Analisi matematica di base
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Salve a tutti,
mi sto cimentando nello studio degli integrali e mi sono bloccato nello svolgimento di questo integrale:
[formule]\lmousetache(sin(x))/(cos(2x))[/formule]
penso possa essere utile usare la il metodo di sostituzione ma non saprei come procedere onestamente. Suggerimenti sullo sviluppo?
Grazie
$ arctan(x^2) $Ciao,
non riesco a capire come trovare lo sviluppo di Taylor (con $ x_0=0 $ ) della funzione $ 1/arctan(x^2) $
Ho già provato a calcolare quello di $ arctan(x^2) $ che mi esce $ x^2-x^6/3 $ ma facendo poi il tutto alla -1 diventa $ 3/(3x^2-x^6) $ e sono punto a capo.
Come posso fare?
Grazie
Ciao,
come si a trovare lo sviluppo di taylor di questa funzione con $ x -> ∞ $ ?
$ (4pi^2x^4)/(2pi^2x^2+1) $
Il primo termine l'ho calcolato perché il denominatore è asintotico allo stesso senza il +1, ma fermandomi qui nella funzione dell'esercizio (questa che vi ho postato è solo una parte), mi si "elimina" questo primo termine dello sviluppo ( $ 2x^2 $ ).
Da wolframalpha ho visto che il secondo termine sarebbe $ -1/pi^2 $ , ma non capisco come trovarlo.
Grazie
Buongiorno, volevo chiedervi se la seguente idea, risulta essere fattibile.
Sia $f: (a,b) to RR$ funzione monotona crescente, una tale funzione può avere al più punti di discontinuità di prima specie, escludendo gli estremi. Vorrei provare che la somma dei salti non può superare $f(b)-f(a)$.
Ora ho questo l'ho provato in maniera diretta, cioè facendo cosi, suppongo che $x_0< x_1$ siano punti di discontinuità, allora devo verifcare che $s(x_0)+s(x_1) le f(b)-f(a)$, dove ...
Sia $f:RR^(n+m):->[-infty,+infty]$ una funzione sommabile, definiamo $f_+=max{f,0}$ e $f_(-)=max{0,-f}$. Abbiamo che $f_+,f_->=0$ e sono misurabili (può andar bene dire che lo sono poichè sia $f$ che $abs(f)$ sono misurabili poiche $f$ è sommabile?), allora possiamo applicare il teorema di riduzione di tonelli su $f_+$ e $f_-$ e si ha $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx$ e $\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx$ (con la notazione che $dL^n=dx$ e $dL^m=dy$). ...
Si ha che $f:[a, b]->RR^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti.
Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max{||f_1(x)||_{RR^n},...,||f_n(x)||_{RR^n}}<=||f(x)||_{RR^n}<=||f_1(x)||_{RR^n}+...+||f_n(x)||_{RR^n}$ per ogni $x in[a,b]$.
Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0<x_1,...,x_(p-1)<x_p=b}in\Omega[a,b]$ una scomposizione di $[a,b]$. Allora $AAiin{0,...,n}$ si ha $v(f_i,\sigma)=\sum_{k=1}^p||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}<=\sum_{k=1}^p||f(x_k)-f(x_(k-1))||_{RR^n}=v(f,\sigma)<+infty$ (poichè $f$ è a variazione limitata), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ e ...
Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo questo esercizio:
data la 1-forma differenziale $\omega = (-y^2)/((x-y)^2) \ dx + (2xy-y^2) / ( (x-y)^2) \ dy $
Dire se è vero che esiste un potenziale $U(x,y)$ definito su tutto $\RR^2 - {x \ne y} $, tale per cui $U(3,4)=U(4,3)$.
Anzitutto si ha che la forma è di classe $C^1$ ed è chiusa in $\RR^2 - {x \ne y}$. Tuttavia, essendo il dominio sconnesso (in particolare con 2 componenti semplicemente connesse), ad occhio mi verrebbe da dire che la forma non è esatta in tutto il dominio, in ...
Buongiorno, è corretto il seguente esercizio? Grazie.
Studiare la convergenza della seguente serie numerica. Se convergente, trovare $n_0$ tale che per $n \geq n_0$ la somma parziale $s_n$ approssimi la somma della serie a meno di 1/200.
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1}$$
Svolgimento:
Osserviamo che per $n\geq 1$ risulta
$$\sqrt{1+3n}-1\leq\sqrt{1+3n}\leq ...
Dati il punto A(1,1) e il vettore u(3,2) determinare le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che il lato AB e’ parallelo a u e che il baricentro coincide con l'origine. Nella soluzione dell'esercizio l'equazione della retta AB e’ un sistema con x=1+3t e y=1+2t e l'equazione della retta AC ha come equazione un sistema con x=1+2t' e y=1-3t' e non capisco come le abbiano trovate.
Buonasera,
dalla lettura del secondo paragrafo di questa dispensa a cura del prof. Bini, si desume che l'interpolazione polinomiale, o quella di Lagrange, siano metodi di interpolazione lineare. Ho sempre pensato che l'interpolazione lineare consistesse nel definire la spezzata passante per i valori nodali. Mi sbaglio?
Grazie a tutti per l'attenzione.
Ho risolto il seguente integrale ed è tutto giusto a meno di un segno, solo che non riesco a trovare l'errore.
