Analisi matematica di base

Salve ragazzi, è da un po' di giorni che cerco delucidazioni sul significato geometrico del differenziale di una funzione applicato a un vettore. Vado più nello specifico. Ho una funzione scalare $ f:R^2 \rightarrow R $ che è differenziabile nel punto $ x_0 $ . Questo comporta l'esistenza $ \forall v \ne 0 $ di $ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) $ e si ha inoltre: $$ df(x_0)(v) = \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = (\nabla f(x_0),v)_2 $$ Quello che non riesco a capire è ...

Ciao a tutti! Ho questo problema da risolvere: Stabilire per quali valori del parametro $a$ le seguenti rette \begin{equation} \begin{cases} x=1+k\\y=1+ak\\z=-1-k \end{cases} \end{equation} \begin{equation} \begin{cases} x=1+t\\y=2t\\z=t \end{cases} \end{equation} risultano entrambe contenute in un piano. Ora io ho pensato che per essere contenute nel piano i loro parametri direttori devono essere perpendicolari ai parametri direttori del piano, per questo ho ...

Stavo svolgendo un esercizio, per fortuna guidato, ma ho un dubbio Sostanzalmente si deve risolvere l'equazione: $z^6-2z^3+2=0$ Il professore ha svolto come segue: Pongo il paramtero: $w=z^3$ Quindi: $w^2-2w+2=0 -> w=1+-sqrt{1-2}=1+-i $ non mi torna molto quel passaggio finale: mettere un "i" dato che ho radice di -1, anche perché in realtà il mio w è già un numero complesso. In sostanza dovrei avere, stando alla mia logica: $w^2-2w+2$ essendo w della forma x+iy $(x+iy)^2-2(x+iy)+2=0 -> x^2-y^2+2xyi-2x-2yi+2$ e da questa ...

Salve, vorrei sapere il dominio di queste 2 funzioni irrazionali 1) y= Rad (x^2)/(x^2-9) 2) y= Rad (x-1)/(x+1)

A lezione stavamo facendo le successioni di funzioni, ma non ho gradito per nulla la definizione che ha utilizzato. Ho visto alcune definizioni, considero: $X inRR$ e $F={f:X->RR| f$ $f u n z i o n e}$ La prima è: $f_n:X->RR$ che non mi piace per nulla. Il motivo per cui non mi piace è che sembra non esistere nemmeno la dipendenza della funzione da $NN$, mi sembra troppo poco formale. La seconda è: $f:NN->F$ che associa $n|->f_n$ Questa la trovo ...

Ciao a tutti. Chiedo cortesemente una panoramica su spazi connessi e spazi convessi dal momento che il mio professore di Analisi 2 spiega in maniera incomprensibile. Vorrei riuscire a contestualizzare l'importanza di questi concetti matematici indispensabili per la definizione di continuità in uno spazio topologico. Mi basta solo l'idea (magari con una spiegazione geometrica) cosi da avere una lungimirante panoramica sul corso, le definizioni me le studio dal libro da solo. Vi ringrazio in ...

Buongiorno ragazzi, Mi è stata spiegata per la primavolta nella vita finalmente in maniera più precisa la nozione di maggiorante, minorante; estremi superiori e inferiori,massimi minimi ecc. Mi restano solo alcuni dubbi che spero di fugare con voi: Ricordo che alle superiori eran stati spiegati gli estremi innanzitutto e ora all'uni ritrovo in realtà una spiegazione a ritroso: cioè si parte dalla nozione di amggiorante per arivare ad estremi speriori e inferiori e poi di massimo e minimo di un ...

Ciao a tutti! Ho questo problema: Sia un piano H dato dall'equazione -x+2y-z=2. Determinare tre rette appartenenti ad H che delimitino un triangolo di area uguale a \(\displaystyle \surd\)6 Oltre a cercare delle rette appartenenti ad H non saprei come continuare. Qualcuno mi puoi aiutare?

vedi allegato

Ciao a tutti, ho questa successione di funzioni: $f_n(x)=(n-x)^2/(n^2+x^2)$ di cui devo studiare la convergenza puntuale e uniforme. Per la puntuale non ci sono problemi, perché per $nrarroo$ converge $forall x$ alla funzione limite $f:=1$. Adesso devo studiare \(\sup_x=|g(x)|\) con $g(x):=f_n(x)-f(x)=-(2xn)/(n^2+x^2)$. Facendo un rapido studio di funzione ottengo che va a zero per $xrarr+-oo$ e che $g(0)=0$. Inoltre, la derivata è positiva per $x>n^(2/3)$. Ora, il ...

