Analisi matematica di base

Prima Parte: $ lim_(x -> 0) 1/(tanx/x*x)*log(1-1+(1+sin^2 3x)/(1-x)) =\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\tan x}{x} \cdot x}\log\left(1+\frac{x+\sin^2 (3x)}{1-x}\right)$ Seconda Parte: $ lim_(x -> 0) 1/((tanx/x)*x)*(log(1+((x+sin^2 3x)/(1-x)))/((x+sin^2 3x)/(1-x)))*[(x/(1-x))+(sin^2 3x)/(9x^2)*((9x^2)/(1-x))]$ $=lim_(x -> 0) 1/(tanx/x)*(log(1+((x+sin^2 3x)/(1-x)))/((x+sin^2 3x)/(1-x)))*[(1/(1-x))+(sin^2 3x)/(9x^2)*((9x)/(1-x))] $ Chiedo scusa intanto ai moderatori per l'immagine. Sto svolgendo questo esercizio di Analisi , tengo a precisare che il nostro professore vuole che venga risolto con i limiti notevoli . Ho due passaggi che non capisco nello svolgimento: 1)Una volta che moltiplico per 1 e -1 dentro le parentesi tonde, come fa un 1 a sparire e a far diventare l'1 che sta nella frazione (a numeratore) una x? 2)Vorrei capire ...

Ho un dubbio sulla definizione di funzione regolare a tratti. def(funzione regolare a tratti):

Buonasera, sto provando a verificare, che il $lim_{x to + infty} sin(x)$ non esiste. In particolare vorrei provare questo fatto applicando la definizione di limite, la quale dovrebbe diventare, cioè riscrivendola, in modo da dire che tale funzione non ha limite, quindi, devo distinguere due casi, cioè convergenza oppure divergenza. Considero caso convergenza: $exists epsilon>0 \ : \ forall x in RR \ exists x' ge x \ : \ |sin(x')-l|ge epsilon $ quindi, devo verificare che è vera, con $l in [-1,1]$. vi chiedo, seguendo questa strategia, l'impostazione risulta ...

Questo genere di esercizi son sempre riuscito a farli, ma in questo caso proprio non c'è verso. È da ieri sera che ci provo e niente! Evidentemente sto sbagliando strategia, forse ho sempre usato una strategia poco furba che in questo caso mostra i suoi punti deboli, boh! Determinare il polinomio di Taylor centrato in $0$ e di ordine $4$ di $f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$ Io son partito così (come ho sempre fatto e come ha sempre funzionato fino a due giorni ...

Salve. Vorrei, senza svolgere i conti, arrivare intuitivamente a capire perché il mio professore ha detto che questa funzione $f(x): 1/(tsqrt(t-1))$ è sommabile, quindi $inL^1(1,+infty)$, ma $notinL^2(1,+infty)$. Per quale motivo? Cioè facendo il modulo ed elevando al quadrato otterrei $1/(t^2(t-1))$ per $x\to +infty$ perché non converge? Grazie a chiunque possa aiutarmi!

Se sto abusando del forum fatemelo sapere, soprattutto ora che a qualcuno devo aver dato fastidio... $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\arctan(n)}{n}$ La convergenza semplice son riuscito a dimostrarla con il criterio di Leibniz, ma non riesco a dimostrare la non convergenza assoluta. In realtà mi è venuta in mente in'idea proprio ora che sto scrivendo, ma non so se è giusta: $\sum_{n=1}^\infty \frac{\arctan(n)}{n} > \sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n} \forall n\geq1$ Il carattere della serie dipende dalla sua coda, quindi $\sum_{n=1}^\infty \frac{0.5}{n}$ si comporta come $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ che è la serie ...

$f(x,y)=e^{x+y}(x+y)$ [*:1aptg28k]Determinare l'insieme di livello di $f$ di quota $0$ e disegnarlo[/*:m:1aptg28k][/list:u:1aptg28k] sarebbe $A = \{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x+y=0\}$ ?? (visto che l'esponenziale non è mai nullo) Cioè la bisettrice passante per il $II$ e $IV$ quadrante? ($y=-x$) È cosi semplice? Grazie!

$\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln(\frac{n+1}{n})}{n}$ Criterio del rapporto e della radice non concludono. Ho provato a sostituire il logaritmo con la radice quadrata, ma non concludo lo stesso. Rimarrebbe il test dell'integrale, ma spero ci sia un'alternativa più immediata Grazie

Ciao a tutti, ho un dubbio che riguarda la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale. Considerando, ad esempio: $(1)$ $\frac{2x+5}{x^2-1}=\frac{2x+5}{(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$ $(2)$ $\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ Perché nelle frazioni parziali il numeratore deve essere esattamente di un grado in meno rispetto al denominatore? C'è una dimostrazione che mi permetta di verificare ciò? Ad esempio, nel caso $(2)$ ho notato che se al numeratore della seconda frazione parziale ci fosse una ...

