Analisi matematica di base

Ciao ragazzi, oggi vi chiedo due esercizi: sul primo non saprei, sul secondo invece ho tentato di risolverlo e spero sia venuto bene.. Esercizio 1 Siamo dati: $f(x)$ polinomio di grado $n\in N$ a coefficienti reali. $x_0,x_1$ due punti reali e $p_0(x)$ e $p_1(x)$ i polinomi di Taylor di grado $n$ di $f(x)$, di centro $x_0$ e $x_1$ rispettivamente. Si provi che $p_0(x)=p_1(x), \forall x\in R$ Esercizio ...

Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questo numero complesso che devo rappresentare le sue radici quadrate nel piano di Gauss ho provato a svolgerlo e ho fatto: $ i^83=-i $ $ i^9=i $ alla fine svolgendo i calcoli mi trovo che: $ (1+i)/((2i)^58-i)=(1+i)/(i-2^58 $ essendo i^58=-1. Da qui in poi non so come andare avanti per arrivare a calcolare le radici quadrate attraverso la trigonometria cioe con $ sqrt(z) =sqrt(p)(cos((vartheta +2kpi)/2)+i*sin((vartheta +2kpi)/2)) k=0,1 $

Salve a tutti, avrei bisogno di chiarire, il prima possibile altrimenti non ci dormo la notte, una questione che mi attanaglia assai. Tra i quesiti degli scritti di analisi 1 osservo che viene frequentemente richiesto di dimostrare (o sulla falsa riga di questa richiesta) quante radici abbia una funzione o che una equazione abbia esattamente tot numero di radici. Per rendere più chiaro il tutto riporto due esercizi più o meno tipici così da farvi capire cosa intendo. a) Dimostrare che ...

Ciao, l'esercizio chiede di determinare il Sup dell'insieme E così definito $ E={abs(z) : z in C , (4z)/(1+z^2) in Z } $ Non so proprio da dove partire

Ciao a tutti! Ho provato a risolvere questo esercizio, ma c'è qualcosa che non mi torna nello studio del secondo integrale. L'integrale è il seguente: $\int_{1}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{(\sqrt(1+x^2)-1)arctan(\sqrt(x))} dx$ La soluzione proposta dalla pagina da cui ho preso l'esercizio è: L'unico modo per portare a casa l'esercizio è mostrare che la funzione integranda è un o-piccolo di $\frac{1}{x^{\alpha}$ con $0<\alpha<1$. Nel nostro caso si può dimostrare che: $lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1-\cos(x)}{(\sqrt(1+x^2)-1)arctan(\sqrt(x))}}{\frac{1}{\sqrt(x)}}=0$ Poiché la funzione integranda è un o-piccolo ...

Ciao a tutti, sto calcolando un limite e mi risulta 4x alla fine, utilizzando le equivalenze astintotiche, mentre la soluzione è 19/10. Perché? $ lim x->0(12(arctgx-xcosx)(sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) $ Utilizzo questi: $ arctg(x) ~ x $ $ 1-cosx ~ 1/2x^2 $ $ (1+x)^alpha ~ alphax $ $ sinx ~ x $ $ ln(1+x) ~ x $ Non sono corretti? Grazie mille

Salve a tutti, non mi sono chiari alcuni concetti della dimostrazione del Teorema di Schwarz sulle derivate parziali seconde miste. - Nelle ipotesi, almeno per come l'ha enunciato la mia professoressa, si parla di derivabilità e continuità delle derivate parziali seconde miste in un punto generico $ (x_0,y_0)\inA $ aperto. Nella dimostrazione, prendiamo due punti generici $ x > x_0 $ e $ y > y_0 $. Ma non dovremmo considerare, allora, derivabilità e continuità in un intorno ...

Salve a tutti, ho dei dubbi sulla dimostrazione della formula del gradiente e, cercando online, ho notato che la dimostrazione fatta dalla prof è diversa (forse più leggera?) ed è la seguente: Consideriamo l'applicazione: $ t->(x+t\alpha,y+t\beta) $ tale che, per valori di $ t $ abbastanza piccoli, il punto appartiene ancora ad A poiché aperto. Considero la funzione composta: $ F(t) = f(x+t\alpha,y+t\beta) $ con $ t\in(-\delta,\delta) $ Poiché $ f $ è differenziabile nel punto $ (x,y) $ per ...