Ciao ragazzi dovrei effettuare una dimostrazione di questi insiemi. $ Bsube A se è solo se A U B = A $ $ Bsube A se è solo se A nn B = B $ Capisco il concetto ma non riesco a dimostrare. E da studente universitario credo che sia abbastanza grave non saperlo fare

Buonasera amici, Il testo mi chiede di scrivere in forma trigonometrica il seguente numero: \(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2(1+i)^3 \) il risultato del seguente prodotto è \(\displaystyle [8\sqrt{2}, -\tfrac{11\pi}{12}] \) Io per risolvere il prodotto uso le seguenti formule 1) \(\displaystyle z^n=\rho^n(cos(n\theta)+isen(n\theta) \) 2) \(\displaystyle zz'=\rho\rho'(cos(\theta+\theta)+isen(\theta+\theta) \) Applico 1) ai singoli fattori \(\displaystyle ...

Risultato diversi rispetto al testo

Salve a tutti! Ho delle difficoltà con il seguente esercizio: $AA k in NN$ calcolare esplicitamente la soluzione $y_k (t): RR -> RR$ del problema di Cauchy: $\{(ddot y+2k dot y+y=cos(t)),(y(0)=0),(dot y(0)=0):}$ Prima trovo l'integrale generale della omogenea associata: $\lambda^2+2k\lambda+1=0$ da cui $\lambda=-k+-sqrt(k^2-1)$ Quindi ci sono 3 possibilità: 1) $k=0 -> k^2-1<0 -> \lambda=+-i ->y_o=c_1cos(t)+c_2sin(t)$ 2) $k=1 -> k^2-1=0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^-t+c_2te^-t$ 3) $k>1 -> k^2-1>0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2e^((-k-sqrt(k^2-1))t)$ Poi cercato una soluzione particolare del tipo: $Acos(t)+Bsin(t)$. Derivando e sostituendo nell'equazione ...

Buonasera amici, ci sono dei passaggi che non mi sono chiari sulla dimostrazione della seguente proposizione, che ritrovo sul mio libro: Prop. 1 Se \(\displaystyle A\subset\mathbb{N} \) è infinito, allora esiste un'applicazione crescente \(\displaystyle f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) la cui immagine è A Dimostrazione Si osserva che se \(\displaystyle A \) è infinito allora \(\displaystyle \forall i \in\mathbb{N} \) anche l'insieme \(\displaystyle A_i=k\in A :k>i \) è infinito, quindi ...

Sto provando ad integrare $frac{1}\{x(x+1)}$, ho tentato di integrarlo per parti, ma senza concludere nulla... non ho davvero idea di come potrei procedere.

Il testo mi chiede di calcolare i massimi e i minimi assoluti della funzione \(\displaystyle f(x,y)=8/x+x/y+y \) nel triangolo di vertici: \(\displaystyle P(1,1) P(4,1) P(4,4) \) Calcolo prima le derivate parziali rispetto ad x ed y per vedere se ho punti critici. \(\displaystyle fx(x,y)=-8/x^2+1/y \) \(\displaystyle fy(x,y)=-x/y^2+1 \) Metto a sistema e pongo uguale a zero come soluzione ho \(\displaystyle x=4,y=2 P(4,2)\) Questo è un punto sulla frontiera, come lo valuto ? con l'hessiana? ...

Ciao a tutti, ho questo piccolo problema riguardo "un simbolo" su questa domana ( A n B )∩∅ e a che è uguale? a) -A b) insieme vuoto c) A d) Nessuno dei precedenti Io sò di certo che sia A, ma non se ne capisce il motivo. Se ( A n B ) il simbolo tra i due è "Intersezione" allora dipende da quale insieme è contenuto nell'altro. Visto che il quesito non ci dice nulla a riguardo, supponendo sia B dentro A (o vicenversa) ottengo da questa operazione: A n B = A Successivamente svolgo A ...

$ int_(0)^(1)( (sqrt(1-x)-sqrtx)/(2sqrt(1-x)sqrtx) ) dx $ Ho considerato la somma dei seguenti limiti: $lim c->(1^-) int_(0)^(c)( (sqrt(1-x)-sqrtx)/(2sqrt(1-x)sqrtx) ) dx $ che mi dà$1$ e $lim c->0^+ int_(c)^(1)( (sqrt(1-x)-sqrtx)/(2sqrt(1-x)sqrtx) ) dx $ che mi dà $0$ Ora $0+1=1$ Perché il ragionamento è errato?

Buon pomeriggio, Ho un dubbio su uno svolgimento di un limite. Si tratta di un limite con forma indeterminata $\infty/\infty$. Questo è il mio svolgimento $\lim_{x \to \-infty}x^3*ln((3x^2+2)/(2x^4-sqrt(3)))$ = $\lim_{x \to \-infty}x^3*ln((x^2*(3+2/x^2))/(x^4(2-sqrt(3)/x^4)))$ Semplificando un po' si ottiene che $\lim_{x \to \-infty}x^3*ln((1*(3+2/x^2))/(x^2(2-sqrt(3)/x^4)))$ = $\lim_{x \to \-infty}x^3*ln 0$ Siccome il logaritmo di $0$ fa $\-infty$, Si ottiene che $\lim_{x \to \-infty}x^3*ln 0$= $\-infty$*( $\-infty$)= $\infty$ Ora la mia domanda è: il procedimento e il risultato sono corretti?