Calcolo area triangolo data da tre rette
Ciao a tutti!
Ho questo problema:
Sia un piano H dato dall'equazione -x+2y-z=2.
Determinare tre rette appartenenti ad H che delimitino un triangolo di area uguale a \(\displaystyle \surd\)6
Oltre a cercare delle rette appartenenti ad H non saprei come continuare. Qualcuno mi puoi aiutare?
Ho questo problema:
Sia un piano H dato dall'equazione -x+2y-z=2.
Determinare tre rette appartenenti ad H che delimitino un triangolo di area uguale a \(\displaystyle \surd\)6
Oltre a cercare delle rette appartenenti ad H non saprei come continuare. Qualcuno mi puoi aiutare?
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Ciao si potrebbe usare la formula di Erone
se consci i lati di un triangolo puoi trovare la sua area
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$
dove $p$ è il semiperimetro, $a,b,c$ le misure dei lati del triangolo
se consci i lati di un triangolo puoi trovare la sua area
$A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$
dove $p$ è il semiperimetro, $a,b,c$ le misure dei lati del triangolo
"gio73":
se consci i lati di un triangolo puoi trovare la sua area
$ A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) $
il fatto è che non riesco a determinare (in forma parametrica) 3 rette appartenenti ad H che siano i lati di un triangolo
Si possono scegliere 3 punti nel piano non allineati in modo da formare un triangolo.
Per esempio si possono prendere i vertici del nostro triangolo ABC come segue:
$A(0,0,-2), B(0,1,0),C(a,1,-a)$
con a parametro variabile non nullo da determinare
e tutti e tre appartenenti al piano H come puoi verificare.
La scelta l'ho fatta così per non complicare troppo i calcoli e al contempo per avvertire
che, secondo me, il quesito ha un certo grado di arbitrarietà per quanto attiene ai risultati possibili .
L'area S di un triangolo (di cui si conoscono le coordinate dei vertici in $E^3$ ) si ottiene con una certa formula
che ritengo utile sapere e che si può trovare in un qualsiasi buon testo di Geometria.
Applicando tale formula si ha:
$S^2=2a^2-2a+2$
Pertanto, in base ai dati, si ottiene l'equazione:
$a^2-a-2=0$
da cui due soluzioni per il parametro $a$:
$a_1=-1,a_2=2$
Sostituendo tali valori nelle coordinate dei punti A,B,C si ottengono i vertici dei due triangoli
che risolvono il problema e quindi anche le richieste equazioni delle rette del lati degli stessi.
Per esempio si possono prendere i vertici del nostro triangolo ABC come segue:
$A(0,0,-2), B(0,1,0),C(a,1,-a)$
con a parametro variabile non nullo da determinare
e tutti e tre appartenenti al piano H come puoi verificare.
La scelta l'ho fatta così per non complicare troppo i calcoli e al contempo per avvertire
che, secondo me, il quesito ha un certo grado di arbitrarietà per quanto attiene ai risultati possibili .
L'area S di un triangolo (di cui si conoscono le coordinate dei vertici in $E^3$ ) si ottiene con una certa formula
che ritengo utile sapere e che si può trovare in un qualsiasi buon testo di Geometria.
Applicando tale formula si ha:
$S^2=2a^2-2a+2$
Pertanto, in base ai dati, si ottiene l'equazione:
$a^2-a-2=0$
da cui due soluzioni per il parametro $a$:
$a_1=-1,a_2=2$
Sostituendo tali valori nelle coordinate dei punti A,B,C si ottengono i vertici dei due triangoli
che risolvono il problema e quindi anche le richieste equazioni delle rette del lati degli stessi.
"massimoaa":
Si possono scegliere 3 punti nel piano non allineati in modo da formare un triangolo.
Per esempio si possono prendere i vertici del nostro triangolo ABC come segue:
$ A(0,0,-2), B(0,1,0),C(a,1,-a) $
con a parametro variabile non nullo da determinare
e tutti e tre appartenenti al piano H come puoi verificare.
