FORMA ESATTA

[issamassi]

Salve a tutti. Sono bloccato su questo esercizio.
Si consideri la forma differenziale, dipendente dalla funzione g(y) di classe C1
\begin{equation*}
\omega = y\cos(y^2)e^{xy} dx + xe^{xy}g(y) − 2y\sin(y^2)e^{xy} + \frac{1}{y} dy
\end{equation*}

Mi si chiede di trovare una funzione g(y) tale che la forma sia esatta in E = {(x, y) :y < 0. la risposta è:
\begin{equation*}
g(y) = cos(y^2)
\end{equation*}

Sono però bloccato e non riesco a procedere. La mia idea è quella di calcolare gli integrali delle componenti della forma differenziale per poi eguagliarli e ricavare il valore di g(y). Non riesco però a procedere poichè nel secondo campo non è possibile calcolare l'integrale del seno. Qualcuno può aiutarmi?

[killing_buddha]

Quella che hai scritto non è una forma differenziale su $\mathbb R^2$. Forse c'è un errore di battitura?

[Luca.Lussardi]

Probabilmente mancano solo due parentesi...

[dissonance]

La traccia è sbagliata, ma comunque si può già dare un suggerimento: il dominio \(\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ y<0\}\) è semplicemente connesso, quindi una forma differenziale è esatta se e solo se è *chiusa*.

[pilloeffe]

Ciao issamassi,

Supponendo che in realtà sia

$\omega = y cos(y^2)e^{xy} dx + (xe^{xy}g(y) − 2y sin(y^2)e^{xy} + frac{1}{y}) dy $

l'esercizio proposto chiede di determinare $g(y) $ di classe $C^1(E) $, ove $E := \{(x, y) \in \RR^2 : y<0} $, in modo che la forma differenziale $\omega $ sia esatta. Accogliendo l'ottimo suggerimento di dissonance, basta verificare quando è chiusa:

$(del)/(dely) (y cos(y^2)e^{xy}) = (del)/(delx) (xe^{xy}g(y) − 2y sin(y^2)e^{xy} + frac{1}{y})$

cioè

$cos(y^2)e^{xy} - 2y^2 e^{xy} sin(y^2) + xy cos(y^2)e^{xy} = e^{xy}g(y) + xy e^{xy} g(y) - 2y^2 sin(y^2)e^{xy} $
$cos(y^2)e^{xy} + xy cos(y^2)e^{xy} = e^{xy}g(y) + xy e^{xy} g(y) $
$e^{xy}cos(y^2)(1 + xy) = e^{xy}g(y)(1 + xy) $

da cui $g(y) = cos(y^2) $.