Calcolo area
Buonasera 
devo calcolare l'area della porzione di superficie sferica di equazione$z^2+y^2+x^2=4$ contenuta nel cilindro$x^2+y^2=2y$.
Se chiamo $phi$ la suddetta porzione di area e considero la funzione $ z(x,y)=sqrt(4-x^2-y^2)$ :
$A(phi)=2\int_D\int sqrt(1+ (x^2+y^2)/(4-x^2-y^2)) dxdy $
Con un cambiamento in coordinate polari ottengo $A(phi)=2\int_(theta=0)^(2pi)\int_(rho=0)^(2sintheta) sqrt(1+ rho^3/(4-rho^2)) d\rho d\theta$
Ma qui mi blocco perché non so che fare con quell' integrale
...qualche suggerimento ? ho sbagliato qualcosa ?
devo calcolare l'area della porzione di superficie sferica di equazione$z^2+y^2+x^2=4$ contenuta nel cilindro$x^2+y^2=2y$.
Se chiamo $phi$ la suddetta porzione di area e considero la funzione $ z(x,y)=sqrt(4-x^2-y^2)$ :
$A(phi)=2\int_D\int sqrt(1+ (x^2+y^2)/(4-x^2-y^2)) dxdy $
Con un cambiamento in coordinate polari ottengo $A(phi)=2\int_(theta=0)^(2pi)\int_(rho=0)^(2sintheta) sqrt(1+ rho^3/(4-rho^2)) d\rho d\theta$
Ma qui mi blocco perché non so che fare con quell' integrale
...qualche suggerimento ? ho sbagliato qualcosa ?
Risposte
up
Ciao.
Questo problema va ben oltre le mie capacità, ma vediamo se qualche mio suggerimento può darti ispirazione, anche perché non mi è chiaro come ha fatto la funzione a diventare così orribile.
Per quale motivo cambiando coordinate l'integrale diventa in quel modo??
Innanzitutto puoi semplificare l'integranda facendo la somma con l'1 dentro radice, rimane: $4/(4-x^2-y^2)$
Se fai il cambio di coordinate [$x=\rho \cos\theta \, y=\rho\sin\theta$], diventa: $4/(4 - \rho^2)$
E poi gli metti il jacobiano, che in questo caso è $\rho$.
Quindi devi fare l'integrale di $$\sqrt{\frac{4}{4 - \rho^2}} \rho \, d\rho \, d\theta$$
che è più che fattibile.
Questo problema va ben oltre le mie capacità, ma vediamo se qualche mio suggerimento può darti ispirazione, anche perché non mi è chiaro come ha fatto la funzione a diventare così orribile.
Per quale motivo cambiando coordinate l'integrale diventa in quel modo??
Innanzitutto puoi semplificare l'integranda facendo la somma con l'1 dentro radice, rimane: $4/(4-x^2-y^2)$
Se fai il cambio di coordinate [$x=\rho \cos\theta \, y=\rho\sin\theta$], diventa: $4/(4 - \rho^2)$
E poi gli metti il jacobiano, che in questo caso è $\rho$.
Quindi devi fare l'integrale di $$\sqrt{\frac{4}{4 - \rho^2}} \rho \, d\rho \, d\theta$$
che è più che fattibile.
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