Analisi matematica di base

Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto con il seguente integrale in quanto è da un po' che non li faccio e ho perso la mano. L'integrale è il seguente: $ int_(0)^(sqrt(3)/2) (9-12x^2)/(4x^2+3)^2 dx $ Ho provato con la decomposizione ma purtroppo la soluzione non torna. Grazie a chi volesse aiutarmi

Salve a tutti. Torno alla carica con una nuova serie con parametro da studiare. Stavolta credo di avere le idee un po' più chiare, ma mi rimangono dei dubbi. Studiare, al variare del parametro reale x, diverso da -2, la convergenza semplice e assoluta della serie: $\sum_{n=1}^infty (x/(x+2))^n n/arctan(n)$ Ho pensato di procedere nel seguente modo. 1) Ho studiato dove $x/(x+2) >= 0$, che mi dà $(-infty; -2) U [0; +infty)$. In questo intervallo non è necessario studiare la convergenza assoluta, poichè la serie è a termini ...

Ciao ragazzi , sto svolgendo un'integrale di Analisi I, e arrivo a questo punto: $ int (t-2)/(t^2+2)dt $ In questo caso io spezzerei l'integrale così: $ int t/(t^2+2)dt $ , In modo che moltiplicando per 2 avrei numeratore la derivata del denominatore , mentre mi resta più difficile il secondo caso , dove rimarrebbe: $ - int 2/(t^2+2)dt $ Nello svolgimento del compito però , la prima parte viene fatta come ho detto io (con a numeratore la derivata del denominatore), mentre il secondo integrale dovrebbe ...

Dire per quali valori del parametro reale x, diverso da 0, converge: $\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) $ Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio. So che è una serie a termini positivi, però non so cosa mi conviene utilizzare per provare a studiarla. Escluderei il criterio del rapporto e della radice. Però anche con l'asintoticità e gli sviluppi di Taylor non mi vengono in mente idee. Edit: ho pensato di riscrivere la serie in questo modo, secondo voi può essere la strada giusta? $\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n((x-1)/(x))^(2n)) = \sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^(2n))=\sum_{n=0}^infty ln(1+1/n(1-1/x)^x)^(2n/x))= \sum_{n=0}^infty ln (1+1/n(1/(e^(2n/x)))) $

Stavo pensando alla modalità di costruzione degli interi quando mi è venuta in mente questa "cosa": supponiamo che i numeri reali non siano altro che una sequenza infinita di cifre (decimali tanto per farla semplice) in entrambi i versi con un punto decimale da qualche parte (tanto possiamo sempre mettere infiniti zeri davanti e dietro). Ora è facile (si fa per dire) immaginare un'infinita di cifre a destra del punto decimale ma a sinistra? Ovvero esiste qualcosa che possiamo chiamare numero ...

Sia data la funzione $f$ da $[0;1]$ a $\mathbb R$ con espressione analitica $f(x)=x$. Chiaramente $x=1$ è un punto di massimo assoluto, ma sembrerebbe non rispettare la definizione di massimo relativo, perché non esiste nessun intorno di 1 in cui la funzione risulti definita (infatti, sarà definita solo a sinistra di 1 e in 1 stresso). In questi caso è lecito dire che il massimo assoluto non è un massimo relativo?

Potreste aiutarmi a trovare l'errore? L'esercizio è il seguente: $lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(xarctan(2x+1)sin^3(x))$ L'ho pensato, molto banalmente, così: $lim_(x->0) ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x)=$ $lim_(x->0) (ln(1+4x^4)* 1/x*1/arctan(2x+1)*1/sin^3(x))(4x^4)/(4x^4) *(2x+1)/(2x+1)=$ $lim_(x->0) (ln(1+4x^4)/(4x^4)* x/x*(2x+1)/arctan(2x+1)*(x^3)/sin^3(x))*4/(2x+1)$= $lim_(x->0) ln(1+4x^4)/(4x^4)*lim_(x->0) x/x*lim_(x->0)(arctan(2x+1)/(2x+1))^-1*lim_(x->0)(sin^3(x)/x^3)^-1*lim_(x->0)4/(2x+1)= "1*1*1*1*4"=4$ Invece mi dice che il risultato è $16/pi$. Ho provato a disegnarla con geogebra ed effettivamente il limite è $16/pi$ ma non capisco cosa ho sbagliato nei calcoli. Vi ringrazio anticipatamente

