Analisi matematica di base

Buongiorno. Ho una domanda sul calcolo del periodo di una funzione. A lezione il prof ha considerato una funzione $v(t)$ periodica di periodo $ T $, (di cui non conosciamo l'espressione analitica) quindi in sostanza si ha che $ v(t+T)=v(t) $ $ \forall t \in dom_v $ Dopo di che, abbiamo effettuato un cambio di variabili ponendo $ \theta=(2pi)/T*t $ e il prof ha detto che la funzione $v$ in $ \theta $ è diventata periodica di periodo ...

Ciao, il quesito è il seguente: per quali valori di $ alpha > 0 $ la serie $ sum_(n = 2)^ ∞ log(1+(-1)^n/n^alpha) $ converge? Pensavo di risolverlo ponendo $ lim_(n -> ∞ ) (-1)^n/n^alpha =0 $ Oppure cercavo di ricondurla a una serie armonica ma quel $ (-1)^n $ mi dava problemi. Ho anche provato a usare il criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno ma non ho un $ (-1)^n $ che moltiplica altro. La soluzione sarebbe $ alpha > 1/2 $ Grazie!

Buongiorno, sto provando a verificare Sia $f:[a, + infty) to RR$ tale che a)$f$ continua, b)$f$ ammette asintoto orizzontale di equazione $y=b$ Devo verificare che $f$ è uniformemente continua in $[a, + infty)$. Procedo cosi: siano $x, x_0 in [a, + infty)$ tali che $x_0=x+1/h$ con $h>0$. Considero $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|||f(x)-f(x_0)|/|x-x_0|$ ora $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-b-f(x_0)+b| le|f(x)-b|+|f(x_0)-b|<2|f(x)-b|$ grazie all'ipotesi b), inoltre, per la a) $|f(x)-b| in RR$, quindi $gamma := |f(x)-b|$, ...

Buongiorno, sto provando a capire quali sono i punti di discontinuità della funzione di Dirichlet su i razionali, cioè $f: RR to RR$, $f(x)=1$, se $x in QQ$, $f(x)=0$, se $x in RR\\QQ$ Procedo nel seguente modo: $x_0 in RR$ allora $x_0 in QQ \vee x_0 in RR\\QQ$, per cui $x_0 in QQ \to f(x_0)=1$, $x_0 in RR\\QQ \to f(x_0)=0$ In generale una funzione di variabile reale risulta essere continua in un punto $x_0$ se si verifica $lim_(x to x_0^-)f=f(x_0)=lim_(x to x_0^+)f$ Sia $x_0 in QQ$, ...

Salve ragazzi. Avrei bisogno di alcuni consigli per la risoluzione di alcuni tipi di integrali. In particolare $1)$ $int 1/(x^4+1) dx$. Per risolvere questo integrale ho prima completato il quadrato $(x^2)^2+1+2x^2-2x^2 = (x^2+1)^2-2x^2$ e poi l'ho visto come somma per differenza da cui $(x^2+1+2sqrt2x)(x^2+1-2sqrt2x)$. Quindi ho proceduto col metodo dei fratti semplici. Volevo sapere se questa è la via migliore o ci sono sistemi che riducono la mole di calcoli o in generale accorgimenti ...

Allora devo dimostrare che la funzione $f(x)={(0,if x<=0),(e^(-1/x),if x>0):}$ è $C^infty(RR)$ ma non è $C^\omega(RR)$. Se riuscissi a dimostrare che $f^((n))(0)=0$ per ogni $n>=0$, allora potrei dire che se per assurdo $f$ fosse reale analitica su $RR$ allora in un intorno aperto di $0$ si avrebbe che $f(x)=\sum_{n=0}^{+infty}f^(n)(0)/(n!)x^n$ ma allora $f$ sarebbe identicamente nulla in questo intorno aperto di $0$ e ciò è assurdo poichè se ...

