Analisi matematica di base

Ciao a tutti, ho una curiosità più che altro. C'è qualche software o conoscete qualche modo per ottenere una funzione che risponda a determinate caratteristiche? Per esempio, io dovrei trovare una funzione che abbia la forma della funzione logaritmo, ma che nel punto di coordinate (0,0) abbia un valore della derivata infinito, e la cui derivata poi decresca sempre di più, fino ad appiattirsi per un certo valore del dominio.

Salve, sono bloccato da un pò di tempo col seguente integrale: \(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (2x-6) \log(x)}{(x^2-6x+10)^2}} \) Istintivamente ho provato per sostituzione notando che la derivata di \(\displaystyle(x^2-6x+10) \) risulta essere proprio \(\displaystyle {2x-6} \). Assumendo \(\displaystyle(x^2-6x+10) = y \) e \(\displaystyle {2x-6} = dy \) Riscrivendo il logaritmo mi ritroverei con qualcosa tipo: \(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (dy) \log(?)}{(y)^2}} \) A questo punto non ...

Siano $\gamma:[a,b]->RR^n$ e $\mu:[\alpha,\beta]->RR^n$ due cammini parametrizzati di classe $C^1$ e $C^1$-equivalenti, allora $l(\gamma)=l(\mu)$. Io ho fatto così: sia $\varphi:[a,b]->[\alpha,\beta]$ il $C^1$-diffeomorfismo tale che $\gamma(t)=\mu(\varphi(t))$ $AAtin[a,b]$. Abbiamo che $l(\gamma)=\int_a^b||\dot \gamma(t)|| dt=\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt$. Ora siccome $\varphi(t)$ è un $C^1$-diffeomorfismo allora o è strettamente crescente o è strettamente decrescente per cui: $\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt={(\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t) dt ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t)dt,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}$ In entrambi i casi applico ...

Ciao ragazzi , sto studiando un'esempio di funzione che ammette primitiva ma non integrabile , ed è la seguente: $ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $ Ma non viene specificato il perchè , qualcuno può spiegarmi?

Ciao a tutti . Mi sto esercitando su vecchi temi d'esame di Analisi 2 e c'è un esercizio sul lavoro di un campo lungo una curva che non riesco a risolvere. Dato un campo F = (x-y-2z, 2x+3y-z, z+2y+ z), devo calcolare il lavoro lunga la curva γ: $ { ( x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 ),( x-y-z=1 ):} $ In generale dato un campo e una curva parametrizzata sono in grado di calcolare il lavoro, ma in questo caso non capisco come parametrizzare la curva. (La soluzione è L=2$ sqrt(3) $π ) Grazie.

Buongiorno a tutti, è un po' di giorni che sbatto la testa su questa equazione differenziale: $y'=e^y+y^2$ ma non riesco a venirne a capo. Ho provato a considerarla a variabili separabili ma viene infattibile. Inoltre non credo si possa usare il principio di sovrapposizione perché a destra dell'equazione non ho $f(x)$ e $g(x)$ ma $y(x)$. Qualcuno mi può dare un idea di come fare per favore? Grazie in anticipo

Ciao ragazzi , volevo sapere ,e avere una spiegazione/dimostrazione , del perchè la funzione: $ f(x)=x^2,x in R $ , è una funzione continua ma non uniformemente continua (se fosse stata in un intervallo chiuso e limitato , lo sarebbe stata per il teorema di Heine-Cantor , ma in questo caso no). Grazie in anticipo!!

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e sto avendo delle difficoltà nel risolvere il secondo quesito: In un triangolo isoscele \( ABC \) il vertice \( C\) si muove perpendicolarmente alla base \( AB\) in modo che l'area del triangolo cresca ad una velocità di \( 4 \ cm^2/s \). La base \( AB \) è lunga \( 3 \ cm \) . 1. A quale velocità cresce l'altezza \( CH \)? 2. E il lato \( CB\)? 1. Per risolvere la prima parte ho utilizzato le derivate sapendo ...

Buongiorno a tutti, il teorema di Fubini, nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, afferma che se esiste l'integrale di una certa funzione in \(\displaystyle X\times Y \) (\(\displaystyle X \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle Y \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^m) \), allora esistono gli integrali iterati, prima su \(\displaystyle X \) e poi su \(\displaystyle Y \), o viceversa. Mi chiedevo se questo teorema vale ancora quando gli integrali ...

Ciao ragazzi , sto studiando il Teorema di Conservazione della Compattezza , l'enunciato è il seguente: Se: 1)$A$ è compatto 2)$f$ continua in $A$ $ rArr $ $f(A)$ è un compatto A questo punto però viene fatta la dimostrazione utilizzando la compattezza per successioni , ed onestamente non la capisco , qualcuno potrebbe spiegarmela ?

Salve , dovrei calcolare la derivata 2° della funzione [highlight]f(x) = (sin(x)-3cos(x))*(2x-pi)[/highlight] Cosi ho calcolato la derivata 1° la quale mi esce \(\displaystyle f'(x) = (2x*cos(x) + pi*cos(x)+6x*sin(x)-3*pi*sin(x))+(2*sin(x)-6*cos(x)) \) Per poi calcolarmi la derivata 2° la quale mi esce \(\displaystyle f''(x) = (-2x*sin(x) - pi*sin(x) + 6x*cos(x)-3*pi*cos(x)) \)+(2*cos(x)+6*sin(x)) Ma pare che quest'ultima sia sbagliata nella parte finale , essendo che tramite i calcolatori ...

