Una dimostrazione del fatto che le funzioni continue iniettive sono monotone sugli intervalli

[marco2132k]

Ho letto ora una dimostrazione del fatto nel titolo che non avevo mai visto prima. Vorrei capire quale sia l'intuizione che c'è sotto, perché secondo me è una dimostrazione molto carina.

Sia \( I \) un intervallo di reale. Sia \( f\colon I\to \mathbb R \) continua e iniettiva. Allora \( f \) è monotona.

Dimostrazione. Siano \( a_0,b_0\in I \), tali che \( a_0 < b_0 \). Facciamo che \( f(b_0) - f(a_0) > 0 \) (l'altro caso è uguale). Facciamo vedere che, per ogni altra coppia di \( a_1,b_1\in I \) tali che \( a_1 < b_1 \), capita che \( f(b_1) - f(a_1) > 0 \). Per ogni \( 0\leqq t\leqq 1 \) si pongano
\[
\begin{aligned}
x_t &= (1 - t)a_0 + ta_1\\
y_t &= (1 - t)b_0 + tb_1
\end{aligned}
\] e si osservi che \( x_t < y_t \) sempre. Sia \( g\colon \left[0,1\right]\to \mathbb R \) la funzione (palesemente continua) che mappa \( t\mapsto f(y_t) - f(x_t) \). Per la santità di \( \mathbb R \) essa è sempre \( > 0 \). \( \square \)

Perché si scelgono quei particolari \( x_t \) e \( y_t \) (che sono le componenti dei punti di una retta)? Qual è l'intuizione geometrica dietro la definizione di quella particolare funzione \( g \)?

[Mephlip]

[ot]Scusa la risposta inutile, ma questo

"marco2132k":Per la santità di \( \mathbb R \) essa è sempre \( > 0 \). \( \square \)

Mi ha fatto troppo ridere; aspetto ardentemente qualche dimostrazione con l'argomento sacrale di Cantor

Immagino intendessi densità![/ot]

[gabriella127]

"marco2132k": Per la santità di \( \mathbb R \) essa è sempre \( > 0 \). \( \square \)

Prego?

[marco2132k]

Immagino intendessi densità

Nono in realtà succede per la completezza, e quindi per il teorema dei valori intermedi. Però non avevo voglia di scrivere tutta la dimostrazione.

[gabriella127]

"marco2132k":

\begin{aligned}
x_t &= (1 - t)a_0 + a_1\\
y_t &= (1 - t)b_0 + b_1
\end{aligned}

Scusa Marco, qualcosa non mi quadra, spero di non essere in un momento di scemunimento.
Sei sicuro che queste equazioni siano scritte bene? Perché se $t=0$ ad esempio la prima diventa $x_t(0)= a_0+a_1$, e $a_0+a_1$ può anche andare a finire fuori dell'intervallo $I$, (e allora come fai a scrivere $f(x_t)$ in quel caso?)
Metti ad esempio che $I$ sia $[2,8]$ e $a_0=3$ e $a_1=6$, allora $a_0+a_1=9$ e andiamo fuori dell'intervallo.

[marco2132k]

Sì, scusate, mancava una \( t \). Penso sia solo questo il problema. Di fatto sono i segmenti parametrizzati che vanno da a_0 ad a_1 e da b_0 a b_1.

[gabriella127]

Infatti, era quello che avevo pensato.
Forse la parte più delicata è però proprio quella che non hai scritto, perché per la santità di $mathbb(R)$ quella differenza è positiva per ogni $t$.

[marco2132k]

Quindi? Nessunn?

[Luca.Lussardi]

Ti han già fatto notare che la dimostrazione che hai riportato è incompleta. Come si usa la densità alla fine? Fino a quando non la esponi in modo completo è impossibile argomentare i passaggi.

[gabriella127]

"marco2132k":Sì, scusate, mancava una \( t \). Penso sia solo questo il problema.

'Quindi nessun' cosa?

Da quello che hai scritto sopra sembrava che avevi risolto il problema e il resto non ti interessasse.
Per cui ci siamo zittiti...

[marco2132k]

Pensavo si fosse capito che non ho concluso la dimostrazione perché l'ho trovato irrilevante; d'altronde chiedevo

"marco2132k":Perché si scelgono quei particolari \( x_t \) e \( y_t \) [...]. Qual è l'intuizione geometrica dietro la definizione di quella particolare funzione \( g \)?

Però, se proprio volete...

