Analisi matematica di base
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Potreste aiutarmi a trovare l'errore? L'esercizio è il seguente:
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x))$
L'ho pensato, molto banalmente, così:
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x))(4x^4)/(4x^4) *(2x+1)/(2x+1)=$
$lim_(x->0) (ln(1+4x^4)/(4x^4)* x/x*(2x+1)/arctan(2x+1)*(x^3)/sin^3(x))*4/(2x+1)$=
$lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(4x^4)*lim_(x->0) x/x*lim_(x->0)(arctan(2x+1)/(2x+1))^-1*lim_(x->0)(sin^3(x)/x^3)^-1*lim_(x->0)4/(2x+1)= "1*1*1*1*4"=4$
Invece mi dice che il risultato è $16/pi$. Ho provato a disegnarla con geogebra ed effettivamente il limite è $16/pi$ ma non capisco cosa ho sbagliato nei calcoli.
Vi ringrazio anticipatamente
Salve, ho un problema con questo esercizio sui numeri complessi, la consegna è:
Mostrare che
$\varphi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ definita da $\varphi(\z)=\frac{3\z-i}{3+i\z}$
ha immagine nella circonferenza trigonometrica.
Ho provato con i moduli trasformando in forma esponenziale e con a + bi ma non ne sono uscito. Grazie in anticipo per le risposte.
Salve, volevo chiedere delucidazioni riguardo a questo esercizio sui numeri complessi:
Trovare delle condizioni su $a,b \in \mathbb{C}$ tali che il sistema di equazioni complesse
\begin{equation}
\begin{cases}
(az-b\overline{z})(bz-a\overline{z})=4\\z^ 2=\left | z \right |^2
\end{cases}
\end{equation}
abbia soluzione. Dato $a \in \mathbb{C}$ disegnare sul piano di Gauss l' insieme S(a)={$b \in \mathbb{C}$ : (a, b) è soluzione}.
Io avevo ragionato dicendo innanzitutto che dalla seconda ...
Gentili utenti del forum,
non riesco a calcolare il seguente limite che si presenta nella forma indeterminata $[\frac{0}{0}]$
$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}-x-1}{x^2-x^3}$
non riesco a ricondurlo al limite notevole della forma $\lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$
In alternativa all'uso del limite notevole, usando il teorema di de l'Hopital, ottengo
$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)-1}{2x-3x^2}$
che si presenta ancora nella stessa forma indeterminata, e quindi passando alla derivata seconda
$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)^2+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\lim_{x \to 0}\frac{4x^2 e^{x^2+x}+4xe^{x^2+x}+e^{x^2+x}+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\frac{3}{2}$
è corretto?
Potete aiutarmi? Grazie.
Salve a tutti,
frequento il primo anno di Statistica ed esercitandomi sulle serie numeriche mi sono imbattuto su un tipo che non riesco proprio a comprendere.
La serie in questione è $ sum(n^n/(k^n*n!)) $ per n da 1 all'infinito ovviamente. Il problema è che al variare di k i tradizionali sistemi computazionali mi dicono che una volta diverge (per esempio k=2) e un'altra converge (per esempio k=5). Il problema è che non riesco a trovare un criterio che mi aiuti a trovare una soluzione valida in ...
Buonasera, cercando di risolvere questo integrale:
$ I = intintint_A(z+1)sinxdxdydz $ dove \( A= \{(x,y,z) \in\Re^3:0\leq z\leq 2,1\leq x^2+y^2\leq 4\} \)
Il dominio $ A $ rappresenta un cilindro "scavato", quindi ho applicato la trasformazione di coordinate cilindriche ottenendo:
$ I=int_(z=0)^(z=2)(z+1)[int_(rho=1)^(rho=2)rho[int_(phi=0)^(phi=2pi)sin(rhocosphi)dphi]drho]dz $
ora, l'idea che ho avuto è quella di operare un cambio di variabile ponendo
$ u=cosphi $
il problema però nasce negli estremi dell'integrale, che diventano entrambi 1 e fanno annullare tutto ...