Salve a tutti, mi sto cimentando nello studio degli integrali e mi sono bloccato nello svolgimento di questo integrale: [formule]\lmousetache(sin(x))/(cos(2x))[/formule] penso possa essere utile usare la il metodo di sostituzione ma non saprei come procedere onestamente. Suggerimenti sullo sviluppo? Grazie

$ arctan(x^2) $Ciao, non riesco a capire come trovare lo sviluppo di Taylor (con $ x_0=0 $ ) della funzione $ 1/arctan(x^2) $ Ho già provato a calcolare quello di $ arctan(x^2) $ che mi esce $ x^2-x^6/3 $ ma facendo poi il tutto alla -1 diventa $ 3/(3x^2-x^6) $ e sono punto a capo. Come posso fare? Grazie

Ciao, come si a trovare lo sviluppo di taylor di questa funzione con $ x -> ∞ $ ? $ (4pi^2x^4)/(2pi^2x^2+1) $ Il primo termine l'ho calcolato perché il denominatore è asintotico allo stesso senza il +1, ma fermandomi qui nella funzione dell'esercizio (questa che vi ho postato è solo una parte), mi si "elimina" questo primo termine dello sviluppo ( $ 2x^2 $ ). Da wolframalpha ho visto che il secondo termine sarebbe $ -1/pi^2 $ , ma non capisco come trovarlo. Grazie

Buongiorno, volevo chiedervi se la seguente idea, risulta essere fattibile. Sia $f: (a,b) to RR$ funzione monotona crescente, una tale funzione può avere al più punti di discontinuità di prima specie, escludendo gli estremi. Vorrei provare che la somma dei salti non può superare $f(b)-f(a)$. Ora ho questo l'ho provato in maniera diretta, cioè facendo cosi, suppongo che $x_0< x_1$ siano punti di discontinuità, allora devo verifcare che $s(x_0)+s(x_1) le f(b)-f(a)$, dove ...

Sia $f:RR^(n+m):->[-infty,+infty]$ una funzione sommabile, definiamo $f_+=max{f,0}$ e $f_(-)=max{0,-f}$. Abbiamo che $f_+,f_->=0$ e sono misurabili (può andar bene dire che lo sono poichè sia $f$ che $abs(f)$ sono misurabili poiche $f$ è sommabile?), allora possiamo applicare il teorema di riduzione di tonelli su $f_+$ e $f_-$ e si ha $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx$ e $\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx$ (con la notazione che $dL^n=dx$ e $dL^m=dy$). ...

Si ha che $f:[a, b]->RR^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti. Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max{||f_1(x)||_{RR^n},...,||f_n(x)||_{RR^n}}<=||f(x)||_{RR^n}<=||f_1(x)||_{RR^n}+...+||f_n(x)||_{RR^n}$ per ogni $x in[a,b]$. Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0<x_1,...,x_(p-1)<x_p=b}in\Omega[a,b]$ una scomposizione di $[a,b]$. Allora $AAiin{0,...,n}$ si ha $v(f_i,\sigma)=\sum_{k=1}^p||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}<=\sum_{k=1}^p||f(x_k)-f(x_(k-1))||_{RR^n}=v(f,\sigma)<+infty$ (poichè $f$ è a variazione limitata), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ e ...

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo questo esercizio: data la 1-forma differenziale $\omega = (-y^2)/((x-y)^2) \ dx + (2xy-y^2) / ( (x-y)^2) \ dy $ Dire se è vero che esiste un potenziale $U(x,y)$ definito su tutto $\RR^2 - {x \ne y} $, tale per cui $U(3,4)=U(4,3)$. Anzitutto si ha che la forma è di classe $C^1$ ed è chiusa in $\RR^2 - {x \ne y}$. Tuttavia, essendo il dominio sconnesso (in particolare con 2 componenti semplicemente connesse), ad occhio mi verrebbe da dire che la forma non è esatta in tutto il dominio, in ...

