Famiglia di operatori a norma limitata
Buonasera,
chiedo un aiuto per essere indirizzato su cosa andarmi a studiare e dove.
Vi spiego dove vorrei arrivare...
Definiamo $\mathcal{B}$ come lo spazio delle funzioni buone, ovvero funzioni $F$ definite su tutto l'asse reale, infinitamente differenziablii e tali che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$.
Poi, ho una famiglia di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ infinitamente differenziabili e nulle fuori da $[a,b]$, con le quali definisco una famiglia di operatori lineari su $\mathcal{B}$:
$$F(x)\mapsto\int_{x=-\infty}^\infty f_n(x)F(x)\mathrm{d}x$$
A questo punto, con le ipotesi a disposizione, vorrei dedurre che questa famiglia di operatori è uniformemente limitata in norma, cioé:
$$\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{\left \| \int_{x=-\infty}^\infty f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \right \|\right\}<\infty$$
Qualcuno mi potrebbe 'indirizzare' per favore?
chiedo un aiuto per essere indirizzato su cosa andarmi a studiare e dove.
Vi spiego dove vorrei arrivare...
Definiamo $\mathcal{B}$ come lo spazio delle funzioni buone, ovvero funzioni $F$ definite su tutto l'asse reale, infinitamente differenziablii e tali che $F(x)=o(x^{-N})$ per $x\to\infty$ per qualsiasi $N$.
Poi, ho una famiglia di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ infinitamente differenziabili e nulle fuori da $[a,b]$, con le quali definisco una famiglia di operatori lineari su $\mathcal{B}$:
$$F(x)\mapsto\int_{x=-\infty}^\infty f_n(x)F(x)\mathrm{d}x$$
A questo punto, con le ipotesi a disposizione, vorrei dedurre che questa famiglia di operatori è uniformemente limitata in norma, cioé:
$$\sup_{n\in\mathbb{N}}\left\{\left \| \int_{x=-\infty}^\infty f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \right \|\right\}<\infty$$
Qualcuno mi potrebbe 'indirizzare' per favore?
Risposte
Ad $F$ cosa associ di preciso, una successione \(\mathbb N \to \mathbb R\) di cui ti chiedi se è in \(\ell^\infty\)?
Il valore di quell’integrale, che dipende da n, ovvero dall’n-esimo operatore della famiglia di operatori definita.
Chiaro: ma allora la tua domanda si riassume in "quella successione sta in \(\ell^\infty\)?", giusto?
E sulle \(f_n\) che ipotesi fai?
E sulle \(f_n\) che ipotesi fai?
Sì, sono andato a rivedere la definizione di $l^\infty$, direi che la risposta è sì.
Le ipotesi sulle $f_n$ le scrivevo in [1], sono cioè tutte a supporto compatto (condiviso) ed infinitamente differenziabili.
Le ipotesi sulle $f_n$ le scrivevo in [1], sono cioè tutte a supporto compatto (condiviso) ed infinitamente differenziabili.
Dovrei esserne uscito così, ti/vi chiedo per favore se puoi/potete leggerla per dirmi se ho fatto errori.
L'insieme \(\displaystyle \left\{ \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \right\}_{n\in\mathbb{N}} \) può essere visto come una famiglia di operatori lineari che mappano elementi dello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal{B} \) (funzioni buone) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). In particolare, grazie alla compattezza del supporto delle $f_n$, si ha che:
\(\displaystyle \int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x=\int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)|_{[a,b]}\mathrm{d}x \)
e cioè che gli elementi di tale famiglia possono essere equivalentemente anche pensati come operatori che mappano \(\displaystyle C^{(∞)} ([a,b]) \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Inoltre, \(\displaystyle C^{(∞)} ([a,b]) \) può essere equipaggiato con le seminorme \(\displaystyle \left \{ \left \| F \right \|_j=\max_{x\in[a,b]}\left | F^{\left (j \right )}(x) \right | \right \}_{j=0,1,...} \) realizzando così uno spazio di Fréchet.
In questo quadro, ogni funzionale \(\displaystyle \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \) è continuo (nel senso delle seminorme), perché vale la disuguaglianza:
\(\displaystyle \left |\int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x \right |\leq \max_{x\in[a,b]}\left | F(x) \right | \cdot\underbrace{\int_{x=a}^{b}\left |f_n(x) \right |\mathrm{d}x}_{C_n} \leq C_n\cdot\max_{0\leq j\leq p}\left \| F \right \|_j \)
per qualsiasi scelto $p$.
Dunque, come conseguenza del teorema di limitatezza uniforme negli spazi di Fréchet, si può dedurre che il funzionale limite \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \) è anch’esso continuo nel senso delle seminorme, ovvero equivalentemente, esistono sempre un $M>0$ e un $p\in\mathbb{N}_0$ tali che:
\(\displaystyle \left |\lim_{n\to\infty} \int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x \right |\leq M \max_{0 \leq j \leq p}\max_{x\in[a,b]}\left | F^{(j)}(x) \right | \)
che è praticamente quello che mi serviva.
Ho fatto errori?
Se la risposta è no, la cosa ancora più interessante sarebbe conoscere la risposta alla domanda: esiste un risultato analogo anche se si rimuove l'ipotesi di compattezza del supporto delle $f_n$?
L'insieme \(\displaystyle \left\{ \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \right\}_{n\in\mathbb{N}} \) può essere visto come una famiglia di operatori lineari che mappano elementi dello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal{B} \) (funzioni buone) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). In particolare, grazie alla compattezza del supporto delle $f_n$, si ha che:
\(\displaystyle \int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x=\int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)|_{[a,b]}\mathrm{d}x \)
e cioè che gli elementi di tale famiglia possono essere equivalentemente anche pensati come operatori che mappano \(\displaystyle C^{(∞)} ([a,b]) \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Inoltre, \(\displaystyle C^{(∞)} ([a,b]) \) può essere equipaggiato con le seminorme \(\displaystyle \left \{ \left \| F \right \|_j=\max_{x\in[a,b]}\left | F^{\left (j \right )}(x) \right | \right \}_{j=0,1,...} \) realizzando così uno spazio di Fréchet.
In questo quadro, ogni funzionale \(\displaystyle \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \) è continuo (nel senso delle seminorme), perché vale la disuguaglianza:
\(\displaystyle \left |\int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x \right |\leq \max_{x\in[a,b]}\left | F(x) \right | \cdot\underbrace{\int_{x=a}^{b}\left |f_n(x) \right |\mathrm{d}x}_{C_n} \leq C_n\cdot\max_{0\leq j\leq p}\left \| F \right \|_j \)
per qualsiasi scelto $p$.
Dunque, come conseguenza del teorema di limitatezza uniforme negli spazi di Fréchet, si può dedurre che il funzionale limite \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_{x=a}^{b}f_n(x)(\cdot)\mathrm{d}x \) è anch’esso continuo nel senso delle seminorme, ovvero equivalentemente, esistono sempre un $M>0$ e un $p\in\mathbb{N}_0$ tali che:
\(\displaystyle \left |\lim_{n\to\infty} \int_{x=a}^{b}f_n(x)F(x)\mathrm{d}x \right |\leq M \max_{0 \leq j \leq p}\max_{x\in[a,b]}\left | F^{(j)}(x) \right | \)
che è praticamente quello che mi serviva.
Ho fatto errori?
Se la risposta è no, la cosa ancora più interessante sarebbe conoscere la risposta alla domanda: esiste un risultato analogo anche se si rimuove l'ipotesi di compattezza del supporto delle $f_n$?
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