Salve a tutti, stavo svolgendo un problema di fisica 2 per il quale ho impostato il seguente integrale, mi chiedevo se fosse formalmente corretto:
\[ \int_{0.05}^{0.15} \frac{\mu_0 i}{2 \pi y} x(t) dy = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} x(t) \int_{0.05}^{0.15} \frac{1}{y} dy \]
cioè se scrivendo l'integrale si può "inserire" una funzione dipendente da un'altra variabile, nella fattispecie \( x(t) \) e poi portarla fuori dall'integrale, un po come si fa con gli integrali doppi
Buonasera, dati i vertici di una piramide in un sistema di riferimento $ (x, y, z) $
$ A(1,0,1) $ $ B(0,1,1) $ $C(0,0,2)$ $D(0,0,1)$
vorrei calcolare il volume dell'integrale tramite integrazione per strati.
Riesco a visualizzare la piramide, però non riesco a parametrizzare ascissa e ordinata del triangolo che risulta dall'intersezione tra la piramide e il piano z=k al variare del parametro k.
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà.
Salve ragazzi, ho provato a scrivere una mail ai miei professori ma non ho ricevuto risposta quindi chiedo a voi nella speranza di avere delucidazioni.
Nel programma di Analisi 1 leggo nella sezione relativa alle funzioni continue :
Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano.
Corollario del Teorema di Bolzano: ogni funzione continua manda intervalli in
intervalli. Teorema dei valori intermedi.
Purtroppo non ho gli appunti relativi e né l'Acerbi-Buttazzo, né internet mi sono di aiuto.
In ...
Ciao!
Io ho questo dominio su cui fare un integrale triplo: $D = {(x,y,z): x^2 <= z <= 2, y^2 <= z<= 2 }$ dove l'integrale è $ \int int int x^2 + z^2 dxdydz $
La mia idea è stata a fare il cambio di coordinate $ u = \frac{z}{x^2}$ e/o $ v = \frac{z}{y^2} $ ma non giungo a nulla.
Avete suggerimenti su che sistema di coordinate utilizzare?
i) Si determini l'insieme di convergenza di:
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n 1/(n+1) (2x-2)^(n+1)$
ii) si determini la somma di questa serie di potenze
Mio ragionamento:
Riconduco la serie alla forma tipica delle serie di potenze:
$= sum (-1)^n 1/(n+1) (2)^(n+1) (x-1)^(n+1)$
Sostituisco $k=n+1$, con $k in N$ , quindi cambio l'indice della sommatoria che per $n=0$ parte da $k=0+1$.
Si ottiene così:
$sum_(k=1)^(+oo) (-1)^(k-1) 1/k (2)^k (x-1)^k$
che è una serie di potenze di centro $x_0=1$
Applicando il criterio della radice ...
Buonasera a tutti. Scrivo per avere dei chiarimenti in merito alla risoluzione dell'integrale definito:
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx $.
Inizialmente l'ho considerato come integrale indefinito da risolvere per parti, ovvero:
$ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx = $ $ xln(x+3sqrtx) - int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $
Da qui ho pensato di applicare la sostituzione di $ sqrtx $ con t nell'integrale $ int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $, per avere:
$ 2 int_ () t^3(1+3/(2t))/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^3+3/2t^2)/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^2+3/2t)/(t+3)dt = $ $ 2 [int(t^2)/(t+3)dt + 3/2int t/(t+3) dt] = $ $ t^2-6t-27+3(t-3ln(abs(t+3)) + c $.
Quindi sono ritornato alla variabile di partenza per avere: ...
Buon pomeriggio a tutti. Stavo svolgendo un po' di esercizi riguardanti la determinazione del carattere di una serie numerica.
La serie numerica in questione è:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}$$
Ho provato a razionalizzare e mi sembra che sia asintotica ad una serie armonica 1/n, quindi la serie iniziale dovrebbe essere divergente.
Sapreste dirmi se ho svolto l'esercizio in modo corretto? Grazie
Buonasera, sto studiando il seguente teorema
Sia $n in NN$ e sia $a in RR_+$ esiste un solo un numero reale positivo $b$ per cui $b^n=a$
Dimostrazione
Sia $a>0$, siano $A={x in RR_+\ : x^n le a}$ e $B={x in RR_+\ : x^n ge a}$.
