Analisi matematica di base
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$f(x,y)=e^{x+y}(x+y)$
[*:1aptg28k]Determinare l'insieme di livello di $f$ di quota $0$ e disegnarlo[/*:m:1aptg28k][/list:u:1aptg28k]
sarebbe $A = \{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x+y=0\}$ ?? (visto che l'esponenziale non è mai nullo)
Cioè la bisettrice passante per il $II$ e $IV$ quadrante? ($y=-x$)
È cosi semplice?
Grazie!

$\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n}$
Criterio del rapporto e della radice non concludono.
Ho provato a sostituire il logaritmo con la radice quadrata, ma non concludo lo stesso.
Rimarrebbe il test dell'integrale, ma spero ci sia un'alternativa più immediata
Grazie
Ciao a tutti, ho un dubbio che riguarda la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale.
Considerando, ad esempio:
$(1)$ $\frac{2x+5}{x^2-1}=\frac{2x+5}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
$(2)$ $\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
Perché nelle frazioni parziali il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore? C'è una dimostrazione che mi permetta di verificare ciò?
Ad esempio, nel caso $(2)$ ho notato che se al numeratore della seconda frazione parziale ci fosse una ...
Dimostrare che $AAtin(0,2pi)$ la serie $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ converge.
Io ho fatto cosi: intanto riscrivo $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ come $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$. Da qui uso il teorema di Abel-Dirichlet sulle due serie che dice: Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che: le somme parziali $s_n$ di $a_n$ sono limitate, ossia $EEM>0$ tale che $|s_n|<=M$ $AAninNN$ dove $s_n=a_1+...+a_n$, $b_n$ tende a $0$ per ...
Ciao a tutti io partendo dalla funzione $f_k = \frac{x^k}{k!} $ sono riuscito a fare vedere, tramite il teorema di integrabilità termine a termine su un intervallo $[-a, a]$ che vale la relazione $sinh(a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ dispari.
Io vorrei usare la stessa strada per dimostrare la relazione $ cosh(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ pari.
Tuttavia non so che $f_k$ utilizzare o che passaggio non riesco a completare.
Il mio problema sta nel fatto che quando faccio ...
Stavo studiando la definizione di massimo e minimo limite e mi sono sorti dei dubbi sul modo in cui viene costruita. Vi scrivo di seguito il tutto.
Sia $(a_n)$ una successioni di numeri reali limitata superiormente. Poniamo $\forall k \in N, A_k ={a_n|n>=k}$.
Risulta che $A_0 \sup A_1 \sup A_2 ... \sup A_k$
e che $\forall k \in N A_k$ è limitato superiormente essendo (a_n) limitata superiormente.
Per il teorema di esistenza dell'estremo superiore $\exists Sup A_k \in R \forall k \in N$.
Poniamo $\forall k in N L_k =SupA_k$
Osserviamo che la successione ...
Salve a tutti, come risolvo questo esercizio?
Grazie a chi mi aiuterà
Salve a tutti, come risolvo questo esercizio?
Grazie a chi mi aiuterà

Ho un problema con lo studio del comportamento della seguente serie:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{sqrt{n}log(n^3))$
La soluzione sarebbe osservare che $logn = o(sqrt{n})$ per n che tende a infinito e perciò avere che $sqrt{n}log(n^3)=3sqrt{n}logn=o(n)$.
A questo punto si osserva semplicemente che $ 1/n =o(\frac{1}{sqrt(n)log(n^3)})$ e dato che la serie di 1/n diverge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie di partenza diverge.
Ora, riflettendo anche su altri esercizi dove si considerava il logn un o piccolo di altre potenze di n, dove ...
Salve, avrei bisogno di aiuto nella compresione di questa proposizione:
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali tale che:
$\forall n \in N, a_n!=0$
$\exists lim a_n=a \in R , a!=0$
allora
$\exists lim 1/a_n = 1/a$
La dimostrazione procede così:
Valutiamo $1/a_n -1/a = (a-a_n)/(a_n*a) = 1/(a*a_n) *(a-a_n)$
Poiché esiste il limite di $a_n$ ed è in R allora $(a_n-a)_(n\in N)$ è infinitesima
Inoltre poiché esiste il limite di a_n si ha che $(1/a_n)_(n \in N)$ è limitata.
Questa è la prima cosa che non ho capito. Come deduce che ...