Salve sto avendo problemi nella risoluzione di questa serie: $ sum_(n =1 \) ((n-3)/(n+1))^(n^2) $ Ho provato a usare il criterio del rapporto ma facendo i calcoli mi trovo che la serie diverge positivamente ma il libro porta che converge, probabilmente dovrei ricavarmi un limite notevole o cose del genere. Se qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento ne sarei grato. Grazie in anticipo.

Salve a tutti, ho un dubbio sulla classe di continuità per curve regolari a tratti. Online non ho trovato quasi nulla, tranne una definizione che riporto qui: Una curva $ \gamma $ regolare a tratti è di classe $ C^1 $ se $ \gamma $ è continua nell'intervallo $ [a,b] $ ed esiste una partizione di $ [a,b] $ per cui, $ \foralli $, $ \gamma_i $ risulta di classe $ C^1 $. Ora, non so se questa definizione è corretta o meno, ma nel caso in ...

Sia $V={(x,y,z)inRR^3|0<=z<=1+x^2+y^2,x^2+y^2+z^2<=5}$. Sia $finC(RR^3,RR)$, scrivere $\int int int_V f(x,y,z)dxdydz$ per mezzo di $z$-fili e per mezzo di $z$-strati. Dire poi perchè il teorema di Fubini è applicabile. Calcolare $\int int int_V x^2dxdydz$ obbligatoriamente per coordinate cilindriche e calcolare $\int int int_V x^3dxdydz$ senza fare calcoli. $z$-fili: $\int int_D (\int_0^{sqrt(5-x^2-y^2)}f(x,y,z)dz)dxdy+\int int_{D'} (\int_0^{1+x^2+z^2}f(x,y,z)dz)dxdy$ con $D={(x,y)inRR^2|1<=x^2+y^2<=5}$ e $D'={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$ $z$-strati $\int_0^1(\int int_D f(x,y,z)dxdy)dz+\int_1^2(\int int_{D'} f(x,y,z)dxdy)dz$, dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=5-z^2}$ e ...

Salve a tutti ho difficoltà nel comprendere la struttura della seguente dimostrazione. Il teorema dice: Sia $a \in R,a>0,a!=1$. Sia $x\in R$. Allora: - $a>1 rArr Sup{a^(q') : q' \in Q, q'<x}=Inf{a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$ - $0<a<1 rArr Inf{a^(q') : q' \in Q, q'<x}=Sup{a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$ Lo scopo è quello di dimostrare che i due insiemi $X={a^(q') : q' \in Q, q'<x}$ e Y=${a^(q'') : q'' \in Q, x<q''}$ sono contigui e dimostrare così che $a^x$ sia l'unico elemento di separazione (almeno ho inteso così). Dimostrazione Per $a>1$ Si dimostra che entrambi sono non vuoti e separati così ...

Sia $V={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2<=z<=8-x^2-y^2}$ determinare $I=\int int int_V y^3+2 dxdydz$. Dire che relazione c'è fra $I$ è il volume di $V$ senza fare calcoli. Per linearità si ha che $\int int int_V y^3+2 dxdydz=\int int int_V y^3dxdydz+\int int int_V 2dxdydz$, siccome $V$ è invariante per cambi di segno di $y$ e la funzione $y^3$ è dispari in $y$ allora $\int int int_V y^3dxdydz=0$, per cui l'integrale si riduce a $2\int int int_V1dxdydz$ ovvero il doppio del volume di $V$. Usando i $z$-strati ...

