Analisi matematica di base

Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento di questo esercizio. Determinare l' intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze reali : $sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)$ Mio ragionamento: $sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)=sum_(n=1)^(+oo) [x/(1-x)^(2)]^n$ Sostituzione: $t=x/(1-x)^2$ La serie diventa: una serie di potenze di centro l'origine : $sum_(n=1)^(+oo) t^n$ Abbiamo che: $a_n=1$ , quindi $lim |a_n|^(1/n) =1$, quindi $R=1$ Per il teorema sul raggio di convergenza, la serie in t - converge per $|t|<1$ Ora ...

Salve ragazzi, mi si chiede di calcolare il seguente limite: $lim_(n->+oo) ((2n+1)/(2n-5))^(n/3)$ Dato che non riuscivo a trovare una risoluzione "banale" ho proceduto con i simboli di Landau. In particolare ho rivisto $2n+1$ come $2n+6-5$ e quindi la frazione diventa $1+6/(2n-5)$. Adatto l'esponente così $n/3=2*n/6=(2n+5-5)/6 = (2n-5)/6 +5/6$ da cui il limite diventa: $lim_(n->+oo) (1+(6/(2n-5)))^((2n-5)/6 +5/6)$ . Utilizzando l'o-piccolo trovo che $lim_(n->+oo) (e+o(1))^(5/6)$. Il risultato non dovrebbe essere $e^(5/6)$ ? Perché ...

Ciao ragazzi , sto svolgendo un'integrale di analisi I, e dopo aver applicato la formula di integrazione per parti e successivamente quella di Sostituzione, arrivo a questo punto: $ int t/(3+t)dt $ A questo punto punto l'integrale viene spezzato nel seguente modo: $ int dt - 3int 1/(3+t)dt $ E poi ovviamente si risostituisce. Potreste spiegarmi come viene spezzato questo integrale?

Salve a tutti, sto studiando questa funzione presa da ****: https://www.****.it/forum/analisi-1/ ... atore.html non riesco a capire perchè come fa a calcolare i limiti siccome viene fuori che l'argomento del ln è minore di 0 e come fa a calcolare i limiti

Salve, volevo solo alcune particolari spiegazioni sull'ascissa curvilinea che non mi erano chiare. L'ascissa curvilinea rappresenta la distanza da un punto generico della curva ad un punto fissato, e la possiamo vedere come funzione integrale del tipo $ s(t)=\int_{t_0}^{t}|\varphi^{'}(\tau)|d\tau $ La prof ci ha mostrato delle osservazioni immediate, dove: $ s(t)={(0 \ text(se) \ t=t_0),(\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t>t_0), (-\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t<t_0):} $ Prima cosa che non mi è chiara: la lunghezza dovrebbe essere una lunghezza definita positiva, quindi il segno meno cosa significa? La lunghezza non ...

Ciao ragazzi sto svolgendo il seguente Integrale di Analisi I: $ int (x+1)/(x(1+xe^x))dx $ A Questo punto lo svolgimento mi dice che dovrei applicare la tecnica di Sostituzione nel seguente modo: $ 1+xe^x=t $ , da cui : $ e^x(1+x)dx=dt $. E fino a qui ci sono . Però prima di applicare la sostituzione viene fatto un passaggio intermedio per far diventare l'integrale nel seguente modo: $ int (e^x(x+1))/(e^x x(1+xe^x))dx $ , in modo che a numeratore potrò semplificare con il nuovo differenziale , questo lo ho capito ...

Buongiorno, vorrei chiedervi un parere, devo verificare che il seguente insieme $A={x in QQ\ : \ 0<x, \ x^2<2}$ non ha estremo superiore in $QQ$. Per dimostrarlo, ho provato, ma ho dubbi: Suppongo per assurdo che esiste $L:=mbox{supA}$, quindi, $L$ deve essere il minimo dei maggioranti, quindi, deve essere un maggiorante, cioè deve soddisfare $L ge x , \ forall x in A$, pertanto se considero un generico $x in A$ deve soddisfare tre condizioni, che sono [tex]\begin{cases} ...