Salve, ho un problema con questo esercizio sui numeri complessi, la consegna è: Mostrare che $\varphi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ definita da $\varphi(\z)=\frac{3\z-i}{3+i\z}$ ha immagine nella circonferenza trigonometrica. Ho provato con i moduli trasformando in forma esponenziale e con a + bi ma non ne sono uscito. Grazie in anticipo per le risposte.

Salve, volevo chiedere delucidazioni riguardo a questo esercizio sui numeri complessi: Trovare delle condizioni su $a,b \in \mathbb{C}$ tali che il sistema di equazioni complesse \begin{equation} \begin{cases} (az-b\overline{z})(bz-a\overline{z})=4\\z^ 2=\left | z \right |^2 \end{cases} \end{equation} abbia soluzione. Dato $a \in \mathbb{C}$ disegnare sul piano di Gauss l' insieme S(a)={$b \in \mathbb{C}$ : (a, b) è soluzione}. Io avevo ragionato dicendo innanzitutto che dalla seconda ...

Gentili utenti del forum, non riesco a calcolare il seguente limite che si presenta nella forma indeterminata $[\frac{0}{0}]$ $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}-x-1}{x^2-x^3}$ non riesco a ricondurlo al limite notevole della forma $\lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$ In alternativa all'uso del limite notevole, usando il teorema di de l'Hopital, ottengo $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)-1}{2x-3x^2}$ che si presenta ancora nella stessa forma indeterminata, e quindi passando alla derivata seconda $\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)^2+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\lim_{x \to 0}\frac{4x^2 e^{x^2+x}+4xe^{x^2+x}+e^{x^2+x}+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\frac{3}{2}$ è corretto? Potete aiutarmi? Grazie.

Salve a tutti, frequento il primo anno di Statistica ed esercitandomi sulle serie numeriche mi sono imbattuto su un tipo che non riesco proprio a comprendere. La serie in questione è $ sum(n^n/(k^n*n!)) $ per n da 1 all'infinito ovviamente. Il problema è che al variare di k i tradizionali sistemi computazionali mi dicono che una volta diverge (per esempio k=2) e un'altra converge (per esempio k=5). Il problema è che non riesco a trovare un criterio che mi aiuti a trovare una soluzione valida in ...

Buonasera, cercando di risolvere questo integrale: $ I = intintint_A(z+1)sinxdxdydz $ dove \( A= \{(x,y,z) \in\Re^3:0\leq z\leq 2,1\leq x^2+y^2\leq 4\} \) Il dominio $ A $ rappresenta un cilindro "scavato", quindi ho applicato la trasformazione di coordinate cilindriche ottenendo: $ I=int_(z=0)^(z=2)(z+1)[int_(rho=1)^(rho=2)rho[int_(phi=0)^(phi=2pi)sin(rhocosphi)dphi]drho]dz $ ora, l'idea che ho avuto è quella di operare un cambio di variabile ponendo $ u=cosphi $ il problema però nasce negli estremi dell'integrale, che diventano entrambi 1 e fanno annullare tutto ...

Salve a tutti, stavo svolgendo un problema di fisica 2 per il quale ho impostato il seguente integrale, mi chiedevo se fosse formalmente corretto: \[ \int_{0.05}^{0.15} \frac{\mu_0 i}{2 \pi y} x(t) dy = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} x(t) \int_{0.05}^{0.15} \frac{1}{y} dy \] cioè se scrivendo l'integrale si può "inserire" una funzione dipendente da un'altra variabile, nella fattispecie \( x(t) \) e poi portarla fuori dall'integrale, un po come si fa con gli integrali doppi

Buonasera, dati i vertici di una piramide in un sistema di riferimento $ (x, y, z) $ $ A(1,0,1) $ $ B(0,1,1) $ $C(0,0,2)$ $D(0,0,1)$ vorrei calcolare il volume dell'integrale tramite integrazione per strati. Riesco a visualizzare la piramide, però non riesco a parametrizzare ascissa e ordinata del triangolo che risulta dall'intersezione tra la piramide e il piano z=k al variare del parametro k. Grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà.

