Sugli intervalli (maggiorante, minorante, estremi sup, inf ecc..)
Buongiorno ragazzi,
Mi è stata spiegata per la primavolta nella vita finalmente in maniera più precisa la nozione di maggiorante, minorante; estremi superiori e inferiori,massimi minimi ecc.
Mi restano solo alcuni dubbi che spero di fugare con voi:
Ricordo che alle superiori eran stati spiegati gli estremi innanzitutto e ora all'uni ritrovo in realtà una spiegazione a ritroso: cioè si parte dalla nozione di amggiorante per arivare ad estremi speriori e inferiori e poi di massimo e minimo di un insieme (intervallo).
venendo al dunque:
1) ricordo che il professore liceale disse: "se l'estremo è compreso allora si parla di chiusura dell intervallo" a destra o sinistra, se l'estremo è escluso si parla di "apertura". Ora però dal libro non capisco, nel senso che se un intervallo ha l'estremo superiore (o simmetricamente inferiore che sia) compreso allora si parla di massimo (o minimo) a questo punto mi chiedo: mettendo assiemeuello che già so con quanto appreso in questa lezione, un intervallo chiuso è quindi uno che ha massimo o un minimo (cioè estremo incluso) sbaglio? Riformulando: un intervallo è chiuso a destra quando ammette massimo, è aperto a destra se non ammette massimo? (identico per il sonostro).
Sul libro di analisi non ho capito, è una mia "deduzione" ma non so se è corretta.
2)La seconda domanda che mi ronza nella capoccia è questa: prendiamo un intervallo (-∞,10] questo è illimitato inferiormente (non ha minorante) e chiuso a destra. Esempio del libro. Però mi chiedevo, posso chiamarlo anche intervallo illimitato inferiormente e limitato superiormente? Alla fine ammette maggiorante, quindi a definizione ci stà.. però non trovo nomenclature del genere sul libro nè online.
Davvero grazie mille.
Mi è stata spiegata per la primavolta nella vita finalmente in maniera più precisa la nozione di maggiorante, minorante; estremi superiori e inferiori,massimi minimi ecc.
Mi restano solo alcuni dubbi che spero di fugare con voi:
Ricordo che alle superiori eran stati spiegati gli estremi innanzitutto e ora all'uni ritrovo in realtà una spiegazione a ritroso: cioè si parte dalla nozione di amggiorante per arivare ad estremi speriori e inferiori e poi di massimo e minimo di un insieme (intervallo).
venendo al dunque:
1) ricordo che il professore liceale disse: "se l'estremo è compreso allora si parla di chiusura dell intervallo" a destra o sinistra, se l'estremo è escluso si parla di "apertura". Ora però dal libro non capisco, nel senso che se un intervallo ha l'estremo superiore (o simmetricamente inferiore che sia) compreso allora si parla di massimo (o minimo) a questo punto mi chiedo: mettendo assiemeuello che già so con quanto appreso in questa lezione, un intervallo chiuso è quindi uno che ha massimo o un minimo (cioè estremo incluso) sbaglio? Riformulando: un intervallo è chiuso a destra quando ammette massimo, è aperto a destra se non ammette massimo? (identico per il sonostro).
Sul libro di analisi non ho capito, è una mia "deduzione" ma non so se è corretta.
2)La seconda domanda che mi ronza nella capoccia è questa: prendiamo un intervallo (-∞,10] questo è illimitato inferiormente (non ha minorante) e chiuso a destra. Esempio del libro. Però mi chiedevo, posso chiamarlo anche intervallo illimitato inferiormente e limitato superiormente? Alla fine ammette maggiorante, quindi a definizione ci stà.. però non trovo nomenclature del genere sul libro nè online.
Davvero grazie mille.
Risposte
"staultz":
Buongiorno ragazzi
Buongiorno.
1) ricordo che il professore liceale disse: "se l'estremo è compreso allora si parla di chiusura dell'intervallo" a destra o sinistra, se l'estremo è escluso si parla di "apertura". Ora però dal libro non capisco, nel senso che se un intervallo ha l'estremo superiore (o simmetricamente inferiore che sia) compreso allora si parla di massimo (o minimo) a questo punto mi chiedo: mettendo assieme quello che già so con quanto appreso in questa lezione, un intervallo chiuso è quindi uno che ha massimo o un minimo (cioè estremo incluso) sbaglio? Riformulando: un intervallo è chiuso a destra quando ammette massimo, è aperto a destra se non ammette massimo? (identico per il sinistro).
Sul libro di analisi non ho capito, è una mia "deduzione" ma non so se è corretta.
Un intervallo limitato per essere chiuso deve avere sia massimo che minimo, la cosa che può sembrare strana è che un intervallo illimitato come quello della seconda domanda, è chiuso perché contiene l'estremo finito.
