Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ciao ragazzi , volevo sapere ,e avere una spiegazione/dimostrazione , del perchè la funzione:
$ f(x)=x^2,x in R $ , è una funzione continua ma non uniformemente continua (se fosse stata in un intervallo chiuso e limitato , lo sarebbe stata per il teorema di Heine-Cantor , ma in questo caso no).
Grazie in anticipo!!
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio e sto avendo delle difficoltà nel risolvere il secondo quesito:
In un triangolo isoscele \( ABC \) il vertice \( C\) si muove perpendicolarmente alla base \( AB\) in modo che l'area del triangolo cresca ad una velocità di \( 4 \ cm^2/s \). La base \( AB \) è lunga \( 3 \ cm \) .
1. A quale velocità cresce l'altezza \( CH \)?
2. E il lato \( CB\)?
1.
Per risolvere la prima parte ho utilizzato le derivate sapendo ...
Buongiorno a tutti,
il teorema di Fubini, nell'ambito dell'integrazione secondo Riemann, afferma che se esiste l'integrale di una certa funzione in \(\displaystyle X\times Y \) (\(\displaystyle X \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) e \(\displaystyle Y \) rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^m) \), allora esistono gli integrali iterati, prima su \(\displaystyle X \) e poi su \(\displaystyle Y \), o viceversa.
Mi chiedevo se questo teorema vale ancora quando gli integrali ...
Ciao ragazzi , sto studiando il Teorema di Conservazione della Compattezza , l'enunciato è il seguente:
Se:
1)$A$ è compatto
2)$f$ continua in $A$
$ rArr $ $f(A)$ è un compatto
A questo punto però viene fatta la dimostrazione utilizzando la compattezza per successioni , ed onestamente non la capisco , qualcuno potrebbe spiegarmela ?
Salve , dovrei calcolare la derivata 2° della funzione
[highlight]f(x) = (sin(x)-3cos(x))*(2x-pi)[/highlight]
Cosi ho calcolato la derivata 1° la quale mi esce
\(\displaystyle f'(x) = (2x*cos(x) + pi*cos(x)+6x*sin(x)-3*pi*sin(x))+(2*sin(x)-6*cos(x)) \)
Per poi calcolarmi la derivata 2° la quale mi esce
\(\displaystyle f''(x) = (-2x*sin(x) - pi*sin(x) + 6x*cos(x)-3*pi*cos(x)) \)+(2*cos(x)+6*sin(x))
Ma pare che quest'ultima sia sbagliata nella parte finale , essendo che tramite i calcolatori ...
Ciao ragazzi , volevo avere un chiarimento su una cosa , la seguente funzione , anche se infinitamente derivabile , mi viene detto che non è sviluppabile in serie di Taylor:
$ f(x)={ ( e^-(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0 ):} $ , perchè?
Salve qualcuno riesce a spiegarmi come ricavare questo insieme di definizione
$f(x) = \sqrt((\sqrt3 + 2 cos x)/(3tan^2 x + \sqrt3 tan x)) $
ho provato a svolgerlo e siccome devo imporre il radicando >=0 allora mi trovo che il Numeratore deve essere >=0 e il Denominatore deve essere solo >0 e quindi mi trovo un sistema con:
$ { ( cosx>=0 ->-5/6pi<=x<=5/6pi ),( tanx>0 -> 0<x<pi/2 ),( tanx> -sqrt(3)/3 ):} $
questo perchè al denominatore ho fatto un raccoglimento dove mi trovo che:
$ tanx(3tanx+sqrt(3)) $
se qualcuno riesce a mostrarmi dove sto sbagliando e i vari passaggi ne sarei grato
Grazie in ...
Ciao ragazzi , studiando la relazione tra Lipchizianità e Continuità Uniforme(Lip=>U.C.) , viene poi dimostrato che il viceversa non vale , ovvero se una funzione è uniformemente continua , non è detto che sia anche Lipchiziana.
Viene utilizzato come esempio la funzione:
$ f:[0,1]->R $
$ f(x)=sqrtx $
Che è U.C. per Heine , e viene poi dimostrato che il Sup della funzione fa $ +oo $, e quindi la derivata non è limita, e di conseguenza , non è Lipchiziana.
Viene poi detto ...
Trovare il modo di riparametrizzare $\gamma:[0,1]->RR^2$ definita come $(t)->(t,t^2)$ in modo che abbia velocità costante $1$.
Dobbiamo trovare una funzione $\varphi:[a,b]->[0,1]$ $C^1$-diffeomorfismo tale che $u(t)=\gamma(\varphi(t))$ e $||dot u(t)||=1$. Abbiamo che $u(t)=(\varphi(t),\varphi^2(t))$ da cui $dot u(t)=(dot \varphi(t), 2\varphi(t) dot \varphi(t))$. Imponendo la condizione $||dot u(t)||=1$ otteniamo che $| dot \varphi(t)|sqrt(1+4\varphi^2(t))=1$, ovvero l'equazione differenziale $| dot \varphi(t)|=1/(sqrt(1+4\varphi^2(t)))$. Non so come continuare (ovvero ad esempio ...
Salve a tutti!
L'esercizio è questo.
Data la funzione $f(x)=(e^x-x-1)/x$
a) Si provi che essa è estendibile per continuità ad una funzione definita su tutto $R$
b) Si provi che l'estensione di cui al punto precedente è strettamente crescente su tutto $R$
Ho risolto questo esercizio ma ho qualche dubbio riguardante lo studio del segno della derivata prima.
