Analisi matematica di base

Sia $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^1$ tale che $\int_1^{+\infty} |f'(x)|dx < +\infty$ Dimostrare che $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ esiste $\iff$ $\lim_{n \to +\infty} \int_1^n f(x) dx$ esiste. Dall'ipotesi deduco che $\int_1^{+\infty} f'(x)dx = lim_{x\to+\infty}f(x) -f(1)$ esiste ed è finito. Sia $L = lim_{x\to+\infty}f(x) $ 1) $L>0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = +\infty$ ...ma poi? 2) $L<0 \to \int_1^{+\infty} f(x)dx = -\infty$ ...ma poi? 3)$L=0$ il limite non mi dice nulla: Definisco $F$ tale che $F(x) = \int_1^x f(t)dt$. Bisogna dimostrare che $\lim_{x\to +\infty}F(x)$ esiste ...

Buongiorno, Avrei bisogno di una funzione la cui derivata tende a più infinito quando x si avvicina a zero. La funzione radice quadrata ne è un esempio. Mi chiedevo se lo fosse anche la funzione tangente iperbolica, anche se dal grafico non sembra. C'è un modo per modificarla per ottenere la caratteristica da me evidenziata?

Buongiorno. Ho una domanda sul calcolo del periodo di una funzione. A lezione il prof ha considerato una funzione $v(t)$ periodica di periodo $ T $, (di cui non conosciamo l'espressione analitica) quindi in sostanza si ha che $ v(t+T)=v(t) $ $ \forall t \in dom_v $ Dopo di che, abbiamo effettuato un cambio di variabili ponendo $ \theta=(2pi)/T*t $ e il prof ha detto che la funzione $v$ in $ \theta $ è diventata periodica di periodo ...

Ciao, il quesito è il seguente: per quali valori di $ alpha > 0 $ la serie $ sum_(n = 2)^ ∞ log(1+(-1)^n/n^alpha) $ converge? Pensavo di risolverlo ponendo $ lim_(n -> ∞ ) (-1)^n/n^alpha =0 $ Oppure cercavo di ricondurla a una serie armonica ma quel $ (-1)^n $ mi dava problemi. Ho anche provato a usare il criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno ma non ho un $ (-1)^n $ che moltiplica altro. La soluzione sarebbe $ alpha > 1/2 $ Grazie!

Buongiorno, sto provando a verificare Sia $f:[a, + infty) to RR$ tale che a)$f$ continua, b)$f$ ammette asintoto orizzontale di equazione $y=b$ Devo verificare che $f$ è uniformemente continua in $[a, + infty)$. Procedo cosi: siano $x, x_0 in [a, + infty)$ tali che $x_0=x+1/h$ con $h>0$. Considero $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|||f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|$ ora $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-b-f(x_0)+b| le|f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|$ grazie all'ipotesi b), inoltre, per la a) $|f(x)-b| in RR$, quindi $gamma := |f(x)-b|$, ...

Buongiorno, sto provando a capire quali sono i punti di discontinuità della funzione di Dirichlet su i razionali, cioè $f: RR to RR$, $f(x)=1$, se $x in QQ$, $f(x)=0$, se $x in RR\\QQ$ Procedo nel seguente modo: $x_0 in RR$ allora $x_0 in QQ \vee x_0 in RR\\QQ$, per cui $x_0 in QQ \to f(x_0)=1$, $x_0 in RR\\QQ \to f(x_0)=0$ In generale una funzione di variabile reale risulta essere continua in un punto $x_0$ se si verifica $lim_(x to x_0^-)f=f(x_0)=lim_(x to x_0^+)f$ Sia $x_0 in QQ$, ...

Salve ragazzi. Avrei bisogno di alcuni consigli per la risoluzione di alcuni tipi di integrali. In particolare $1)$ $int 1/(x^4+1) dx$. Per risolvere questo integrale ho prima completato il quadrato $(x^2)^2+1+2x^2-2x^2 = (x^2+1)^2-2x^2$ e poi l'ho visto come somma per differenza da cui $(x^2+1+2sqrt2x)(x^2+1-2sqrt2x)$. Quindi ho proceduto col metodo dei fratti semplici. Volevo sapere se questa è la via migliore o ci sono sistemi che riducono la mole di calcoli o in generale accorgimenti ...

Allora devo dimostrare che la funzione $f(x)={(0,if x<=0),(e^(-1/x),if x>0):}$ è $C^infty(RR)$ ma non è $C^\omega(RR)$. Se riuscissi a dimostrare che $f^((n))(0)=0$ per ogni $n>=0$, allora potrei dire che se per assurdo $f$ fosse reale analitica su $RR$ allora in un intorno aperto di $0$ si avrebbe che $f(x)=\sum_{n=0}^{+infty}f^(n)(0)/(n!)x^n$ ma allora $f$ sarebbe identicamente nulla in questo intorno aperto di $0$ e ciò è assurdo poichè se ...

