Analisi matematica di base
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Ciao a tutti! In tantissimi esami di analisi compaiono degli esercizi su Taylor e poi sul resto di Lagrange, Taylor non è un problema ma il resto sì!
Per esempio, mi viene chiesto di trovare il polinomio di Taylor di ordine 2 in 0 di
$ f(x)=int_(0)^(x) t^2sin(1/t)dt $
Questo l'ho calcolato ed è 0.
Poi mi viene chiesto: Stimare l'errore |f(x)-p2(x)| per x che appartiene ad R.
Il mio professore risolve così, ma non capisco i passaggi:
$ |f(x)-p2(x)|=|f(x)|<= |int_(0)^(x) |sin(1/t)dt||<= (|x^3|)/3 $
Come salta fuori quell'ultimo passaggio?
ciao
volevo porre un paio di dubbi che vorrei chiarire circa le serie di Fourier.. procedo:
1. spesso si necessita un prolungamento periodico della funzione generatrice. Si necessita spesso specificamente un prolungamento della funzione in modo pari o dispari.. perché?
2.
non capisco come ci si ricavi che la serie dei moduli dei coefficienti $g_k$ converge..
vi ringrazio
Salve ho un dubbio sul fatto sull'argomento di un numero complesso: in pratica il prof ci ha detto che se il numero $ z=a+bi $ ricade nel secondo quadrante (piano di gauss) allora il suo argomento è $ arctan (b/a)+pi $ se invece ricade sul terzo quadrante allora $ arctan (b/a)-pi $ ora però come mi comporto se il numero è puramente immaginario e quindi ricade solo sul semiasse immaginario positivo/negativo? e se è puramente reale e ricade sul semiasse reale negativo? tipo ...
Ciao!
Nel seguente esercizio sono indeciso se dare la risposta $c$ o $b$:
Il limite: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0 $ dunque possiamo affermare che $f_n$ converge puntualmente a 0 in tutto il suo dominio.
Se calcolo: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$ e $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{x^{2n}+3} = 0$$
Dunque vado alla ricerca del massimo della funzione: $f_n'(x)=0 \Rightarrow nx^{n-1} \* ( -x^{2n}+3 ) > 0$
Quindi possiamo ...
Salve, torno a proporvi un limite. Ho lo svolgimento completo, ma provando a risolverlo diversamente mi trovo una soluzione diversa. Avrò fatto di sicuro qualche passaggio illecito, ma non lo trovo.
$ lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
I primi due passaggi sono uguali all'altro svolgimento.
$ = lim_(x->-oo) ( 3^((x+1)/x) * (x^2+7)/(x-1) + 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3 * (x^2+7)/(x-1) - 3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2) )$
$ = lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) * ((3^(1/x) - 1)/(1/x) (1/x)) ] + lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) ]$
Da questo punto le strade divergono. Questo è il mio
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (x^2+7)/(x^2-x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ 3 * (x^2+7)/(x-1) - (3^(cos(1/x)) * (x^2 + 4)/(x+2)) + (x^2 + 4)/(x+2) - (x^2 + 4)/(x+2) ]$
$ = lim_(x->-oo) [ 3log3 * (1+7/x^2)/(1-1/x) ] $ $+ lim_(x->-oo) [ - (x^2 + 4)/(x+2) ( (3^cos(1/x) - 1)/cos(1/x) * cos(1/x)) + 3 (x^2 + 7)/(x-1) - (x^2 + 4)/(x + 2) ]$
ERRORE TRA QUESTI DUE ...
Salve a tutti ragazzi, ho un problema con una derivata prima. E, ho davvero provato di tutto ma non riesco a cavarne piede... Qualcuno mi potrebbe aiutare per favore?
La funzione è f(x)= ( e^x - x^2) / ln (1+x).
Di conseguenza f'(x)= [x^2 - e^x + (e^x - 2x)(x+1)ln(x+1)] / [(x+1) (ln(x+1))^2].
Ora io dovrei studiare questa derivata, quindi vedere quando: si annulla, è positiva, + negativa.
Per vedere quando si annulla dovrei imporre che f'(x)=0 . Essendo f'(x) una frazione, è uguale a 0 se e ...
Risolvendo problemi di geometria analitica (roba semplice di terza superiore eh, nulla di speciale che non si possa fare con strumenti come rette e circonferenze al massimo) mi è capitato sottomano un problema particolare, che poteva essere risolto in un modo un po' più interessante e "figo" (a me studente di liceo appare così hahahahaha) del normale. In pratica ad un certo punto del problema arrivo a definire una funzione $f(x;y)$, che dovrebbe essere un campo scalare a due ...
Salve a tutti. Sto studiando i campi conservativi in Analisi II, ma non riesco a dimostrare il Lemma di Poincarè.
Preliminari:
Posto $F:A->R$ continua e con $A$ aperto di $R^n$, diciamo che $F$ è un campo conservativo se è possibile determinare almeno una $f$ reale di classe $C^1(A)$ tale che $\nablaf=F$.
In termini operativi un campo è conservativo se contemporaneamente:
1.Irrotazionale ($\nablaxxF=0$);
2.Il ...
Buongiorno,
ho una funzione integrale del tipo:
$F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^2-t-1}\, dt$
Per studiare l'integrabilità a $+\infty$ noto che la funzione integranda (per $ \trightarrow+\infty$) $e^{-t^2-t-1}=1/e^{t^2}1/e^{t+1}<1/e^{t^2}<1/t^2$ che risulta integrabile. Quindi $ \F(x)rightarrow c>0$ poichè la funzione integranda è positiva.
A meno infinito mi son trovato un po' in difficoltà nel scrivere disequazioni.. Posso semplicemente dire che il risultato è analogo poichè la funzione integranda tende allo stesso valore 0 sia a meno infinito che a ...
