Analisi matematica di base
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Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questa serie:
$ sum_(n =1 \) ((n-3)/(n+1))^(n^2) $
Ho provato a usare il criterio del rapporto ma facendo i calcoli mi trovo che la serie diverge positivamente ma il libro porta che converge, probabilmente dovrei ricavarmi un limite notevole o cose del genere. Se qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento ne sarei grato.
Grazie in anticipo.
Salve a tutti, ho un dubbio sulla classe di continuità per curve regolari a tratti. Online non ho trovato quasi nulla, tranne una definizione che riporto qui:
Una curva $ \gamma $ regolare a tratti è di classe $ C^1 $ se $ \gamma $ è continua nell'intervallo $ [a,b] $ ed esiste una partizione di $ [a,b] $ per cui, $ \foralli $, $ \gamma_i $ risulta di classe $ C^1 $.
Ora, non so se questa definizione è corretta o meno, ma nel caso in ...
Sia $V={(x,y,z)inRR^3|0<=z<=1+x^2+y^2,x^2+y^2+z^2<=5}$. Sia $finC(RR^3,RR)$, scrivere $\int int int_V f(x,y,z)dxdydz$ per mezzo di $z$-fili e per mezzo di $z$-strati. Dire poi perchè il teorema di Fubini è applicabile. Calcolare $\int int int_V x^2dxdydz$ obbligatoriamente per coordinate cilindriche e calcolare $\int int int_V x^3dxdydz$ senza fare calcoli.
$z$-fili: $\int int_D (\int_0^{sqrt(5-x^2-y^2)}f(x,y,z)dz)dxdy+\int int_{D'} (\int_0^{1+x^2+z^2}f(x,y,z)dz)dxdy$ con $D={(x,y)inRR^2|1<=x^2+y^2<=5}$ e $D'={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$
$z$-strati $\int_0^1(\int int_D f(x,y,z)dxdy)dz+\int_1^2(\int int_{D'} f(x,y,z)dxdy)dz$, dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=5-z^2}$ e ...
Salve a tutti ho difficoltà nel comprendere la struttura della seguente dimostrazione.
Il teorema dice:
Sia $a \in R,a>0,a!=1$. Sia $x\in R$. Allora:
- $a>1 rArr Sup{a^(q') : q' \in Q, q'<x}=Inf{a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$
- $0<a<1 rArr Inf{a^(q') : q' \in Q, q'<x}=Sup{a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$
Lo scopo è quello di dimostrare che i due insiemi $X={a^(q') : q' \in Q, q'<x}$ e Y=${a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$ sono contigui e dimostrare così che $a^x$ sia l'unico elemento di separazione (almeno ho inteso così).
Dimostrazione
Per $a>1$
Si dimostra che entrambi sono non vuoti e separati così ...
Sia $V={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2<=z<=8-x^2-y^2}$ determinare $I=\int int int_V y^3+2 dxdydz$. Dire che relazione c'è fra $I$ è il volume di $V$ senza fare calcoli.
Per linearità si ha che $\int int int_V y^3+2 dxdydz=\int int int_V y^3dxdydz+\int int int_V 2dxdydz$, siccome $V$ è invariante per cambi di segno di $y$ e la funzione $y^3$ è dispari in $y$ allora $\int int int_V y^3dxdydz=0$, per cui l'integrale si riduce a $2\int int int_V1dxdydz$ ovvero il doppio del volume di $V$. Usando i $z$-strati ...
Sia $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=3,y<=abs(x)}$. Scrivere $\int int_D f(x,y)dxdy$ per mezzo di fili verticali e fili orizzontali. Sia $ninNN$ e $f_n(x,y)=1/(1+x^2+y^2)^n$, calcolare mediante coordinate polari $\int int_D f_n(x,y)dxdy$ e mostrare che $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=0$. Infine dire come si poteva ottenere questo risultato senza fare calcoli.
$y$-fili: $\int_-sqrt(3)^-sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx+\int_-sqrt(3/2)^0(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{-x}f(x,y)dy)dx+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{x}f(x,y)dy)dx+\int_sqrt(3/2)^sqrt(3)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx$
$x$-fili: $\int_-sqrt(3)^0(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{-y}f(x,y)dx+\int_{y}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy$
Ponendo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta)$, abbiamo che l'integrale diventa $\int_{-5/4pi}^{pi/4}(\int_0^{sqrt(3)}r/(1+r^2)^ndr)d\theta={(9/4pi,if n=0),((3ln(4))/2,if n=1),(3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n))),if n>1):}$
E si ha che ...
Buongiorno,
ho un dubbio sul seguente esercizio.
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) * \root (n+1)(n+1) .......... * \root (2n)(2n)$
Ora, io so che:
$\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) = \lim_{n \to \infty} e^(1/n ln(n)) = e^0 = 1$ perchè, nell'esponente, la potenza è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo. Analogamente, anche le altre radici dovrebbero tendere a uno. Pertanto, considerando che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, io direi che il limite fa 1. Eppure, sulle soluzioni del libro (Giusti) mi dice che fa + infinito, senza riportare lo svolgimento dell'esercizio.
Dove ho ...
Buongiorno a tutti, ho un dubbio sul seguente quesito:
sia $F(x) =\int_{1}^{arctan(x)} \root()(t^2+t+1) dt$ , dominio $RR$; dimostrare che l'equazione $F(x)=1/2$ ammette una e una sola soluzione.
Per l'unicità della soluzione, ho pensato di dimostrare che si tratta di una funzione monotona crescente, infatti:
$F'(x) = 1/(1+x^2)\root()(arctan^2(x)+arctan(x)+1)>0$ $\forall x in RR$
E quindi, la funzione al massimo una sola volta può valere $1/2$
Per l'esistenza della soluzione ho dei dubbi. Pensavo di usare il teorema dei ...