Devo calcolare i coefficienti $a_5,b_5$ e $\hat f_5$ della funzione periodica: [tex]f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2 \ \ \ \ x\in(-\pi,-\pi/2] \\ 0 \ \ \ \ x\in(-\pi/2,\pi/2] \\ 2 \ \ \ \ x\in(\pi/2,\pi] \end{array} \right.[/tex] Ho dato un'occhiata all'inizio delle soluzioni, e partono dicendo "Visto che $f$ è una funzione pari..." Per convincermene (che è pari) mi son disegnato il grafico, ma probabilmente non era ...

Ciao a tutti! Ho svolto il seguente esercizio: Determinare i punti critici di $f$ e stabilire se sono massimi relativi, minimi relativi, o punti sella $f(x,y)=e^{-(x^2+y)}$ Dal sistema: [tex]\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial f}{x}=0\ \text{ovvero} \ -2xe^{-(x^2+y)}=0 \\ \frac{\partial f}{y}=0\ \text{ovvero} \ -e^{-(x^2+y)}=0 \end{array} \right.[/tex] Ne ho dedotto che i punti candidati (o critici?) sono del tipo $P_y=(0,y)$ La matrice Hessiana ...

Ciao a tutti, scusate la domanda stupida... se ho un'equazione differenziale lineare ordinaria di questa forma: \(\displaystyle g(y(t),y'(t),...,y^{(n)}(t))=f(t) \) allora è vero oppure falso che: \(\displaystyle g(y(t-t_0),y'(t-t_0),...,y^{(n)}(t-t_0))=f(t-t_0) \) Mi viene naturale rispondere sì, se immagino una qualunque combinazione lineare di operatori di derivazione, ma non sono convinto che sia inattaccabile come risposta. Non è che la tempo-invarianza va inserita proprio come ...

Buongiorno, ho un problema con questo integrale improprio: $\int_{\pi/2}^{+\infty}\frac{sinx}{x^\alpha}dx$ Non ho avuto problemi nella discussione della convergenza se non nel caso di $\alpha<0$. Viene proposta questa soluzione ($\beta=-\alpha$) : $\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}x^{\beta}sinxdx >= (2k\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow +\infty$ $\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}x^{\beta}sinxdx <= ((2k-1)\pi)^\beta \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} sinx dx = ... \rightarrow -\infty$ Non riesco a capire quelle minorazioni e maggiorazioni, non capisco da che teoremi sull'integrazione vengano. Ho provato a vedere su svariati libri ma tirare fuori dall'integrale una funzione che ne moltiplica un'altra non lo avevo mai ...

Salve ragazzi, vi chiedo scusa in anticipo se la domanda è un po' sciatta e confusionaria. Spero si capisca. Non mi è chiaro un passaggio nella dimostrazione del teorema ponte e nelle sue applicazioni (credo sia strettamente correlato). Il teorema ponte afferma che: Sia $A\inR$. sia $f:A->R$ una funzione di A in R. Sia $x_0 \in Dr(A)$. Sia $l \in bar(R)$. Vale la seguente equivalenza: $ \exists lim_(x->x_0) f(x) = l hArr $ per ogni successione di elementi di $A-{x_0} t.c. lim_(n->+oo) a_n =x_0$ risulta che: ...

Buona sera, ho un problema con questo integrale improprio: $\int_{\pi/2}^{+\infty} \frac{(sinx)^2}{x}$ Ho provato a riscrivere il seno quadrato tramite $cos(2x)=1-2sin^2x$ ma non ci salto fuori. Nelle soluzioni dice di integrare per parti per trovare due integrali i quali uno converge e uno diverge ma non riesco. Probabilmente ci sarà un trucchetto coi seni e coseni che però mi sfugge. Grazie in anticipo per le risposte.