Ho dei problemi su questa equazione:
$ \ { ( u' = ( u ^ 2 / ( x ^ 2 + 4 ) ) , ( u ( 0 ) = 1 ) : } $
Ho usato l'equazione di Bernoulli per ottenere un'equazione lineare (ho posto $ u=v^-1 $) ho risolto l'equazione omogenea, ma poi quella non omogenea non mi torna.. POtete darmi una mano? Grazie!
Non mi riesce scriverlo come un sistema, ma sarebbe quello!
Salve a tutti,
sono alle prese con un esercizio del quale non riesco a venire a capo:
l'esercizio richiede di trovare il sup e l'inf dell'insieme:
A={x∈(0, +∞) : lim n→+∞ (n^n)/(x^(n^x) esiste finito}
ho pensato di riscrivere il limite come:
lim n→+∞ (n^n)*(x^(-n^x)
e trasformarlo in forma esponenziale come:
lim n→+∞ e^(n*log n)*((-n^x)*logx)
ora ho messo una n a fattor comune nell'esponente:
lim n→+∞ e^n*(log n)*((-n^x-1)*logx)
adesso però non so cosa fare ne so se il procedimento ...
Ciao a tutti, chiedo conferma per un integrale improprio. Siccome è un argomento su cui sto sbattendo la capoccia, magari non sarà il primo esercizio che posto; li raccolgo tutti in questo thread.
$ int_(0)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $
Scrivo l'integrale come: $ int_(0)^(1) x/(2x^5+1) dx $ + $ int_(1)^(+oo) x/(2x^5+1) dx $.
- Per l'intervallo $(1, +oo)$ osservo che $x/(2x^5+1)$ è asintotico a $1/x^4$, e quindi l'integrale è convergente.
- In $(0, 1)$: posso dire senza fare calcoli che, siccome in ...
Ho la funzione
$ f(x)={ ( |2x+ 1|+1;x>0 ),(int_(x)^(2x)sinht^2 ;x<= 0):} $
La mia domanda è solo sulla parte del valore assoluto: pensavo che, essendo definito per x
Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze:
$ Sigma (3^-n*z^(n+3))/(n!); n=[0,oo ] $
Il raggio mi viene 3 ma la somma non so come farla
Studiare la convergenza puntuale, totale ed uniforme della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n= 1)^(oo) (x^(1/n)-1)/x^(n) $
Ho imposto inizialmente che $ x !=0 $ a causa del denominatore e che $ x>=0 $ a causa della radice. A questo punto ho notato che si hanno tre casi:
$ x>1 $
$ x=1 $
$ 0 < x < 1 $
Nel secondo caso si ha la serie nulla che quindi converge. Nel primo, tramite il criterio della radice $ lim_(x -> +oo) (x^(1/n)-1)^(1/n)/x->0 $ e la serie quindi converge ancora.
Nel ...
Ciao, ho bisogno di una mano in questo esercizio:
Determinare l'area della regione piana che si trova dentro al rettangolo di vertici A=(0,0) B=(6,4) C=(6,4) e D=(0,4) e sotto la curva di equazione y=1/(x^2).
Grazie 1000!!! ╰(*´︶`*)╯
Io sono riuscita a determinare l'area ma sono rimasta bloccata quando l'ho dovuta calcolare.
Devo calcolare l'integrale definito da A a B di 1/(x^2)??
Ciao ragazzi, quanto fa l'integrale di \( (\log (\log x))/x \) !?
Io avevo pensato di iniziare con una integrazione per sostituzione, ponendo \( y=\log x \) e \( dy=(1/x)dx \) , trasformando così la funzione da integrare di partenza in \( log(y) dy \) .
Poi continuando per parti, pongo \( f=\log y \) , \( f'=1/y \) , \( g'=1 \) e \( g=y \) (dopo aver moltiplicato la funzione per un fattore 1).
In questo modo facendo le opportune semplificazioni il risultato finale mi viene \( \log ...
Ciao a tutti! Vorrei chiedervi una mano riguardo a questo esercizio:
Prima di tutto ho verificato se tale successione converge puntualmente:
$$\lim_{n \to +infty} x^{2nx}$$ trattando x come costante fa zero essendo $x \in [0,1]$.
Se svolgo ora i limiti: $lim_{x \to 0} x^{2nx}$ e $lim_{x \to 1} x^{2nx}$ posso affermare che entrambi fanno $1$, quindi fin qui potrei già affermare che la risposta d non può essere giusta. Infatti per essere corretta ...
Buonasera
devo calcolare l'area della porzione di superficie sferica di equazione$z^2+y^2+x^2=4$ contenuta nel cilindro$x^2+y^2=2y$.
Se chiamo $phi$ la suddetta porzione di area e considero la funzione $ z(x,y)=sqrt(4-x^2-y^2)$ :
$A(phi)=2\int_D\int sqrt(1+ (x^2+y^2)/(4-x^2-y^2)) dxdy $
Con un cambiamento in coordinate polari ottengo $A(phi)=2\int_(theta=0)^(2pi)\int_(rho=0)^(2sintheta) sqrt(1+ rho^3/(4-rho^2)) d\rho d\theta$
Ma qui mi blocco perché non so che fare con quell' integrale ...qualche suggerimento ? ho sbagliato qualcosa ?
Salve a tutti, un esercizio richiede: Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 1 di f(x) in 1, con
$ f(x)=int_(1)^(x)(int_(0)^(t)(1+s)^2log(1+s)ds )dt $
Intanto so che f(1)=0, ma per calcolare la derivata prima e quelle successive in 1 come devo fare?
In seguito chiede di trovare una costante C tale che |f(x)-p(x)|
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