Dimostrare che non esiste $\lim_(n->+\infty)sin(n^2)$.

i)Si calcoli la serie di fourier associata ad una funzione f(x): R-->R ottenuta prolungando per periodicità $f(x)=x^4$ con $x in (-pi,pi]$ e si discutano le proprietà di convergenza.
ii) Successivamente, usando l'uguaglianza: $ sum(1/n^2) =pi^2/6 $, trovare la somma della serie : $sum 1/n^4$
Non ho capito il secondo punto dell'esercizio.
Bisogna usare l'uguaglianza di parseval?

Premessa: l'integrale l'ho risolto utilizzando la formula di werner.
Ho provato a risolvere il suddetto integrale "per parti".
$ int_(0)^(x) sin(x-t) sint dt $
$= [sint (-cos(x-t))/-1]_(0,x)-int_0^x cost (-cos(x-t))/-1 dt$
$=sinx-{[cost sin(x-t)/-1]_(0,x) - int_0^x (-sint)sin(x-t)/-1 dt}$
$=sinx-{sinx-int_0^x sint sin(x-t)dt}$
$=int_0^x sint sin(x-t)dt$
DOMANDA:
Siccome primo e secondo membro si annullano,
questo mi sta a suggerire che: "quell'integrale non si può risolvere procedendo 'per parti'" ?
Oppure, ho sbagliato qualche calcolo e l'integrale si può risolvere per parti ?

Ciao ragazzi , mi sono imbattuto nel Teorema dei Valori Intermedi :
Se:
1)A è connesso
2)f è continua
Tesi
Se f assume due valori, allora f assume anche tutti i valori intermedi.
La mia domanda è:Questa proprietà vale anche per qualche funzione non continua?

Studiare la convergenza della serie $\sum_{n=1}^infty \frac{\cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n}$
Posso semplicemente dire che $\frac{\cos(n)+5+n e^n}{n^2e^n+e^n} \~ \frac{1}{n}$
(essendo $\cos(n)\~n$ e $e^n\~1$)
e quindi la serie diverge per il criterio del confronto asintotico?

Salve a tutti , sto studiando per l'esame di Analisi I, E mi sono imbattuto in due teoremi che vengono chiesti parecchio: il Teorema di Conservazione della Compattezza e della Connessione.
Teorema della conservazione della Compattezza:
Ipotesi:
1)A è un'insieme compatto.
2)f continua in A.
Tesi: f(A) è un compatto.
A questo punto il professore chiede un'osservazione:
Questo Teorema caratterizza le funzione continue?
La risposta sarebbe NO , ma qualcuno può spiegarmi cosa significa questa ...

Ciao ragazzi , sto studiando la Continuità Uniforme per il corso di Analisi I, e vedo che la definizione è molto simile a quella di continuità semplice. Qualcuno potrebbe spiegarmi la differenza tra le 2 ? Grazie in Anticipo.

Data la funzione 4-periodica definita da
$ f(x) :={ ( x^2, ", se " 0<=x<=1),( 1, ", se " 1<=x<=2):} $
e riflessa pari in $[-2,0]$
Scrivere lo sviluppo associato a questa funzione
Mio risultato: $f(x)= 2/3 + 8/pi^2 sum_(k =1) 1/k^2 {cos(kpi/2 )-2/(kpi)sin(kpi/2)}cos(kpi/2x) $ $AAx in[-2,2]$
Risultato del testo: $f(x)= 1/3 + 8/pi^2 sum_(k =1) 1/k^2 {cos(kpi/2 )-2/(kpi)sin(kpi/2)}cos(kpi/2x) $ $AAx in[0,2]$
Vorrei sapere perché il testo si trova un $a_0$ diverso
e perché considera l'intervallo $[0,2]$ nonostante la riflessa "viva" in $[-2,2]$

Buoongiorno
Posto un esercizio che faccio fatica a risolvere (credo sia da trovare il modo migliore di integrazione):
Ho la funzione:
\[ f_p=\frac{x^{1/3}}{(x^2+y^2)^p} \]
e mi chiedo per quali $p$ la funzione sia Lebesgue integrabile in $E$ ($f_p \inL (E)$) con:
\[ E=\{0 \leq y \leq x^4 \leq 1\} \]
Il passaggio in coordinate polari sembra complicare l'espressione dell'insieme $E$, pur "semplificando" l'espressione di $f_p$. ...

Salve a tutti ragazzi , sto trovando delle difficoltà nella preparazione dello scritto di Analisi I , e uno dei quesiti più ricorrenti , è quello di determinare l'ordine di infinitesimo di una o più funzioni.
La teoria l'ho capita , ma non capisco come si risolvono questo tipo di esercizi. Un'esercizio tipo è il seguente:
Data la seguente funzione:
$$f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}+\log(\sqrt{9+x}-2)$$
Adesso allego anche lo svolgimento ...