Analisi matematica di base

Se ho un sistema di equazioni differenziali (in fisica per esempio c'era un esercizio con due equazioni del primo ordine per il campo magnetico e il campo elettrico accoppiate) posso derivare un'equazione (o entrambe) per ottenere la soluzione? Oppure potrei ottenere una soluzione particolare e non quella generale? Lo chiedo perchè appunto mi era capitato quell'esercizio di fisica in cui si derivava una delle due equazioni per disaccoppiarle e risolvere poi il sistema, ma mi era venuto il ...

Per arrivare al teorema della radice ennesima reale di un numero positivo il mio testo di Analisi si serve di un teorema sugli zeri di un polinomio a coefficienti reali, per cui si serve di un altro lemma che recita: Sia \(P(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i \) un polinomio a coefficienti reali. Se per un certo \(x_0 \in R\) si ha \(P(x_0) > 0\), allora esiste un intorno \(I(x_0, r)\) di \(x_0\), tale che, per ogni \(x \in I(x_0, r)\), risulta \(P(x) > 0\). Segue da precedenti ...

Cari analisti, dopo molta fatica sono riuscito a mostrare che una primitiva di $sqrt(x^2-1)/(x^2)$ è $ln(|x+sqrt(x^2-1)|)-sqrt(1-1/(x^2))$ Tuttavia poi l'ho messo su Wolfram Alpha e mi ha risposto così. Lo riporto qui: $-(sqrt(x^2-1) ((x sin^(-1)(x))/(sqrt(1-x^2)) +1))/x$ Non ha proprio senso, a cominciare dal fatto che compaiono sia $sqrt(x^2-1)$ che $sqrt(1-x^2)$. Sembra che sia passato a una formulazione coi numeri complessi e che però poi non sia riuscito a tornare ai reali. E' una delusione per me, avevo sempre contato su ...

Ciao a tutti! Sia $f:(a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione a valori positivi ed asintoticamente equivalente all'infinito campione $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}$ per $x \to a^+$, allora $\int_a^b f(x)dx$ converge $iff \int_a^b\frac{1}{(x-a)^{\alpha}dx$ converge $iff \alpha <1$. Cosa dire però nel caso in cui la funzione sia illimitata nell'altro estremo di integrazione, ovvero $f:[a,b) \to \mathbb{R}?$ Esiste un'equivalente "infinito campione" con cui confrontare la funzione integranda? Ad esempio, nella soluzione di un esercizio ho ...

Buongiorno, mi sono bloccato con il seguente limite $lim_((x,y) to (0,0))(x^2y)/(x^4+y^2)$. In particolare, passando alle coordinate polari ottengo $f(x,y)=f(rho,beta)=(rho^2cos^2(beta)sin(beta))/(rho^4cos^4(beta)+sin^2(beta))$ ora la funzione $f(rho,beta) $tende a zero quando $rho$ tende a zero, per ogni $beta in[0,2pi]$, però non uniformemente. L'autore per dimostrarlo procede nella seguente maniera, considera la curva $y=x^2$ per cui $rho=sin(beta)/cos^2(beta)$, dopodiché valuta la funzione con tale valore, per cui ottiene $f(rho,beta)=1/2$ essendo ...

Ciao a tutti, sono al primo anno di matematica e mi servirebbe un aiuto con alcune dimostrazioni In particolare, vorrei dimostrare che, dati due insiemi non vuoti $A,B sube RR$ separati con $a <= b AA a in A, AA b in B$ Gli insiemi sono classi contigue di numeri reali, quindi vale la proprietà $AA \epsilon>0 EE a in A, b in B : b-a< \epsilon$ (1) $iff$ l'elemento separatore è unico, quindi $EE! k: a<=k<=b AA a in A, AA b in B$ (2) $iff$ InfB=SupA (=k) (3) Per quanto riguarda 1 $=>$ 2 ho trovato una ...

Mi aiutate a risolverlo please?

Buona sera, la mia probabilmente è una domanda banale, ma preferisco togliermi il dubbio. Il primo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che data una funzione $ f:[a,b]->R $ continua in $ (a,b) $ e definita la sua funzione integrale come $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt $ con $ x in [a,b] $, allora $ F'(x_0) = f(x_0) $ con $ x_0 in [a,b] $. Ma se invece avessi $ F(x) = \int_{x}^{a} f(t) dt $ (gli estremi di integrazione sono sbagliati), è corretto affermare che $ F'(x_0) = -f(x_0) $ con ...

Salve, non riesco a risolvere questo esercizio. Non ho la funzione, ho solo il grafico (in foto). Mi è richiesto di stimare il limite tendente a -infinito di f(x)-x. Non ho idea di come si svolga. Grazie!