Ciao a tutti ragazzi , stavo svolgendo un'integrale di Analisi I, e non riesco a capire come venga effettuata questa sostituzione: Integrale: $ int cosx/(1+cosx)dx $ Come Sostituzione viene applicata: $ t=tan(x/2) $ , da cui: $ cosx=(1-t^2)/(1+t^2) $ e quindi : $ dx=(2dt)/(1+t^2) $ Potreste spiegarmi questo procedimento?

Ciao, ho questa serie da studiare $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^5}{e^{sqrt(n)}}$ e ho provato col criterio del rapporto non cocnludendo nulla. Dunque l'unico modo è usare il teorema del confronto ma non so come maggiorare o minorare $e^{sqrtn}$. Avete suggerimenti?

Ciao a tutti, da pochi giorni le classi quinte di molti licei scientifici hanno affrontato la simulazione di seconda prova dell'esame di Stato proposta da Zanichelli, ed un quesito riguardava l'applicabilità del teorema in oggetto su una coppia di funzioni in un intervallo assegnato. E qui mi sono venuti dei dubbi: ho fatto un po' di ricerche in rete e ho trovato molto spesso la tesi espressa nella forma: $f'(xi)*[g(b)-g(a)]=g'(xi)*[f(b)-f(a)]$, rispetto alla quale l'ipotesi che una delle due funzioni sia a ...

Premesso il teorema sulla derivabilità termine a termine delle serie di funzioni: Sia $IsubR$ un Intervallo e siano $f_n:I->R$ derivabili in I , per n=1,2,3,... Supponiamo che: 1. la serie di funzioni: $sum f_n(x)$ converge $AA x in I$ 2. la serie delle derivata: $sum f'_n(x)$ converge totalmente in I Allora , detta $f(x)$ la somma della serie: sum $f_n(x)$, si ha che: 1. f è derivabile in I 2. la sua derivata prima è : ...

Sarà anche una questione di lana caprina ma vorrei chiedervi aiuto per capire il senso della seguente cosa. La definizione di limite è Sia $A \subset R, A != 0$ Sia $f:A->R$ una funzione. Sia $x_0$ punto di accumulazione per A in R ampliato. Sia $L\in bar(R)$. Si dice che f(x) tende a l per x tendente a $x_0$ se: $\forall V \in I_L, \exists U \in I_(x_0) t.c. \forall x \in U\cap A-{x_0} : f(x) \in V$ Perché si specifica che x deve appartenere a $U\cap A-{x_0}$? Non sarebbe sufficiente dire $\forall x \in U-{x_0}$ ? Se ...

Salve a tutti, ho una domandina veloce sulla corretta notazione da usare. Ho risolto il seguente integrale: $ int_(z_0)^(z) dz/(T-bz) $ dove $ T $ e $ b $ sono costanti, con il seguente cambio di variabile $ u=T-bz $. Mi chiedo, se è possibile lasciare gli estremi originali cioè $ int_(z_0)^(z) (du)/(-bu) $ visto che poi dalla $ -1/b lnu\|_(z_0)^(z) $ ritorno alla variabile originale $ -1/b ln(T-bz)\|_(z_0)^(z) $ . Oppure, devo cambiare anche gli estremi di integrazione, e in quel caso ...

Ciao ragazzi , sto svolgendo una vecchia prova del compito di analisi , precisamente un'integrale del tipo: $ int 2/(1+tanx)^2 dx $ A questo punto punto si effettua la sostituzione : $ tanx=t $ , da cui: $ dx=1/(1+t^2) $ E poi si risolve l'integrale con Hermite , e in quella parte sono ferrato. Solo che non capisco una cosa : Quando vado a cambiare il differenziale , non dovrebbe essere la derivata di $ tanx $ ? Cioè $ 1/cos^2x $ ? Questo è un passaggio che mi ...