Sia $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=3,y<=abs(x)}$. Scrivere $\int int_D f(x,y)dxdy$ per mezzo di fili verticali e fili orizzontali. Sia $ninNN$ e $f_n(x,y)=1/(1+x^2+y^2)^n$, calcolare mediante coordinate polari $\int int_D f_n(x,y)dxdy$ e mostrare che $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=0$. Infine dire come si poteva ottenere questo risultato senza fare calcoli. $y$-fili: $\int_-sqrt(3)^-sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx+\int_-sqrt(3/2)^0(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{-x}f(x,y)dy)dx+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{x}f(x,y)dy)dx+\int_sqrt(3/2)^sqrt(3)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx$ $x$-fili: $\int_-sqrt(3)^0(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{-y}f(x,y)dx+\int_{y}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy$ Ponendo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta)$, abbiamo che l'integrale diventa $\int_{-5/4pi}^{pi/4}(\int_0^{sqrt(3)}r/(1+r^2)^ndr)d\theta={(9/4pi,if n=0),((3ln(4))/2,if n=1),(3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n))),if n>1):}$ E si ha che ...

Buongiorno, ho un dubbio sul seguente esercizio. $\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) * \root (n+1)(n+1) .......... * \root (2n)(2n)$ Ora, io so che: $\lim_{n \to \infty} \root(n)(n) = \lim_{n \to \infty} e^(1/n ln(n)) = e^0 = 1$ perchè, nell'esponente, la potenza è un infinito di ordine superiore rispetto al logaritmo. Analogamente, anche le altre radici dovrebbero tendere a uno. Pertanto, considerando che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, io direi che il limite fa 1. Eppure, sulle soluzioni del libro (Giusti) mi dice che fa + infinito, senza riportare lo svolgimento dell'esercizio. Dove ho ...

Buongiorno a tutti, ho un dubbio sul seguente quesito: sia $F(x) =\int_{1}^{arctan(x)} \root()(t^2+t+1) dt$ , dominio $RR$; dimostrare che l'equazione $F(x)=1/2$ ammette una e una sola soluzione. Per l'unicità della soluzione, ho pensato di dimostrare che si tratta di una funzione monotona crescente, infatti: $F'(x) = 1/(1+x^2)\root()(arctan^2(x)+arctan(x)+1)>0$ $\forall x in RR$ E quindi, la funzione al massimo una sola volta può valere $1/2$ Per l'esistenza della soluzione ho dei dubbi. Pensavo di usare il teorema dei ...

Ciao a tutti, io sto svolgendo questo esercizio. Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, assoluta e totale della serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ (b) Scrivere la serie derivata della serie del punto (a), cioè quella che si ottiene derivando termine a termine la serie $\sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ (c) Data la funzione somma $g(x)$ trovata al punto (b), dire se questa coincide con la derivata della funzione somma $s(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n/{n2^n}$ per ogni $x \in (-2,2)$ Il punto su cui ho dubbi è ...

Salve, ho cercato già sul forum discussioni al riguardo, ne ho trovate alcune utili https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=169486 ma nessuna risolutiva. So che: - un insieme $X$ si dice connesso se non è esprimibile come unione di due insiemi aperti, disgiunti e non vuoti - un insieme $X$ si dice connesso per archi se, $\forall a,b \in X$, esiste un arco che li congiunge interamente contenuto in $X$. [/list:u:3oznp6vk] Ho letto che sussiste il ...

Ho difficoltà nel capire la dimostrazione del seguente teorema. Sia $(a_n)_(n\inN)$ una successione di numeri reali. Poniamo $L=lim''_(n->+oo)(an)$ e $l=lim'_(n->+oo)(an)$ allora $ L$ e $l$ sono rispettivamente il più grande e il più piccolo valore di aderenza per la successione. Procede analizzando il caso in cui $L$ è il più grande valore di aderenza per $(a_n)_(n\inN)$ considerando due casi: 1) La successione non è limitata superiormente quindi per ...

Ciao ragazzi , ho un'esercizio dove devo studiare continuità e derivabilità di una funzione, che è la seguente: $ f(x)={ ((2^(x-2)-cos(sqrt(x-2)))/(4x-8) ;x>2 ),( 0 ; x=2 ),( |x+2|;x<2 ):} $ Trovo che è continua quando $x != 2 $ , in quanto nel punto $x=2$ il limite destro e il limite sinistro sono diversi. Poi passo alla derivabilità , anche qui , è derivabile quando $x!= 2$ , nel punto $x=2$ non lo è in quanto non continua . Poi però ,pensando di aver finito , la soluzione mi dice che non è derivabile ...