Calcolo limite con eq asintotiche

[alessioben]

Ciao a tutti,
sto calcolando un limite e mi risulta 4x alla fine, utilizzando le equivalenze astintotiche, mentre la soluzione è 19/10.

Perché?

$ lim x->0(12(arctgx-xcosx)(sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) $

Utilizzo questi:
$ arctg(x) ~ x $
$ 1-cosx ~ 1/2x^2 $
$ (1+x)^alpha ~ alphax $
$ sinx ~ x $
$ ln(1+x) ~ x $

Non sono corretti?

Grazie mille

[Quinzio]

$ (1+x)^alpha ~ alphax $

No...

[alessioben]

Ho sbagliato a scrivere, intendevo

$ (1+x)^alpha -1 ~ alphax $

Nella mia risoluzione avevo usato questo corretto ma non mi esce

[Quinzio]

"alessioben":Ho sbagliato a scrivere, intendevo

$ (1+x)^alpha -1 ~ alphax $

Nella mia risoluzione avevo usato questo corretto ma non mi esce

Ok, ma per tutti gli sviluppi ti servono anche altri termini dopo il primo.
Non puoi fermarti al primo, ad es.
$\arctan x - x cos x = x - x (1 - x^2 /2) = x^2 /2$ ... no
l'arcotangente ha bisogno di piu' termini.

[pilloeffe]

Ciao alessioben,

Per il limite poposto si hanno diverse cancellazioni sia a numeratore che a denominatore, per cui negli sviluppi in serie devi arrivare fino a $x^9 $ per ottenere il risultato corretto:

$ \lim_{x \to 0} (12(arctanx-x cosx)(\sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) = \lim_{x \to 0} (12x(arctanx/x - cosx)(\sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) = $
$ \lim_{x \to 0} (12x(arctanx/x - 1 + 1 - cosx)(\sqrt(1+x^4)-1)-x^7)/(ln(1+x^3)-sin(x^3)+x^6/2) = \lim_{x \to 0} (19/20 x^9)/(x^9/2) = 19/10 $

[alessioben]

Grazie mille del suggerimento!

Devo dire che la possibilità di fare errori è molto alta con gli sviluppi... l'ho dovuto rifare tantissime volte prima del risultato giusto