? Il calcolo degli integrali passa attraverso ...

Buonasera, devo risolvere questo problema di cauchy: $\{(y''+y=(y')^2),(y(0)=1/2),(y'(0)=1):}$ dove l'equazione è autonoma quindi posto $z(y)=y'(t)$ ottengo $\{(z'z+y=z^2),(z(1/2)=1):}$ che DOVREBBE essere di bernulli ma da qui nonso proprio come procedere....aiutatemi

Buongiorno a tutti un esercizio mi chiede di stabilire il carattere della seguente serie $(6^-n+sen(n!)+4log(1+e^n))/(4n+5^-n+2)$ quindi come prima cosa vorrei calcolare il limite di questa successione che, in teoria, dovrebbe essere = 1. Penso che il numeratore sia asintotico a $4log(1+e^n)$ e il denominatore sia asintotico a $4n$ quindi devo calcolare il $lim_(n -> oo) (4log(1+e^n))/(4n)$ che però non fa 1. Dove sto sbagliando? Saluti

Ciao a tutti! In tantissimi esami di analisi compaiono degli esercizi su Taylor e poi sul resto di Lagrange, Taylor non è un problema ma il resto sì! Per esempio, mi viene chiesto di trovare il polinomio di Taylor di ordine 2 in 0 di $ f(x)=int_(0)^(x) t^2sin(1/t)dt $ Questo l'ho calcolato ed è 0. Poi mi viene chiesto: Stimare l'errore |f(x)-p2(x)| per x che appartiene ad R. Il mio professore risolve così, ma non capisco i passaggi: $ |f(x)-p2(x)|=|f(x)|<= |int_(0)^(x) |sin(1/t)dt||<= (|x^3|)/3 $ Come salta fuori quell'ultimo passaggio?

ciao volevo porre un paio di dubbi che vorrei chiarire circa le serie di Fourier.. procedo: 1. spesso si necessita un prolungamento periodico della funzione generatrice. Si necessita spesso specificamente un prolungamento della funzione in modo pari o dispari.. perché? 2. non capisco come ci si ricavi che la serie dei moduli dei coefficienti $g_k$ converge.. vi ringrazio

Salve ho un dubbio sul fatto sull'argomento di un numero complesso: in pratica il prof ci ha detto che se il numero $ z=a+bi $ ricade nel secondo quadrante (piano di gauss) allora il suo argomento è $ arctan (b/a)+pi $ se invece ricade sul terzo quadrante allora $ arctan (b/a)-pi $ ora però come mi comporto se il numero è puramente immaginario e quindi ricade solo sul semiasse immaginario positivo/negativo? e se è puramente reale e ricade sul semiasse reale negativo? tipo ...

Ciao! Nel seguente esercizio sono indeciso se dare la risposta $c$ o $b$: Il limite: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0 $ dunque possiamo affermare che $f_n$ converge puntualmente a 0 in tutto il suo dominio. Se calcolo: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$ e $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$ Dunque vado alla ricerca del massimo della funzione: $f_n'(x)=0 \Rightarrow nx^{n-1} \* ( -x^{2n}+3 ) > 0$ Quindi possiamo ...

Salve, torno a proporvi un limite. Ho lo svolgimento completo, ma provando a risolverlo diversamente mi trovo una soluzione diversa. Avrò fatto di sicuro qualche passaggio illecito, ma non lo trovo. $ lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$ I primi due passaggi sono uguali all'altro svolgimento. $ = lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) + 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$ $ = lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) * ((3^(1/x) - 1)/(1/x) (1/x)) ] + lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) ]$ Da questo punto le strade divergono. Questo è il mio $ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (x^2+7)/(x^2-x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) + (x^2 + 4)/(x+2) - (x^2 + 4)/(x+2) ]$ $ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (1+7/x^2)/(1-1/x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) ( (3^cos(1/x) - 1)/cos(1/x) * cos(1/x)) + 3 (x^2 + 7)/(x-1) - (x^2 + 4)/(x + 2) ]$ ERRORE TRA QUESTI DUE ...