Si diceva che \( g(t) = f(y_t) - f(x_t) \), e che la suddetta è continua per ogni \( t\in\left[0,1\right] \). Si osservi che \( g\neq 0 \), perché \( f \) è iniettiva e \( x_t \lneqq y_t \) per ogni \( t \). Allora, per il teorema dei valori intermedi e in definitiva per la completezza di \( \mathbb R \) (di nuovo, la densità non centra nulla: l'ha tirata fuori @Mephilip credendo che "santità di \( \mathbb R \)" fosse un typo - invece era solo il un modo rapido di dire "i fatti che seguono non hanno più nulla a che vedere con quello che vorrei chiedere"), dev'essere \( g > 0 \) o \( g < 0 \), dove la seconda non può essere.

[gabriella127]

Forse è un mio limite, ma non ci vedo nessuna intuizione geometrica particolare.
E' un espediente per scrivere una funzione che dipende da una sola variabile, $t$, a cui applicare il teorema dei valori intermedi e dimostrare che $f(b_1)$ è maggiore di $f(a_1)$.
D'altra parte poiché $a_1$ e $b_1$ sono arbitrari (e pure $a_0$ e $b_0$) quegli $x_t$ possono essere punti qualsiasi dell'intervallo $I$, quindi non direi che sono particolari.

[gabriella127]

Quello che è carino invece di questo teorema è che è un altro esempio, oltre a quello famoso dei valori intermedi, in cui il teorema sembra ovvio alla intuizione geometrica, mentre è meno ovvio dimostrarlo analiticamente.

[marco2132k]

Sì, beh, anche "chi ha scritto 'sta roba se l'è sognato" è una risposta. Però speravo che la risposta non fosse questa (e comunque a me non sarebbe mai venuto in mente).

[gabriella127]

E' ovvio che per inventarselo una qualche intuizione la avrà avuta, ma quello chen tu chiedevi è se c'era una intuizione 'geometrica' dietro la scelta di quegli $x_t$, e io non vedo un'idea geometrica particolare.

Quello forse che mi chiederi, piuttosto, se vogliamo il lato intuitivo, è come ci abbia 'visto' il teorema dei valori intermedi.

[otta96]

A me sembra molto semplicemente la combinazione convessa dei rispettivi punti più bassi o più alti delle due coppie, in modo da "trasferire" la conoscenza dell'ipotesi da una coppia all'altra.

[gabriella127]

Marco, tu hai ragione, mi spiego meglio.
Volevo dire che quei $x_t$ e $y_t$ non sono nulla di particolare, sono solo in punti, come tu hai detto dei segmenti tra $a_0$ e $a_1$ e tra $b_0$ e $b_1$.
Qual è l'intuizione alla base della dimostrazione?
Dal punto di vista informale-intuitivo, la dimostrazione la vedrei così:

Abbiamo due punti, $a_0$ e $b_0$, con $a_0 Mo' l'autore dice (mi aiuto con un disegno così ci spicciamo):




"Per dimostrare che $f(a_1) Se parametrizzo i segmenti da $a_0$ a $a_1$ e da $b_0$ a $b_1$ con $t$, posso applicare alla funzione $g= f(y_t) - f(x_t) $, cioè alla differenza, per ogni $t$, tra i valori del pezzo rosso e i valori del pezzo verde, il teorema dei valori intermedi."

Perciò dicevo: come gli è venuto in mente di applicare così il teorema dei valori intermedi?
Boh, bisognerebbe telefonare all'autore.

[Bokonon]

Boh, ma sono solo io che penso "E' ok ipotizzare che $f(a_0) In pratica leggo che la giustificazione è "essendo la funzione continua e iniettiva allora è strettamente crescente"...ma non è quello che si deve dimostrare?

[gabriella127]

No, non si sta barando, mi pare giusto, da 'continua e iniettiva' si deve dedurre 'monotona', ed è quello che si fa, solo che la dimostrazione è scritta in modo molto sintetico, e a prima vista può sembrare oscura.

[Bokonon]

"gabriella127":No, non si sta barando, mi pare giusto, da 'continua e iniettiva' si deve dedurre 'monotona', ed è quello che si fa, solo che la dimostrazione è scritta in modo molto sintetico, e a prima vista può sembrare oscura.

E' un cane che si morde la coda. Non si può ipotizzare che sia sempre strettamente monotona per ipotesi e poi dimostrare che tutto torna!
Per me, una volta costruiti gli intervallini "scorrevoli", bisogna far vedere che se, presi due intervallini tali che uno è contenuto nell'altro e tali che $f(x_(t=k))f(y_(t=h))$, allora (vista l'ipotesi di continuità) la funzione non è iniettiva.

[gabriella127]

Non si ipotizza monotona nella dimostrazione, quello si deduce, si ipotizza iniettiva e continua e basta.

In particolare, $f(a_0)
Per l'iniettività si ha $f(a_0)!=(b_0)$, e si ipotizza per la dimostrazione $f(a_0)f(b_0)$ è analogo.