Infatti $f'(x)=[e^x(x-1)+1]/x^2>0$ sostanzialmente risulta crescente per $x>1$ e negativa per ...
Ciao!
Ho bisogno di un suggerimento per questo problema:
Si considerino le funzioni reali
$ f(x) = int_(0)^(x^2) e^(-s^2) ds $
$ g (x) = a _1 x+a_2x^2+a_6x^6 $
Per quali valori dei tre parametri accade che $ lim_(x->0)(f(x)-g(x))/x^10 $ esiste ed è positivo?
Ho provato a usare De l'Hopital ma mi sembra troppo lungo dover abbassare la potenza del denominatore.
Grazie!
Buonasera,
chiedo un aiuto per essere indirizzato su cosa andarmi a studiare e dove.
Vi spiego dove vorrei arrivare...
Definiamo $\mathcal{B}$ come lo spazio delle funzioni buone, ovvero funzioni $F$ definite su tutto l'asse reale, infinitamente differenziablii e tali che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$.
Poi, ho una famiglia di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ infinitamente differenziabili e nulle fuori da $[a,b]$, con le quali ...
Ciao ragazzi, oggi vi chiedo due esercizi: sul primo non saprei, sul secondo invece ho tentato di risolverlo e spero sia venuto bene..
Esercizio 1
Siamo dati: $f(x)$ polinomio di grado $n\in N$ a coefficienti reali. $x_0,x_1$ due punti reali e $p_0(x)$ e $p_1(x)$ i polinomi di Taylor di grado $n$ di $f(x)$, di centro $x_0$ e $x_1$ rispettivamente. Si provi che $p_0(x)=p_1(x), \forall x\in R$
Esercizio ...
Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questo numero complesso che devo rappresentare le sue radici quadrate nel piano di Gauss
ho provato a svolgerlo e ho fatto:
$ i^83=-i $
$ i^9=i $
alla fine svolgendo i calcoli mi trovo che:
$ (1+i)/((2i)^58-i)=(1+i)/(i-2^58 $ essendo i^58=-1.
Da qui in poi non so come andare avanti per arrivare a calcolare le radici quadrate attraverso la trigonometria cioe con $ sqrt(z) =sqrt(p)(cos((vartheta +2kpi)/2)+i*sin((vartheta +2kpi)/2)) k=0,1 $
Salve a tutti,
avrei bisogno di chiarire, il prima possibile altrimenti non ci dormo la notte, una questione che mi attanaglia assai.
Tra i quesiti degli scritti di analisi 1 osservo che viene frequentemente richiesto di dimostrare (o sulla falsa riga di questa richiesta) quante radici abbia una funzione o che una equazione abbia esattamente tot numero di radici.
Per rendere più chiaro il tutto riporto due esercizi più o meno tipici così da farvi capire cosa intendo.
a) Dimostrare che ...
Ciao,
l'esercizio chiede di determinare il Sup dell'insieme E così definito
$ E={abs(z) : z in C , (4z)/(1+z^2) in Z } $
Non so proprio da dove partire
Ciao a tutti!
Ho provato a risolvere questo esercizio, ma c'è qualcosa che non mi torna nello studio del secondo integrale.
L'integrale è il seguente:
$\int_{1}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{(\sqrt(1+x^2)-1)arctan(\sqrt(x))} dx$
La soluzione proposta dalla pagina da cui ho preso l'esercizio è:
L'unico modo per portare a casa l'esercizio è mostrare che la funzione integranda è un o-piccolo di $\frac{1}{x^{\alpha}$ con $0<\alpha<1$.
Nel nostro caso si può dimostrare che:
$lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1-\cos(x)}{(\sqrt(1+x^2)-1)arctan(\sqrt(x))}}{\frac{1}{\sqrt(x)}}=0$
Poiché la funzione integranda è un o-piccolo ...
Ciao a tutti,
sto calcolando un limite e mi risulta 4x alla fine, utilizzando le equivalenze astintotiche, mentre la soluzione è 19/10.
Perché?
$ lim x->0(12(arctgx-xcosx)(sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) $
Utilizzo questi:
$ arctg(x) ~ x $
$ 1-cosx ~ 1/2x^2 $
$ (1+x)^alpha ~ alphax $
$ sinx ~ x $
$ ln(1+x) ~ x $
Non sono corretti?
Grazie mille
Salve a tutti, non mi sono chiari alcuni concetti della dimostrazione del Teorema di Schwarz sulle derivate parziali seconde miste.
- Nelle ipotesi, almeno per come l'ha enunciato la mia professoressa, si parla di derivabilità e continuità delle derivate parziali seconde miste in un punto generico $ (x_0,y_0)\inA $ aperto. Nella dimostrazione, prendiamo due punti generici $ x > x_0 $ e $ y > y_0 $. Ma non dovremmo considerare, allora, derivabilità e continuità in un intorno ...
Salve a tutti, ho dei dubbi sulla dimostrazione della formula del gradiente e, cercando online, ho notato che la dimostrazione fatta dalla prof è diversa (forse più leggera?) ed è la seguente:
Consideriamo l'applicazione: $ t->(x+t\alpha,y+t\beta) $ tale che, per valori di $ t $ abbastanza piccoli, il punto appartiene ancora ad A poiché aperto. Considero la funzione composta:
$ F(t) = f(x+t\alpha,y+t\beta) $ con $ t\in(-\delta,\delta) $
Poiché $ f $ è differenziabile nel punto $ (x,y) $ per ...
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