Se ho capito bene basta mettere dei parametri ad un solo punto a piacere che rispetti l'equazione del piano
"massimoaa":
Sostituendo tali valori nelle coordinate dei punti A,B,C si ottengono i vertici dei due triangoli
che risolvono il problema e quindi anche le richieste equazioni delle rette del lati degli stessi.
le rette le ho trovate tenendo fermo un vertice e facendo passare la retta nel vertice adiacente
Cosi facendo ho trovato : (scegliendo $ C=(-1,1,1) $)
$ r1=B+t(A-B)=(0,1,0)+t(0,0,-2) $
$ r2=B+k(C-B)=(0,1,0)+k(-1,0,1) $
$ r3=A+s(C-A)=(0,0,-2)+s(-1,1,3) $
"crocodile":
le rette le ho trovate...
Il procedimento mi pare valido, ma viziato, a mio avviso, da alcuni errori di calcolo: il triangolo ABC, con i valori forniti da massimoaa ha area $ A=sqrt(6)/2 ne sqrt(6) $ e, inoltre, in $ r1 $ dovrebbe essere $ A-B=(0,-1,-2)$.
Ciao
"orsoulx":
in $ r1 $ dovrebbe essere $ A-B=(0,-1,-2)$.
Hai ragione errore di distrazione mio
"orsoulx":
con i valori forniti da massimoaa ha area $ A=sqrt(6)/2 ne sqrt(6) $
$ (sqrt(6))^2 = 2a^2-2a+2 $
$ 2a^2-2a+2-6=0 $
e raccogliendo 2 risulta
$ a^2-a-2=0 $
Non capisco quale sia il problema...
Ciao!
"crocodile":
Non capisco quale sia il problema...
Basta verificare la misura dell'area. Non conosco la formula 'segreta' di massimoaa e da cinquantanni non tocco un libro universitario di geometria, ma considerando due qualsiasi vettori lati, e ricavando il quadrato del modulo del loro prodotto vettoriale, trovo $a^2=4 rightarrow a=+-2$. Casualmente, se prendevi l'altro valore la fortuna ti avrebbe sorriso
Ciao
"orsoulx":
Basta verificare la misura dell'area
Mi stai dicendo che: con la formula di massimoaa dovevo trovare i valori di un'equazione di secondo grado, ma il valore che ho scelto di prendere $a=-1$ non rispetta, giustamente, l'equazione $a^2-a-2=0$ mentre per $a=2$ l'equazione è rispettata e quindi dovevo calcolare le rette con quest'ultimo valore sostituito nel punto C?
Ciao
"crocodile":
Mi stai dicendo che....?
Sto provando a segnalarti che, secondo i miei calcoli, la formula proposta da massimoaa non è corretta (il perché lo potresti chiedere solo a lui, ma dubito che ti risponda).
Se $ A(0,0,-2); B(0,1,0); C(a,1,-a) $, a mio avviso, il quadrato dell'area del triangolo ABC è $ 3/2 a^2 $; e se l'area deve misurare $ sqrt(6)$, allora $ 3/2a^2=6 rightarrow a=+-2 $.
La formula misteriosa ti ha, invece, indotto a porre $ a=1 $, puoi trarne le conseguenze.
Ciao
Al di là della formula di massimoaa, come hai fatto a ricavare che:
Cioè è una formula o c'è un procedimento sotto per ricavare $3/2a^2$ ?
Grazie
"orsoulx":
Se $ A(0,0,-2); B(0,1,0); C(a,1,-a) $, a mio avviso, il quadrato dell'area del triangolo ABC è $ 3/2 a^2 $
Cioè è una formula o c'è un procedimento sotto per ricavare $3/2a^2$ ?
Grazie
"crocodile":
...o c'è un procedimento sotto per ricavare...
Io, come ti ho già scritto qui,
"orsoulx":
...considerando due qualsiasi vettori lati, e ricavando il quadrato del modulo del loro prodotto vettoriale...
considero due qualsiasi vettori lati del triangolo es. $B-A=(0,-1,-2); C-A=(a,0,-a) $; calcolo il loro prodotto vettoriale $ |(i,j,k),(0,-1,-2),(a,0,-a)|=ai-2aj+ak $. Il modulo di questo vettore $ sqrt(6a^2) $ è l'area del parallelogramma (doppia di quella del triangolo) avente come lati consecutivi i vettori utilizzati.
Ciao
Ok, ora mi è tutto chiaro!
Grazie
Grazie
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