Buongiorno, è corretto il seguente esercizio? Grazie. Studiare la convergenza della seguente serie numerica. Se convergente, trovare $n_0$ tale che per $n \geq n_0$ la somma parziale $s_n$ approssimi la somma della serie a meno di 1/200. $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1}$$ Svolgimento: Osserviamo che per $n\geq 1$ risulta $$\sqrt{1+3n}-1\leq\sqrt{1+3n}\leq ...

Dati il punto A(1,1) e il vettore u(3,2) determinare le coordinate dei vertici B e C del triangolo ABC, rettangolo in A, sapendo che il lato AB e’ parallelo a u e che il baricentro coincide con l'origine. Nella soluzione dell'esercizio l'equazione della retta AB e’ un sistema con x=1+3t e y=1+2t e l'equazione della retta AC ha come equazione un sistema con x=1+2t' e y=1-3t' e non capisco come le abbiano trovate.

Buonasera, dalla lettura del secondo paragrafo di questa dispensa a cura del prof. Bini, si desume che l'interpolazione polinomiale, o quella di Lagrange, siano metodi di interpolazione lineare. Ho sempre pensato che l'interpolazione lineare consistesse nel definire la spezzata passante per i valori nodali. Mi sbaglio? Grazie a tutti per l'attenzione.

Ho risolto il seguente integrale ed è tutto giusto a meno di un segno, solo che non riesco a trovare l'errore. $\int (3e^x-5e^(2x))/(3e^(2x)+2e^x-16)$ Sostituisco con $y=e^x$ da cui $\int (3-5y)/(3y^2+2y-16) dy$ Scompongo il denominatore in $3(y-2)(y+8/3)=(y-2)(3y+8)$ da cui: $(3-5y)/(3y^2+2y-16) =A/(y-2)+B/(3y+8)=(3Ay+8A+By-2B)/(3y^2+2y-16)$ da cui il sistema ${ ( 3A+B=-5),( 8A-2B=3):}$ e trovo $A=-1/2 , B=-7/2$ Quindi l'integrale diventa $-1/2 \int 1/(y-2) dy -7/2 \int1/(3y+8) dy = -1/2log|y-2| -7/2*1/3*log|3y+8|+c$ da cui $-1/2log|e^x-2| -7/6*log(3e^x+8)+c$ Però il risultato è $-1/2log|2-e^x| -7/6*log(3e^x+8)+c$ Dove ho sbagliato? Grazie per l'aiuto!

Ciao, non trovo la dimostrazione del fatto che una funzione integrabile in un aperto limitato, e limitata sia sopra che sotto, è integrabile nel chiuso corrispondente. Voi sapreste come fare?

Salve a tutti, avrei bisogno di una dritta sullo svolgimento di esercizi sugli sviluppi di Taylor e sulla "cura della scrittura". Vi porto alcuni esempi così da poter semplificare la domanda e approfittarne per consigli sulle risoluzioni 1) Calcolare il polinomio di $f(x)=(1+3sin(2x))^(1/3)$ con centro $x_0=0$ e ordine $n=3$. Per la risoluzione ho utilizzato semplicemente la formula di sviluppo per $siny$ con centro 0 e attuando le dovute sostituzioni per ...

Consideriamo la funzione $f(x,y)=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$ sull'insieme $(0,1)xx(0,1)$, abbiamo che $f(x)$ è ha segno qualunque su questo insieme e non è sommabile. Se provassimo ad applicare il teorema di Fubini e proviamo a calcolare i due integrali $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dy)dx$ e $\int_0^1(\int_0^1f(x,y)dx)dy$, osserviamo intanto che posto $h(x,y)=arctan(y/x)$ abbiamo che $f(x,y)=(\partial^2h)/(\partialx\partialy)(x,y)=(\partial^2h)/(\partialy\partialx)(x,y)$ (siccome $h(x,y)$ è di classe $C^2$ ho usato il teorema di Schwartz), per cui si ha (usando il teorema di ...