Come si dimostrano il numero di radici di queste equazioni?
Salve a tutti,
avrei bisogno di chiarire, il prima possibile altrimenti non ci dormo la notte, una questione che mi attanaglia assai.
Tra i quesiti degli scritti di analisi 1 osservo che viene frequentemente richiesto di dimostrare (o sulla falsa riga di questa richiesta) quante radici abbia una funzione o che una equazione abbia esattamente tot numero di radici.
Per rendere più chiaro il tutto riporto due esercizi più o meno tipici così da farvi capire cosa intendo.
a) Dimostrare che l'equazione $log(2+arctan(|x|)=1-x^2$ ha esattamente due soluzioni in $R$
b) Dimostrare che l'equazione $x^(2n+1)+ax+b=0$ con $n \in N\{0}$ e $a,b \in R$ ha al massimo tre radici reali.
Vi dico come approccerei io il problema e vorrei capire quindi cosa sbagli e come debba ragionare quando ho quesiti simili.
Una idea che mi è venuta adesso mentre scrivevo questo post, limitata al primo caso, sta nel prendere separatamente le due equazioni e metterle a sistema in modo da trovare le intersezioni dopo aver ricavato i valori della x.
L'altra idea invece è relativa all'uso dello studio del segno ed al calcolo delle derivate ma onestamente mi sembra solo complicare il tutto senza ricavarne un ragno dal buco.
avrei bisogno di chiarire, il prima possibile altrimenti non ci dormo la notte, una questione che mi attanaglia assai.
Tra i quesiti degli scritti di analisi 1 osservo che viene frequentemente richiesto di dimostrare (o sulla falsa riga di questa richiesta) quante radici abbia una funzione o che una equazione abbia esattamente tot numero di radici.
Per rendere più chiaro il tutto riporto due esercizi più o meno tipici così da farvi capire cosa intendo.
a) Dimostrare che l'equazione $log(2+arctan(|x|)=1-x^2$ ha esattamente due soluzioni in $R$
b) Dimostrare che l'equazione $x^(2n+1)+ax+b=0$ con $n \in N\{0}$ e $a,b \in R$ ha al massimo tre radici reali.
Vi dico come approccerei io il problema e vorrei capire quindi cosa sbagli e come debba ragionare quando ho quesiti simili.
Una idea che mi è venuta adesso mentre scrivevo questo post, limitata al primo caso, sta nel prendere separatamente le due equazioni e metterle a sistema in modo da trovare le intersezioni dopo aver ricavato i valori della x.
L'altra idea invece è relativa all'uso dello studio del segno ed al calcolo delle derivate ma onestamente mi sembra solo complicare il tutto senza ricavarne un ragno dal buco.
Risposte
Ciao BlackCrow_ita, benvenuto nel Forum
In genere la risoluzione di problemi di questo tipo è basata su considerazioni sul tipo di funzione, la sua derivata (molto utile per dimostrare che è monotona), qualche grafico qualitativo.
Consideriamo la prima equazione scrivendola $y= log(2+arctan(abs(x))+x^2-1$ per cui il problema diventa trovare le soluzioni di y=0.
Ora y è una funzione pari, vale $log(2)-1 <0$ in x=0 e $log(2+pi/4)>0$ in x=1, quindi in tale intervallo ha almeno una radice per noto teorema. Inoltre la sua derivata è sempre positiva per x>0, per cui è strettamente crescente e quindi la radice in questione è unica. Per la parità quindi l'equazione ha esattamente 2 radici.
Consideriamo la seconda equazione e anche qui poniamo $y=x^(2n+1)+ax+b$ . Si tratta di una funzione che ha $lim_(x to -infty) y =-infty$ , $lim_(x to +infty) y =+infty$, quindi ha almeno un punto in cui si annulla ovvero una radice dell'equazione.
La funzione ha derivata $y'=(2n+1)x^(2n)+a$. Nel caso che $a ge 0$ la derivata è sempre positiva (o al massimo nulla per a=0 x=0 che è un caso banale), la funzione è sempre crescente e quindi la radice è unica. Il caso interessante è per $a<0$. In tal caso la derivata si annulla in due punti, ovvero la funzione ha prima massimo $x_M$ e poi un minimo $x_m$. Facendo un grafico qualitativo e tenendo conto del comportamento all'infinito si vede che se $y(x_M)>0$ e $y(x_m)<0$ vi sono 3 radici. In tutti gli altri casi 2 oppure una. Quindi l'equazione ha al massimo 3 radici.
In genere la risoluzione di problemi di questo tipo è basata su considerazioni sul tipo di funzione, la sua derivata (molto utile per dimostrare che è monotona), qualche grafico qualitativo.
Consideriamo la prima equazione scrivendola $y= log(2+arctan(abs(x))+x^2-1$ per cui il problema diventa trovare le soluzioni di y=0.
Ora y è una funzione pari, vale $log(2)-1 <0$ in x=0 e $log(2+pi/4)>0$ in x=1, quindi in tale intervallo ha almeno una radice per noto teorema. Inoltre la sua derivata è sempre positiva per x>0, per cui è strettamente crescente e quindi la radice in questione è unica. Per la parità quindi l'equazione ha esattamente 2 radici.