Ciao, mi sa che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua..ma non riesco a capire come questa serie converga. $ sum_(n = 2)^(∞)1/(nlog(n!) $ Ho provato il criterio del rapporto, di condensazione di Cauchy, del confronto etc... ma niente. Qualche suggerimento? Grazie

salve. Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ infinitamente derivabili sui reali. Se esiste un punto $x_0$ in cui $f(x_0)=g(x_0)$ e $f^((n))(x_0)=g^((n))(x_0)$ per ogni n naturale (dove $f^((n))$ è la derivata n-esima), si può affermare che le due funzioni sono uguali? A me sembra di si, ma non sono sicuro e non saprei proprio come approcciare il problema in modo più rigoroso. grazie mille

Consideriamo l'integrale $\int_0^1x(1-x)abs(x-x_1)$, io pensavo di semplificarlo cosi: $\int_0^1x(1-x)abs(x-x_1)=\int_0^{x_1}x(1-x)(x_1-x)+\int_{x_1}^1x(1-x)(x-x_1)$, può andare bene?

Salve! Vi propongo una dimostrazione del seguente teorema Teorema Una successione di numeri reali $(a_n)$ è convergente se e solo se verifica la condizione di Cauchy. =============================================== Mi interessa capire se la dimostrazione è valida oppure no. =============================================== Dimostrazione La condizione è necessaria: se infatti $\lambda$ è il limite della successione allora per ogni ...

Salve ragazzi. Stavo studiando come "smontare" il teorema di Fermat e una delle condizioni in cui cade è quella in cui data $f:A->R$ e $x_0$ punto interno ad $A$, tale $x_0$ non è né un punto di massimo né un punto di minimo locale. C'è scritto che si possono trovare diversi casi di punti interni dove la funzione non ha derivata nulla. Non riesco ad immaginarmi una funzione simile, avreste qualche esempio? Grazie mille!

Ciao, l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione è lipschitziana. $ f:(0,∞) -> R, f(x)=x^(1/x) $ Ho calcolato la sua derivata $ f'(x)=x^(1/x)(-(logx+1)/x^2) $ così ho visto che la funzione ha il sup $ e^(1/e) $ . Per dimostrare che è lipschitiziana pensavo di mostrare che la derivata è limitata, ma non so come fare. So che $ x^(1/x)<=e^(1/e) $ , ma il problema ce l'ho quando cerco un limite per $ (-(logx+1)/x^2)$ Qualche suggerimento? Grazie

Consideriamo la funzione $omega(x)=x^3-xalpha^2$ in $[a,b]$, vogliamo trovare il massimo e minimo di $omega$ in $[a,b]$, facendo la derivata prima e imponendola uguale a $0$ si trovano due punti critici $pmalpha/sqrt(3)$, ora io concluderei che per Weiestras abbiamo che esistono un punto di massimo e un punto di minimo, siccome abbiamo solo due punti critici (una volta calcolati i valori in $omega$) sappiamo stabilire chi dei due è massimo e chi è ...

Ciao a tutti! Non riesco a capire un passaggio in una dimostrazione Per ipotesi ho che $ |f'(p)|<1 $ , \( f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R \) Considerato il numero \( a= (1+|f'(p)|)/2 \) , si ha ovviamente che \( |f'(p)|

Ciao, devo chiedervi un chiarimento. Il quesito è: Sia $ k in N $ e sia $ f $ la funzione definita in un intorno di zero dalla formula $ f(x) = int_(0)^(x) (e^(-t^2)-t^k-1) dt $ a) Per quali $ k $ l'ordine di infinitesimo di $ f $ in $ x_0=0 $ è $ 3 $ ? b) Per quali $ k $ risulta che $ lim_(x -> 0) (f(x)+f(-x))/(absx^alpha)=0 $ per ogni $ alpha > 0 $ ? Per la prima domanda ho provato a svolgere l'integrale ma non ci sono riuscito. Ho trovato qui sul ...

Sia $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ tale che $\int_1^{+\infty} |f'(x)|dx < +\infty$ Dimostrare che $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ esiste $\iff$ $\lim_{n \to +\infty} \int_1^n f(x) dx$ esiste. Dall'ipotesi deduco che $\int_1^{+\infty} f'(x)dx = lim_{x\to+\infty}f(x) -f(1)$ esiste ed è finito. Sia $L = lim_{x\to+\infty}f(x) $ 1) $L>0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = +\infty$ ...ma poi? 2) $L<0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = -\infty$ ...ma poi? 3)$L=0$ il limite non mi dice nulla: Definisco $F$ tale che $F(x) = \int_1^x f(t)dt$. Bisogna dimostrare che $\lim_{x\to +\infty}F(x)$ esiste ...

Buongiorno, Avrei bisogno di una funzione la cui derivata tende a più infinito quando x si avvicina a zero. La funzione radice quadrata ne è un esempio. Mi chiedevo se lo fosse anche la funzione tangente iperbolica, anche se dal grafico non sembra. C'è un modo per modificarla per ottenere la caratteristica da me evidenziata?