2)La seconda domanda che mi ronza nella capoccia è questa: prendiamo un intervallo (-∞,10] questo è illimitato inferiormente (non ha minorante) e chiuso a destra. Esempio del libro. Però mi chiedevo, posso chiamarlo anche intervallo illimitato inferiormente e limitato superiormente? Alla fine ammette maggiorante, quindi a definizione ci stà.. però non trovo nomenclature del genere sul libro nè online.
Si, si può tranquillamente fare.
Grazie per la replica ^^
Bene la 2 l'abbiamo risolta.
Però mi chiedevo: se un intervallo ha un massimo ma non un minimo, posso chiamarlo chiuso a destra?
In altre parole: è la nozione di massimo (se presente in un intervallo) quella che definisce la sua proprietà di essere chiuso a destra? O la si definisce in altro modo la chiusura a destra rispetto alla nozione di massimo?
Ovviamente parlo solo di una parte per comodità, simmetricamente è identico per minore..
Il libro in questo non è chiaro per nulla.
Grazie e buon sabato
Bene la 2 l'abbiamo risolta.
Però mi chiedevo: se un intervallo ha un massimo ma non un minimo, posso chiamarlo chiuso a destra?
In altre parole: è la nozione di massimo (se presente in un intervallo) quella che definisce la sua proprietà di essere chiuso a destra? O la si definisce in altro modo la chiusura a destra rispetto alla nozione di massimo?
Ovviamente parlo solo di una parte per comodità, simmetricamente è identico per minore..
Il libro in questo non è chiaro per nulla.
Grazie e buon sabato
"staultz":
Però mi chiedevo: se un intervallo ha un massimo ma non un minimo, posso chiamarlo chiuso a destra?
Sì.
"staultz":
In altre parole: è la nozione di massimo (se presente in un intervallo) quella che definisce la sua proprietà di essere chiuso a destra? O la si definisce in altro modo la chiusura a destra rispetto alla nozione di massimo?
Sì... Tuttavia i termini chiuso è aperto hanno un significato più profondo, che appare chiaro appena si studia la topologia dell'asse reale.
Ah ecco, dovrò aspettare un po' allora XD
Grazie comunque per i chiarimenti ad entrambi.
Siete gentilissimi
Grazie comunque per i chiarimenti ad entrambi.
Siete gentilissimi
Mi intrometto in questo post con il mio primo messaggio. In realtà ero in dubbio se aprirne uno nuovo o meno ma vedo che l'argomento è questo quindi continuo qui per ora. Se poi mi dite che èmeglio spostare lo farò e mi scuso.
Intanto grazie per l'aiuto che date sul forum e saluto tutti voi.
Il mio problema nasce nella definizione di estremo, ad es: diciamo che un y€R è estremo superiore se
-y è maggiorante di X
-comunque scelto uno z
La definizione che trovo più ostica è invece quellache dice
-∀ε (piccolo a piacere) ∃x€X(con XcR) t.c y-ε
Ilmio problema intuitivo nasce qui:
-nel primo tipo di definizione io dico ogni z che sceglierò è più piccola di y (che è un maggiorante) prendo cioè concettualmente ogni numero possibile e saprò che quando è minore di y non saràun maggiorante (MAI!).
- nel secondo caso prendo degli intervallini che vanno da y-ε ad y, che potrò prenderli piccoli quanto voglio, ma saranno infiniti e quindi per quanto mi avvicini come in achille e la tartaruga non riuscirò mai a considerarli tutti e concettualmente mi pare impossibile farlo.
many thanks!
Intanto grazie per l'aiuto che date sul forum e saluto tutti voi.
Il mio problema nasce nella definizione di estremo, ad es: diciamo che un y€R è estremo superiore se
-y è maggiorante di X
-comunque scelto uno z
La definizione che trovo più ostica è invece quellache dice
-∀ε (piccolo a piacere) ∃x€X(con XcR) t.c y-ε
Ilmio problema intuitivo nasce qui:
-nel primo tipo di definizione io dico ogni z che sceglierò è più piccola di y (che è un maggiorante) prendo cioè concettualmente ogni numero possibile e saprò che quando è minore di y non saràun maggiorante (MAI!).
- nel secondo caso prendo degli intervallini che vanno da y-ε ad y, che potrò prenderli piccoli quanto voglio, ma saranno infiniti e quindi per quanto mi avvicini come in achille e la tartaruga non riuscirò mai a considerarli tutti e concettualmente mi pare impossibile farlo.
many thanks!
Ciao giulioa, benvenuto sul forum.
Nella tua seconda definizione conviene farne una precisazione: essa non vale in generale per ogni insieme, ma solo quando l'estremo superiore è punto di accumulazione di $X$ (in particolare, vale se $X$ è un intervallo connesso).
Prendi come insieme $XsubRR=(0,1)uu{2}$.