Salve ragazzi, ho provato a scrivere una mail ai miei professori ma non ho ricevuto risposta quindi chiedo a voi nella speranza di avere delucidazioni. Nel programma di Analisi 1 leggo nella sezione relativa alle funzioni continue : Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano. Corollario del Teorema di Bolzano: ogni funzione continua manda intervalli in intervalli. Teorema dei valori intermedi. Purtroppo non ho gli appunti relativi e né l'Acerbi-Buttazzo, né internet mi sono di aiuto. In ...

Ciao! Io ho questo dominio su cui fare un integrale triplo: $D = {(x,y,z): x^2 <= z <= 2, y^2 <= z<= 2 }$ dove l'integrale è $ \int int int x^2 + z^2 dxdydz $ La mia idea è stata a fare il cambio di coordinate $ u = \frac{z}{x^2}$ e/o $ v = \frac{z}{y^2} $ ma non giungo a nulla. Avete suggerimenti su che sistema di coordinate utilizzare?

i) Si determini l'insieme di convergenza di: $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n 1/(n+1) (2x-2)^(n+1)$ ii) si determini la somma di questa serie di potenze Mio ragionamento: Riconduco la serie alla forma tipica delle serie di potenze: $= sum (-1)^n 1/(n+1) (2)^(n+1) (x-1)^(n+1)$ Sostituisco $k=n+1$, con $k in N$ , quindi cambio l'indice della sommatoria che per $n=0$ parte da $k=0+1$. Si ottiene così: $sum_(k=1)^(+oo) (-1)^(k-1) 1/k (2)^k (x-1)^k$ che è una serie di potenze di centro $x_0=1$ Applicando il criterio della radice ...

Buonasera a tutti. Scrivo per avere dei chiarimenti in merito alla risoluzione dell'integrale definito: $ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx $. Inizialmente l'ho considerato come integrale indefinito da risolvere per parti, ovvero: $ int_(1)^(9) ln(x+3sqrt(x)) dx = $ $ xln(x+3sqrtx) - int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $ Da qui ho pensato di applicare la sostituzione di $ sqrtx $ con t nell'integrale $ int_ () (1+3/(2sqrtx))/(x+3sqrtx)xdx $, per avere: $ 2 int_ () t^3(1+3/(2t))/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^3+3/2t^2)/(t^2+3t)dt = 2 int_ () (t^2+3/2t)/(t+3)dt = $ $ 2 [int(t^2)/(t+3)dt + 3/2int t/(t+3) dt] = $ $ t^2-6t-27+3(t-3ln(abs(t+3)) + c $. Quindi sono ritornato alla variabile di partenza per avere: ...

Buon pomeriggio a tutti. Stavo svolgendo un po' di esercizi riguardanti la determinazione del carattere di una serie numerica. La serie numerica in questione è: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}$$ Ho provato a razionalizzare e mi sembra che sia asintotica ad una serie armonica 1/n, quindi la serie iniziale dovrebbe essere divergente. Sapreste dirmi se ho svolto l'esercizio in modo corretto? Grazie

Buonasera, sto studiando il seguente teorema Sia $n in NN$ e sia $a in RR_+$ esiste un solo un numero reale positivo $b$ per cui $b^n=a$ Dimostrazione Sia $a>0$, siano $A={x in RR_+\ : x^n le a}$ e $B={x in RR_+\ : x^n ge a}$. I due insiemi sono non vuoti, e separati poiché si ha rispettivamente: $0 in A$, $a+1 in B$ $forall u in A, forall v in B u^n le a le v^n to u^n le v^n$ e segue necessariamente che $u le v$ Dall'assioma di completezza ho l'esistenza di un elemento ...