$\int (3e^x-5e^(2x))/(3e^(2x)+2e^x-16)$
Sostituisco con $y=e^x$ da cui
$\int (3-5y)/(3y^2+2y-16) dy$ Scompongo il denominatore in $3(y-2)(y+8/3)=(y-2)(3y+8)$ da cui:
$(3-5y)/(3y^2+2y-16) =A/(y-2)+B/(3y+8)=(3Ay+8A+By-2B)/(3y^2+2y-16)$ da cui il sistema
${ ( 3A+B=-5),( 8A-2B=3):}$ e trovo $A=-1/2 , B=-7/2$
Quindi l'integrale diventa
$-1/2 \int 1/(y-2) dy -7/2 \int1/(3y+8) dy = -1/2log|y-2| -7/2*1/3*log|3y+8|+c$ da cui
$-1/2log|e^x-2| -7/6*log(3e^x+8)+c$
Però il risultato è $-1/2log|2-e^x| -7/6*log(3e^x+8)+c$
Dove ho sbagliato?
Grazie per l'aiuto!
Ciao,
non trovo la dimostrazione del fatto che una funzione integrabile in un aperto limitato, e limitata sia sopra che sotto, è integrabile nel chiuso corrispondente.
Voi sapreste come fare?
Salve a tutti, avrei bisogno di una dritta sullo svolgimento di esercizi sugli sviluppi di Taylor e sulla "cura della scrittura".
Vi porto alcuni esempi così da poter semplificare la domanda e approfittarne per consigli sulle risoluzioni
1) Calcolare il polinomio di $f(x)=(1+3sin(2x))^(1/3)$ con centro $x_0=0$ e ordine $n=3$.
Per la risoluzione ho utilizzato semplicemente la formula di sviluppo per $siny$ con centro 0 e attuando le dovute sostituzioni per ...
Consideriamo la funzione $f(x,y)=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$ sull'insieme $(0,1)xx(0,1)$, abbiamo che $f(x)$ è ha segno qualunque su questo insieme e non è sommabile. Se provassimo ad applicare il teorema di Fubini e proviamo a calcolare i due integrali $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx$ e $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy$, osserviamo intanto che posto $h(x,y)=arctan(y/x)$ abbiamo che $f(x,y)=(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y)$ (siccome $h(x,y)$ è di classe $C^2$ ho usato il teorema di Schwartz), per cui si ha (usando il teorema di ...
Ciao a tutti, ho una curiosità più che altro. C'è qualche software o conoscete qualche modo per ottenere una funzione che risponda a determinate caratteristiche? Per esempio, io dovrei trovare una funzione che abbia la forma della funzione logaritmo, ma che nel punto di coordinate (0,0) abbia un valore della derivata infinito, e la cui derivata poi decresca sempre di più, fino ad appiattirsi per un certo valore del dominio.
Salve, sono bloccato da un pò di tempo col seguente integrale:
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (2x-6) \log(x)}{(x^2-6x+10)^2}} \)
Istintivamente ho provato per sostituzione notando che la derivata di \(\displaystyle(x^2-6x+10) \) risulta essere proprio \(\displaystyle {2x-6} \).
Assumendo \(\displaystyle(x^2-6x+10) = y \) e \(\displaystyle {2x-6} = dy \)
Riscrivendo il logaritmo mi ritroverei con qualcosa tipo:
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (dy) \log(?)}{(y)^2}} \)
A questo punto non ...
Siano $\gamma:[a,b]->RR^n$ e $\mu:[\alpha,\beta]->RR^n$ due cammini parametrizzati di classe $C^1$ e $C^1$-equivalenti, allora $l(\gamma)=l(\mu)$.
Io ho fatto così:
sia $\varphi:[a,b]->[\alpha,\beta]$ il $C^1$-diffeomorfismo tale che $\gamma(t)=\mu(\varphi(t))$ $AAtin[a,b]$.
Abbiamo che $l(\gamma)=\int_a^b||\dot \gamma(t)|| dt=\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt$. Ora siccome $\varphi(t)$ è un $C^1$-diffeomorfismo allora o è strettamente crescente o è strettamente decrescente per cui: $\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*abs(\varphi'(t)) dt={(\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t) dt ,if \varphi text{ è strettamente crescente}),(-\int_a^b||\dot \mu(\varphi(t))||*\varphi'(t)dt,if \varphitext{ è strettamente decrescente}):}$
In entrambi i casi applico ...
Ciao ragazzi , sto studiando un'esempio di funzione che ammette primitiva ma non integrabile , ed è la seguente:
$ f(x)={ ( x^2*sin(1/x^2);x!=0 ),( 0;x=0):} $
Ma non viene specificato il perchè , qualcuno può spiegarmi?
Ciao a tutti .
Mi sto esercitando su vecchi temi d'esame di Analisi 2 e c'è un esercizio sul lavoro di un campo lungo una curva che non riesco a risolvere.
Dato un campo F = (x-y-2z, 2x+3y-z, z+2y+ z), devo calcolare il lavoro lunga la curva γ: $ { ( x^2+y^2+z^2-8x-4y-2z+19=0 ),( x-y-z=1 ):} $
In generale dato un campo e una curva parametrizzata sono in grado di calcolare il lavoro, ma in questo caso non capisco come parametrizzare la curva. (La soluzione è L=2$ sqrt(3) $π )
Grazie.
Buongiorno a tutti, è un po' di giorni che sbatto la testa su questa equazione differenziale: $y'=e^y+y^2$ ma non riesco a venirne a capo. Ho provato a considerarla a variabili separabili ma viene infattibile. Inoltre non credo si possa usare il principio di sovrapposizione perché a destra dell'equazione non ho $f(x)$ e $g(x)$ ma $y(x)$. Qualcuno mi può dare un idea di come fare per favore? Grazie in anticipo
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