I due insiemi sono non vuoti, e separati poiché si ha rispettivamente:
$0 in A$, $a+1 in B$
$forall u in A, forall v in B u^n le a le v^n to u^n le v^n$ e segue necessariamente che $u le v$
Dall'assioma di completezza ho l'esistenza di un elemento ...
Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento di questo esercizio.
Determinare l' intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze reali :
$sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)$
Mio ragionamento:
$sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)=sum_(n=1)^(+oo) [x/(1-x)^(2)]^n$
Sostituzione: $t=x/(1-x)^2$
La serie diventa: una serie di potenze di centro l'origine : $sum_(n=1)^(+oo) t^n$
Abbiamo che: $a_n=1$ , quindi $lim |a_n|^(1/n) =1$, quindi $R=1$
Per il teorema sul raggio di convergenza, la serie in t
- converge per $|t|<1$
Ora ...
Salve ragazzi,
mi si chiede di calcolare il seguente limite:
$lim_(n->+oo) ((2n+1)/(2n-5))^(n/3)$
Dato che non riuscivo a trovare una risoluzione "banale" ho proceduto con i simboli di Landau. In particolare ho rivisto $2n+1$ come $2n+6-5$ e quindi la frazione diventa $1+6/(2n-5)$. Adatto l'esponente così $n/3=2*n/6=(2n+5-5)/6 = (2n-5)/6 +5/6$ da cui il limite diventa:
$lim_(n->+oo) (1+(6/(2n-5)))^((2n-5)/6 +5/6)$ . Utilizzando l'o-piccolo trovo che $lim_(n->+oo) (e+o(1))^(5/6)$. Il risultato non dovrebbe essere $e^(5/6)$ ? Perché ...
Ciao ragazzi , sto svolgendo un'integrale di analisi I, e dopo aver applicato la formula di integrazione per parti e successivamente quella di Sostituzione, arrivo a questo punto: $ int t/(3+t)dt $
A questo punto punto l'integrale viene spezzato nel seguente modo: $ int dt - 3int 1/(3+t)dt $
E poi ovviamente si risostituisce.
Potreste spiegarmi come viene spezzato questo integrale?
Salve a tutti, sto studiando questa funzione presa da ****:
https://www.****.it/forum/analisi-1/ ... atore.html
non riesco a capire perchè come fa a calcolare i limiti siccome viene fuori che l'argomento del ln è minore di 0 e come fa a calcolare i limiti
Salve, volevo solo alcune particolari spiegazioni sull'ascissa curvilinea che non mi erano chiare.
L'ascissa curvilinea rappresenta la distanza da un punto generico della curva ad un punto fissato, e la possiamo vedere come funzione integrale del tipo
$ s(t)=\int_{t_0}^{t}|\varphi^{'}(\tau)|d\tau $
La prof ci ha mostrato delle osservazioni immediate, dove:
$ s(t)={(0 \ text(se) \ t=t_0),(\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t>t_0), (-\mathfrak{L}(\idehat{P_{0}P}) \ text(se) \ t<t_0):} $
Prima cosa che non mi è chiara: la lunghezza dovrebbe essere una lunghezza definita positiva, quindi il segno meno cosa significa? La lunghezza non ...
Ciao ragazzi sto svolgendo il seguente Integrale di Analisi I:
$ int (x+1)/(x(1+xe^x))dx $
A Questo punto lo svolgimento mi dice che dovrei applicare la tecnica di Sostituzione nel seguente modo:
$ 1+xe^x=t $ , da cui : $ e^x(1+x)dx=dt $. E fino a qui ci sono . Però prima di applicare la sostituzione viene fatto un passaggio intermedio per far diventare l'integrale nel seguente modo:
$ int (e^x(x+1))/(e^x x(1+xe^x))dx $ , in modo che a numeratore potrò semplificare con il nuovo differenziale , questo lo ho capito ...
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