Ciao a tutti, io sto svolgendo questo esercizio.
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, assoluta e totale della serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(b) Scrivere la serie derivata della serie del punto (a), cioè quella che si ottiene derivando termine a termine la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$
(c) Data la funzione somma $g(x)$ trovata al punto (b), dire se questa coincide con la derivata della funzione somma $s(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ per ogni $x \in (-2,2)$
Il punto su cui ho dubbi è ...
Salve,
ho cercato già sul forum discussioni al riguardo, ne ho trovate alcune utili https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=169486 ma nessuna risolutiva.
So che:
- un insieme $X$ si dice connesso se non è esprimibile come unione di due insiemi aperti, disgiunti e non vuoti
- un insieme $X$ si dice connesso per archi se, $\forall a,b \in X$, esiste un arco che li congiunge interamente contenuto in $X$.
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Ho letto che sussiste il ...
Ho difficoltà nel capire la dimostrazione del seguente teorema.
Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali. Poniamo $L=lim''_(n->+oo)(an)$ e $l=lim'_(n->+oo)(an)$ allora $ L$ e $l$ sono rispettivamente il più grande e il più piccolo valore di aderenza per la successione.
Procede analizzando il caso in cui $L$ è il più grande valore di aderenza per $(a_n)_(n\inN)$ considerando due casi:
1) La successione non è limitata superiormente quindi per ...
Ciao ragazzi , ho un'esercizio dove devo studiare continuità e derivabilità di una funzione, che è la seguente:
$ f(x)={ ((2^(x-2)-cos(sqrt(x-2)))/(4x-8) ;x>2 ),( 0 ; x=2 ),( |x+2|;x<2 ):} $
Trovo che è continua quando $x != 2 $ , in quanto nel punto $x=2$ il limite destro e il limite sinistro sono diversi.
Poi passo alla derivabilità , anche qui , è derivabile quando $x!= 2$ , nel punto $x=2$ non lo è in quanto non continua .
Poi però ,pensando di aver finito , la soluzione mi dice che non è derivabile ...
Buongiorno, sto studiano i concetti di massimo e minimo limite, ed in particolare la seguente proposizione
Se $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n)=l in RR$ (massimo limite), allora $l=mbox{inf}(H)$, dove $H$ è la classe dei numeri definitivamente maggioranti di ${a_n}$.
Vi chiedo questo chiarimenti:
i) Ipotesi: $lim_{n to + infty} mbox{sup}(a_n) =l in RR$ (massimo limite), tesi: $l=mbox{inf}(H)$ Giusto?
ii) $H \ne emptyset$; infatti la classe limite, ossia l'insieme dei valori limite è non vuota e tra esse vi è il ...
Ciao,
mi sto esercitando sui limiti in due variabili. Le tecniche di base le ho capite, ma ogni tanto mi confondo. Potreste reindirizzarmi su qualche sito che spieghi per bene questo argomento? (**** l'ho già guardato ed è buono, però vorrei qualche informazione in più)
Grazie
Salve a tutti, aiutando un’amica con un esame di matematica ci siamo imbattuti in questo limite e speravamo che qualcuno potesse aiutarci a risolverlo.
La prof predilige l’utilizzo di limiti notevoli.
È una vecchia traccia di same, quindi niente soluzione. Il dubbio più grande è il fatto che il limite tenda all’infinito. Spero nel vostro aiuto.
Grazie in anticipo
$lim_(x->infty)(arcsin(5x)-5x)/(log_{4}(tan(2*x^4))+(1-cos(x*sqrt(3x))))$
Buonasera , è da ormai ore che sono completamente fermo su questi 2 problemi che non so risolvere in alcun modo
In entrambi si chiede di trovare per quali valori di alpha la serie converge
1. Serie da k=1 a +infinito di (k^(alpha/2)) * (ln((k+3)/(k+2)))
2. Serie da k=1 a +infinito di (k^alpha) * (1- 1/(2k^2) - cos(1/k))
Sia $D={(x,y)inRR^2|-abs(x)<=y<=2-x^2}$. Dire se $I=\int int_D y^2sin(x)-e^x dxdy$ è negativo o positivo senza fare calcoli,dire perchè si può applicare il teorema di riduzione e infine calcolare l'integrale.
Usiamo la linearità abbiamo che $\int int_D y^2sin(x)-e^x dxdy=\int int_D y^2sin(x)-\int int_D e^x$, notiamo che $D$ è invariante per cambi di segno di $x$ e la funzione $y^2sin(x)$ è dispari rispetto a $x$ allora $\int int_D y^2sin(x)=0$, inoltre $e^x>0$ $AAx inD$ e per monotonia dell'integrale abbiamo ...
Ciao ragazzi , devo calcolare l'ordine di infinitesimo di :
$ e^(sin^2x)-cos(x) $ , per $ x->0^+ $.
La soluzione mi dice che l'ordine di infinitesimo è 2, potreste spiegarmi come ci si arriva tramite l'applicazione dei limiti notevoli?
Grazie in anticipo
Ciao a tutti!
Non riesco a capire il perché si può ragionare in termini di confronto tra infiniti in questo caso:
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sqrt(x)}}{x^{\frac{3}{2}}}=\+infty$
(Esempio preso da qui.)
Nelle lezioni da cui ho studiato ho appreso che $e^f(x)$ è di ordine superiore rispetto a $f(x)^c$ con $f(x) \to +\infty, c \in \mathbb{R^+}$, ma nell'esempio sopra la funzione non è la stessa, infatti, da un lato c'è una potenza di $x$ dall'altro un'esponenziale elevato ad una potenza di ...
Ho un dubbio.
In pratica: il testo dimostra che
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