Salve a tutti, mi sto cimentando nello studio degli integrali e mi sono bloccato nello svolgimento di questo integrale: [formule]\lmousetache(sin(x))/(cos(2x))[/formule] penso possa essere utile usare la il metodo di sostituzione ma non saprei come procedere onestamente. Suggerimenti sullo sviluppo? Grazie

$ arctan(x^2) $Ciao, non riesco a capire come trovare lo sviluppo di Taylor (con $ x_0=0 $ ) della funzione $ 1/arctan(x^2) $ Ho già provato a calcolare quello di $ arctan(x^2) $ che mi esce $ x^2-x^6/3 $ ma facendo poi il tutto alla -1 diventa $ 3/(3x^2-x^6) $ e sono punto a capo. Come posso fare? Grazie

Ciao, come si a trovare lo sviluppo di taylor di questa funzione con $ x -> ∞ $ ? $ (4pi^2x^4)/(2pi^2x^2+1) $ Il primo termine l'ho calcolato perché il denominatore è asintotico allo stesso senza il +1, ma fermandomi qui nella funzione dell'esercizio (questa che vi ho postato è solo una parte), mi si "elimina" questo primo termine dello sviluppo ( $ 2x^2 $ ). Da wolframalpha ho visto che il secondo termine sarebbe $ -1/pi^2 $ , ma non capisco come trovarlo. Grazie

Buongiorno, volevo chiedervi se la seguente idea, risulta essere fattibile. Sia $f: (a,b) to RR$ funzione monotona crescente, una tale funzione può avere al più punti di discontinuità di prima specie, escludendo gli estremi. Vorrei provare che la somma dei salti non può superare $f(b)-f(a)$. Ora ho questo l'ho provato in maniera diretta, cioè facendo cosi, suppongo che $x_0< x_1$ siano punti di discontinuità, allora devo verifcare che $s(x_0)+s(x_1) le f(b)-f(a)$, dove ...

Sia $f:RR^(n+m):->[-infty,+infty]$ una funzione sommabile, definiamo $f_+=max{f,0}$ e $f_(-)=max{0,-f}$. Abbiamo che $f_+,f_->=0$ e sono misurabili (può andar bene dire che lo sono poichè sia $f$ che $abs(f)$ sono misurabili poiche $f$ è sommabile?), allora possiamo applicare il teorema di riduzione di tonelli su $f_+$ e $f_-$ e si ha $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx$ e $\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx$ (con la notazione che $dL^n=dx$ e $dL^m=dy$). ...

Si ha che $f:[a, b]->RR^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti. Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max{||f_1(x)||_{RR^n},...,||f_n(x)||_{RR^n}}<=||f(x)||_{RR^n}<=||f_1(x)||_{RR^n}+...+||f_n(x)||_{RR^n}$ per ogni $x in[a,b]$. Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0<x_1,...,x_(p-1)<x_p=b}in\Omega[a,b]$ una scomposizione di $[a,b]$. Allora $AAiin{0,...,n}$ si ha $v(f_i,\sigma)=\sum_{k=1}^p||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}<=\sum_{k=1}^p||f(x_k)-f(x_(k-1))||_{RR^n}=v(f,\sigma)<+infty$ (poichè $f$ è a variazione limitata), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ e ...

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo questo esercizio: data la 1-forma differenziale $\omega = (-y^2)/((x-y)^2) \ dx + (2xy-y^2) / ( (x-y)^2) \ dy $ Dire se è vero che esiste un potenziale $U(x,y)$ definito su tutto $\RR^2 - {x \ne y} $, tale per cui $U(3,4)=U(4,3)$. Anzitutto si ha che la forma è di classe $C^1$ ed è chiusa in $\RR^2 - {x \ne y}$. Tuttavia, essendo il dominio sconnesso (in particolare con 2 componenti semplicemente connesse), ad occhio mi verrebbe da dire che la forma non è esatta in tutto il dominio, in ...

Buongiorno, è corretto il seguente esercizio? Grazie. Studiare la convergenza della seguente serie numerica. Se convergente, trovare $n_0$ tale che per $n \geq n_0$ la somma parziale $s_n$ approssimi la somma della serie a meno di 1/200. $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1}$$ Svolgimento: Osserviamo che per $n\geq 1$ risulta $$\sqrt{1+3n}-1\leq\sqrt{1+3n}\leq ...

Dati il punto A(1,1) e il vettore u(3,2) determinare le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che il lato AB e’ parallelo a u e che il baricentro coincide con l'origine. Nella soluzione dell'esercizio l'equazione della retta AB e’ un sistema con x=1+3t e y=1+2t e l'equazione della retta AC ha come equazione un sistema con x=1+2t' e y=1-3t' e non capisco come le abbiano trovate.

Buonasera, dalla lettura del secondo paragrafo di questa dispensa a cura del prof. Bini, si desume che l'interpolazione polinomiale, o quella di Lagrange, siano metodi di interpolazione lineare. Ho sempre pensato che l'interpolazione lineare consistesse nel definire la spezzata passante per i valori nodali. Mi sbaglio? Grazie a tutti per l'attenzione.

Ho risolto il seguente integrale ed è tutto giusto a meno di un segno, solo che non riesco a trovare l'errore. $\int (3e^x-5e^(2x))/(3e^(2x)+2e^x-16)$ Sostituisco con $y=e^x$ da cui $\int (3-5y)/(3y^2+2y-16) dy$ Scompongo il denominatore in $3(y-2)(y+8/3)=(y-2)(3y+8)$ da cui: $(3-5y)/(3y^2+2y-16) =A/(y-2)+B/(3y+8)=(3Ay+8A+By-2B)/(3y^2+2y-16)$ da cui il sistema ${ ( 3A+B=-5),( 8A-2B=3):}$ e trovo $A=-1/2 , B=-7/2$ Quindi l'integrale diventa $-1/2 \int 1/(y-2) dy -7/2 \int1/(3y+8) dy = -1/2log|y-2| -7/2*1/3*log|3y+8|+c$ da cui $-1/2log|e^x-2| -7/6*log(3e^x+8)+c$ Però il risultato è $-1/2log|2-e^x| -7/6*log(3e^x+8)+c$ Dove ho sbagliato? Grazie per l'aiuto!

Ciao, non trovo la dimostrazione del fatto che una funzione integrabile in un aperto limitato, e limitata sia sopra che sotto, è integrabile nel chiuso corrispondente. Voi sapreste come fare?