Ciao ragazzi , volevo avere un chiarimento su una cosa , la seguente funzione , anche se infinitamente derivabile , mi viene detto che non è sviluppabile in serie di Taylor: $ f(x)={ ( e^-(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0 ):} $ , perchè?

Salve qualcuno riesce a spiegarmi come ricavare questo insieme di definizione $f(x) = \sqrt((\sqrt3 + 2 cos x)/(3tan^2 x + \sqrt3 tan x)) $ ho provato a svolgerlo e siccome devo imporre il radicando >=0 allora mi trovo che il Numeratore deve essere >=0 e il Denominatore deve essere solo >0 e quindi mi trovo un sistema con: $ { ( cosx>=0 ->-5/6pi<=x<=5/6pi ),( tanx>0 -> 0<x<pi/2 ),( tanx> -sqrt(3)/3 ):} $ questo perchè al denominatore ho fatto un raccoglimento dove mi trovo che: $ tanx(3tanx+sqrt(3)) $ se qualcuno riesce a mostrarmi dove sto sbagliando e i vari passaggi ne sarei grato Grazie in ...

Ciao ragazzi , studiando la relazione tra Lipchizianità e Continuità Uniforme(Lip=>U.C.) , viene poi dimostrato che il viceversa non vale , ovvero se una funzione è uniformemente continua , non è detto che sia anche Lipchiziana. Viene utilizzato come esempio la funzione: $ f:[0,1]->R $ $ f(x)=sqrtx $ Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana. Viene poi detto ...

Trovare il modo di riparametrizzare $\gamma:[0,1]->RR^2$ definita come $(t)->(t,t^2)$ in modo che abbia velocità costante $1$. Dobbiamo trovare una funzione $\varphi:[a,b]->[0,1]$ $C^1$-diffeomorfismo tale che $u(t)=\gamma(\varphi(t))$ e $||dot u(t)||=1$. Abbiamo che $u(t)=(\varphi(t),\varphi^2(t))$ da cui $dot u(t)=(dot \varphi(t), 2\varphi(t) dot \varphi(t))$. Imponendo la condizione $||dot u(t)||=1$ otteniamo che $| dot \varphi(t)|sqrt(1+4\varphi^2(t))=1$, ovvero l'equazione differenziale $| dot \varphi(t)|=1/(sqrt(1+4\varphi^2(t)))$. Non so come continuare (ovvero ad esempio ...

Salve a tutti! L'esercizio è questo. Data la funzione $f(x)=(e^x-x-1)/x$ a) Si provi che essa è estendibile per continuità ad una funzione definita su tutto $R$ b) Si provi che l'estensione di cui al punto precedente è strettamente crescente su tutto $R$ Ho risolto questo esercizio ma ho qualche dubbio riguardante lo studio del segno della derivata prima. Infatti $f'(x)=[e^x(x-1)+1]/x^2>0$ sostanzialmente risulta crescente per $x>1$ e negativa per ...

Ciao! Ho bisogno di un suggerimento per questo problema: Si considerino le funzioni reali $ f(x) = int_(0)^(x^2) e^(-s^2) ds $ $ g (x) = a _1 x+a_2x^2+a_6x^6 $ Per quali valori dei tre parametri accade che $ lim_(x->0)(f(x)-g(x))/x^10 $ esiste ed è positivo? Ho provato a usare De l'Hopital ma mi sembra troppo lungo dover abbassare la potenza del denominatore. Grazie!

Buonasera, chiedo un aiuto per essere indirizzato su cosa andarmi a studiare e dove. Vi spiego dove vorrei arrivare... Definiamo $\mathcal{B}$ come lo spazio delle funzioni buone, ovvero funzioni $F$ definite su tutto l'asse reale, infinitamente differenziablii e tali che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$. Poi, ho una famiglia di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ infinitamente differenziabili e nulle fuori da $[a,b]$, con le quali ...

Ciao ragazzi, oggi vi chiedo due esercizi: sul primo non saprei, sul secondo invece ho tentato di risolverlo e spero sia venuto bene.. Esercizio 1 Siamo dati: $f(x)$ polinomio di grado $n\in N$ a coefficienti reali. $x_0,x_1$ due punti reali e $p_0(x)$ e $p_1(x)$ i polinomi di Taylor di grado $n$ di $f(x)$, di centro $x_0$ e $x_1$ rispettivamente. Si provi che $p_0(x)=p_1(x), \forall x\in R$ Esercizio ...

Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questo numero complesso che devo rappresentare le sue radici quadrate nel piano di Gauss ho provato a svolgerlo e ho fatto: $ i^83=-i $ $ i^9=i $ alla fine svolgendo i calcoli mi trovo che: $ (1+i)/((2i)^58-i)=(1+i)/(i-2^58 $ essendo i^58=-1. Da qui in poi non so come andare avanti per arrivare a calcolare le radici quadrate attraverso la trigonometria cioe con $ sqrt(z) =sqrt(p)(cos((vartheta +2kpi)/2)+i*sin((vartheta +2kpi)/2)) k=0,1 $