Salve a tutti ragazzi, ho un problema con una derivata prima. E, ho davvero provato di tutto ma non riesco a cavarne piede... Qualcuno mi potrebbe aiutare per favore? La funzione è f(x)= ( e^x - x^2) / ln (1+x). Di conseguenza f'(x)= [x^2 - e^x + (e^x - 2x)(x+1)ln(x+1)] / [(x+1) (ln(x+1))^2]. Ora io dovrei studiare questa derivata, quindi vedere quando: si annulla, è positiva, + negativa. Per vedere quando si annulla dovrei imporre che f'(x)=0 . Essendo f'(x) una frazione, è uguale a 0 se e ...

Risolvendo problemi di geometria analitica (roba semplice di terza superiore eh, nulla di speciale che non si possa fare con strumenti come rette e circonferenze al massimo) mi è capitato sottomano un problema particolare, che poteva essere risolto in un modo un po' più interessante e "figo" (a me studente di liceo appare così hahahahaha) del normale. In pratica ad un certo punto del problema arrivo a definire una funzione $f(x;y)$, che dovrebbe essere un campo scalare a due ...

Salve a tutti. Sto studiando i campi conservativi in Analisi II, ma non riesco a dimostrare il Lemma di Poincarè. Preliminari: Posto $F:A->R$ continua e con $A$ aperto di $R^n$, diciamo che $F$ è un campo conservativo se è possibile determinare almeno una $f$ reale di classe $C^1(A)$ tale che $\nablaf=F$. In termini operativi un campo è conservativo se contemporaneamente: 1.Irrotazionale ($\nablaxxF=0$); 2.Il ...

Buongiorno, ho una funzione integrale del tipo: $F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^2-t-1}\, dt$ Per studiare l'integrabilità a $+\infty$ noto che la funzione integranda (per $ \trightarrow+\infty$) $e^{-t^2-t-1}=1/e^{t^2}1/e^{t+1}<1/e^{t^2}<1/t^2$ che risulta integrabile. Quindi $ \F(x)rightarrow c>0$ poichè la funzione integranda è positiva. A meno infinito mi son trovato un po' in difficoltà nel scrivere disequazioni.. Posso semplicemente dire che il risultato è analogo poichè la funzione integranda tende allo stesso valore 0 sia a meno infinito che a ...

Ho dei problemi su questa equazione: $ \ { ( u' = ( u ^ 2 / ( x ^ 2 + 4 ) ) , ( u ( 0 ) = 1 ) : } $ Ho usato l'equazione di Bernoulli per ottenere un'equazione lineare (ho posto $ u=v^-1 $) ho risolto l'equazione omogenea, ma poi quella non omogenea non mi torna.. POtete darmi una mano? Grazie! Non mi riesce scriverlo come un sistema, ma sarebbe quello!

Salve a tutti, sono alle prese con un esercizio del quale non riesco a venire a capo: l'esercizio richiede di trovare il sup e l'inf dell'insieme:  A={x∈(0, +∞) : lim n→+∞ (n^n)/(x^(n^x) esiste finito} ho pensato di riscrivere il limite come: lim n→+∞ (n^n)*(x^(-n^x) e trasformarlo in forma esponenziale come: lim n→+∞ e^(n*log n)*((-n^x)*logx) ora ho messo una n a fattor comune nell'esponente: lim n→+∞ e^n*(log n)*((-n^x-1)*logx) adesso però non so cosa fare ne so se il procedimento ...

Ciao a tutti, chiedo conferma per un integrale improprio. Siccome è un argomento su cui sto sbattendo la capoccia, magari non sarà il primo esercizio che posto; li raccolgo tutti in questo thread. $ int_(0)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $ Scrivo l'integrale come: $ int_(0)^(1) x/(2x^5+1) dx $ + $ int_(1)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $. - Per l'intervallo $(1, +oo)$ osservo che $x/(2x^5+1)$ è asintotico a $1/x^4$, e quindi l'integrale è convergente. - In $(0, 1)$: posso dire senza fare calcoli che, siccome in ...