Dimostrare che $AAtin(0,2pi)$ la serie $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ converge. Io ho fatto cosi: intanto riscrivo $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ come $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$. Da qui uso il teorema di Abel-Dirichlet sulle due serie che dice: Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che: le somme parziali $s_n$ di $a_n$ sono limitate, ossia $EEM>0$ tale che $|s_n|<=M$ $AAninNN$ dove $s_n=a_1+...+a_n$, $b_n$ tende a $0$ per ...

Ciao a tutti io partendo dalla funzione $f_k = \frac{x^k}{k!} $ sono riuscito a fare vedere, tramite il teorema di integrabilità termine a termine su un intervallo $[-a, a]$ che vale la relazione $sinh(a) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ dispari. Io vorrei usare la stessa strada per dimostrare la relazione $ cosh(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!}$ per $k$ pari. Tuttavia non so che $f_k$ utilizzare o che passaggio non riesco a completare. Il mio problema sta nel fatto che quando faccio ...

Stavo studiando la definizione di massimo e minimo limite e mi sono sorti dei dubbi sul modo in cui viene costruita. Vi scrivo di seguito il tutto. Sia $(a_n)$ una successioni di numeri reali limitata superiormente. Poniamo $\forall k \in N, A_k ={a_n|n>=k}$. Risulta che $A_0 \sup A_1 \sup A_2 ... \sup A_k$ e che $\forall k \in N A_k$ è limitato superiormente essendo (a_n) limitata superiormente. Per il teorema di esistenza dell'estremo superiore $\exists Sup A_k \in R \forall k \in N$. Poniamo $\forall k in N L_k =SupA_k$ Osserviamo che la successione ...

Salve a tutti, come risolvo questo esercizio? Grazie a chi mi aiuterà

Salve a tutti, come risolvo questo esercizio? Grazie a chi mi aiuterà

Ho un problema con lo studio del comportamento della seguente serie: $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{sqrt{n}log(n^3))$ La soluzione sarebbe osservare che $logn = o(sqrt{n})$ per n che tende a infinito e perciò avere che $sqrt{n}log(n^3)=3sqrt{n}logn=o(n)$. A questo punto si osserva semplicemente che $ 1/n =o(\frac{1}{sqrt(n)log(n^3)})$ e dato che la serie di 1/n diverge, per il criterio del confronto asintotico anche la serie di partenza diverge. Ora, riflettendo anche su altri esercizi dove si considerava il logn un o piccolo di altre potenze di n, dove ...

Salve, avrei bisogno di aiuto nella compresione di questa proposizione: Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali tale che: $\forall n \in N, a_n!=0$ $\exists lim a_n=a \in R , a!=0$ allora $\exists lim 1/a_n = 1/a$ La dimostrazione procede così: Valutiamo $1/a_n -1/a = (a-a_n)/(a_n*a) = 1/(a*a_n) *(a-a_n)$ Poiché esiste il limite di $a_n$ ed è in R allora $(a_n-a)_(n\in N)$ è infinitesima Inoltre poiché esiste il limite di a_n si ha che $(1/a_n)_(n \in N)$ è limitata. Questa è la prima cosa che non ho capito. Come deduce che ...

Dimostrare che non esiste $\lim_(n->+\infty)sin(n^2)$.

i)Si calcoli la serie di fourier associata ad una funzione f(x): R-->R ottenuta prolungando per periodicità $f(x)=x^4$ con $x in (-pi,pi]$ e si discutano le proprietà di convergenza. ii) Successivamente, usando l'uguaglianza: $ sum(1/n^2) =pi^2/6 $, trovare la somma della serie : $sum 1/n^4$ Non ho capito il secondo punto dell'esercizio. Bisogna usare l'uguaglianza di parseval?

Premessa: l'integrale l'ho risolto utilizzando la formula di werner. Ho provato a risolvere il suddetto integrale "per parti". $ int_(0)^(x) sin(x-t) sint dt $ $= [sint (-cos(x-t))/-1]_(0,x)-int_0^x cost (-cos(x-t))/-1 dt$ $=sinx-{[cost sin(x-t)/-1]_(0,x) - int_0^x (-sint)sin(x-t)/-1 dt}$ $=sinx-{sinx-int_0^x sint sin(x-t)dt}$ $=int_0^x sint sin(x-t)dt$ DOMANDA: Siccome primo e secondo membro si annullano, questo mi sta a suggerire che: "quell'integrale non si può risolvere procedendo 'per parti'" ? Oppure, ho sbagliato qualche calcolo e l'integrale si può risolvere per parti ?

Ciao ragazzi , mi sono imbattuto nel Teorema dei Valori Intermedi : Se: 1)A è connesso 2)f è continua Tesi Se f assume due valori, allora f assume anche tutti i valori intermedi. La mia domanda è:Questa proprietà vale anche per qualche funzione non continua?