Chiaramente $y=2$ è l'estremo superiore di $X$. Fissato $epsilon=1/2$ (posso prenderlo piccolo a piacere, è solo per fissare le idee) non esiste nessuna $x$ dell'insieme nell'intervallo $(y-epsilon, y)=(3/2, 2)$. Quello che dici infatti è vero se $y$ è un punto di accumulazione per l'insieme, mentre in questo caso è un punto isolato.
Qui, secondo me, giace anche il tuo problema intuitivo: l'idea è che $epsilon$ te lo scegli come vuoi, piccolo a piacere. L'importante è che valga per ognuno di essi, basta trovarne uno per cui la proprietà non regge e casca tutto.
Per la prima definizione, invece, come dici è molto chiara. E' solo la versione formale della frase l'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti.
P.S. per quanto usare il simbolo dell'euro al posto di $in$ sia brillante, per favore leggi come scrivere le formule
Nella tua seconda definizione conviene farne una precisazione: essa non vale in generale per ogni insieme, ma solo quando l'estremo superiore è punto di accumulazione di $X$ (in particolare, vale se $X$ è un intervallo connesso).
Prendi come insieme $XsubRR=(0,1)uu{2}$.
Chiaramente $y=2$ è l'estremo superiore di $X$. Fissato $epsilon=1/2$ (posso prenderlo piccolo a piacere, è solo per fissare le idee) non esiste nessuna $x$ dell'insieme nell'intervallo $(y-epsilon, y)=(3/2, 2)$. Quello che dici infatti è vero se $y$ è un punto di accumulazione per l'insieme, mentre in questo caso è un punto isolato.
Qui, secondo me, giace anche il tuo problema intuitivo: l'idea è che $epsilon$ te lo scegli come vuoi, piccolo a piacere. L'importante è che valga per ognuno di essi, basta trovarne uno per cui la proprietà non regge e casca tutto.
Per la prima definizione, invece, come dici è molto chiara. E' solo la versione formale della frase l'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti.
P.S. per quanto usare il simbolo dell'euro al posto di $in$ sia brillante, per favore leggi come scrivere le formule
Ciao, finalmente un dubbio si è dileguato.
Diciamo che il dubbio concettuale e intuitivo mi resta, nel senso che da una parte dico "tutte le y", dall'atra invece prendo degli "intervallini" ε piccolissimi che essendo infiniti ce ne sarà sempreuno più piccolo in cui magari non giace la x dell'insieme. Essendo intervalli, e non punti (numero singolo) mi restringerò all'infinito, ma avrò sempre un altro intervallo (che è un intervallo e non un punto) sotto di esso.
Forse la mia difficoltà sta nel fattoche mentre tutti i punti pur essendo infiniti riesco a "figurarlo", negli intervalli no.
PS: imparo a scrivere le formule, promesso. Scusatemi
Diciamo che il dubbio concettuale e intuitivo mi resta, nel senso che da una parte dico "tutte le y", dall'atra invece prendo degli "intervallini" ε piccolissimi che essendo infiniti ce ne sarà sempreuno più piccolo in cui magari non giace la x dell'insieme. Essendo intervalli, e non punti (numero singolo) mi restringerò all'infinito, ma avrò sempre un altro intervallo (che è un intervallo e non un punto) sotto di esso.
Forse la mia difficoltà sta nel fattoche mentre tutti i punti pur essendo infiniti riesco a "figurarlo", negli intervalli no.
PS: imparo a scrivere le formule, promesso. Scusatemi
Per definizione se $y$ è di accumulazione per $XsubRR$ posso trovare $forallepsilon$ una $x inX$ tale che $x inB(y, epsilon)$, ovvero un elemento dell'insieme che giace in un intorno di raggio arbitrario $epsilon$ centrato in $y$.
Il nocciolo della questione è non c'è il rischio che prendendo $epsilon=0.00000000000000000000000000001$ non ci sia una $x$ perché lo dice la definizione stessa. Stessa storia se $epsilon=10^(-10^(-10^(-10)))$
Vedila così: $RR$ è denso, quindi se un punto è di accumulazione per $X$ posso avvicinarmi (da destra, nel nostro caso specifico) quanto voglio perché dato un razionale $qin(y-epsilon, y)$ esistono infiniti razionali e irrazionali in $(q, y)$ e così via.
Il nocciolo della questione è non c'è il rischio che prendendo $epsilon=0.00000000000000000000000000001$ non ci sia una $x$ perché lo dice la definizione stessa. Stessa storia se $epsilon=10^(-10^(-10^(-10)))$
Vedila così: $RR$ è denso, quindi se un punto è di accumulazione per $X$ posso avvicinarmi (da destra, nel nostro caso specifico) quanto voglio perché dato un razionale $qin(y-epsilon, y)$ esistono infiniti razionali e irrazionali in $(q, y)$ e così via.
"Weierstress":
$epsilon=10^(-10^(-10^(-10)))$
Non so se ne sei cosciente, ma questo è circa $1/10$ (poco più)
Certo, era una piccola trollata
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