Consideriamo la seconda equazione e anche qui poniamo $y=x^(2n+1)+ax+b$ . Si tratta di una funzione che ha $lim_(x to -infty) y =-infty$ , $lim_(x to +infty) y =+infty$, quindi ha almeno un punto in cui si annulla ovvero una radice dell'equazione.
La funzione ha derivata $y'=(2n+1)x^(2n)+a$. Nel caso che $a ge 0$ la derivata è sempre positiva (o al massimo nulla per a=0 x=0 che è un caso banale), la funzione è sempre crescente e quindi la radice è unica. Il caso interessante è per $a<0$. In tal caso la derivata si annulla in due punti, ovvero la funzione ha prima massimo $x_M$ e poi un minimo $x_m$. Facendo un grafico qualitativo e tenendo conto del comportamento all'infinito si vede che se $y(x_M)>0$ e $y(x_m)<0$ vi sono 3 radici. In tutti gli altri casi 2 oppure una. Quindi l'equazione ha al massimo 3 radici.
"BlackCrow_ita":
Tra i quesiti degli scritti di analisi 1 osservo che viene frequentemente richiesto di dimostrare (o sulla falsa riga di questa richiesta) quante radici abbia una funzione o che una equazione abbia esattamente tot numero di radici.
Si dice radici di una equazione, ma per la funzione forse è meglio dire zeri.
Prova a postare alcuni esercizi che stai facendo e che ti mettono in difficoltà esponendo il tuo approccio e ci si ragiona su.
Spesso ci vuole un po' di fantasia e di intuizione, non sempre si ha a disposizione uno schema tipo:
Prima fai A, poi B e alla fine C e hai concluso.
Il fatto è che a parte casi molto circostanziati risolvere un'equazione, ossia determinarne con precisione le soluzioni, è impossibile.
Al punto che è presto necessario fare la distinzione tra "determinare" le soluzioni di un'equazione (ossia trovarle precisamente), "stimarle" (ossia approssimarle entro un certo intervallo d'errore, come si fa, per esempio, in analisi numerica) e quello che è stato chiesto a te, ossia mostrare che esse sono al meno/al più 2,3,4... ma senza sapere quali siano.
Al punto che è presto necessario fare la distinzione tra "determinare" le soluzioni di un'equazione (ossia trovarle precisamente), "stimarle" (ossia approssimarle entro un certo intervallo d'errore, come si fa, per esempio, in analisi numerica) e quello che è stato chiesto a te, ossia mostrare che esse sono al meno/al più 2,3,4... ma senza sapere quali siano.
Innanzitutto vi ringrazio per l'accoglienza e la pazienza messa nella celere risposta.
Studiando da autodidatta per l'esame, senza avere particolari riferimenti, non è semplicissimo capire come vadano approcciati certi problemi senza trovare degli esempi indicativi. Poi una volta trovato il tassello mancante non ho più problemi tranne i casi in cui errare rientra a far parte del naturale funzionamento umano. Infatti devo ringraziarvi perché ho pienamente compreso il succo del discorso. Nel caso avessi altre domande in merito a tematiche differenti riguardante analisi 1, devo aprire un'altra discussione suppongo. Confermate?
ps: riguardo il secondo problema, non sarebbe possibile risolverlo immediatamente con la regola di Cartesio?
Analizzo
$P(x)=x^(2x+1)+ax+b$ affinché abbia il maggior numero di soluzioni reali positive devono avere segni alterni. Quindi avrò due soluzioni positive reali
Per le negative invece ne avrò al più una in quanto b non cambia di segno.
Dunque P(x) avrà al più 3 soluzioni.
Studiando da autodidatta per l'esame, senza avere particolari riferimenti, non è semplicissimo capire come vadano approcciati certi problemi senza trovare degli esempi indicativi. Poi una volta trovato il tassello mancante non ho più problemi tranne i casi in cui errare rientra a far parte del naturale funzionamento umano. Infatti devo ringraziarvi perché ho pienamente compreso il succo del discorso. Nel caso avessi altre domande in merito a tematiche differenti riguardante analisi 1, devo aprire un'altra discussione suppongo. Confermate?
ps: riguardo il secondo problema, non sarebbe possibile risolverlo immediatamente con la regola di Cartesio?
Analizzo
$P(x)=x^(2x+1)+ax+b$ affinché abbia il maggior numero di soluzioni reali positive devono avere segni alterni. Quindi avrò due soluzioni positive reali
Per le negative invece ne avrò al più una in quanto b non cambia di segno.
Dunque P(x) avrà al più 3 soluzioni.
"BlackCrow_ita":
Nel caso avessi altre domande in merito a tematiche differenti riguardante analisi 1, devo aprire un'altra discussione suppongo. Confermate?
.
Confermo
"BlackCrow_ita":
ps: riguardo il secondo problema, non sarebbe possibile risolverlo immediatamente con la regola di Cartesio?
SI
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