Esercizio derivata di inversa problema con il procedimento

[ktaw]

Ciao a tutti mi servirebbe aiuto su questo esercizio di derivata di inversa: Data la funzione f(x) = $ x + 2tg^2(x) $ dimostrare che è invertibile e calcolare $ (f^-1)' (0) $.
So che per provare che f è invertibile, bisogna provare la sua monotonia, attraverso lo studio della derivata prima ponendola maggiore di zero ma , una volta calcolata non so come procedere coi calcoli per dire che è monotona in poche parole non riesco a scrivere $f'(x)= 1+4tg(x)(1+tg^2(x))$ in modo tale da poter affermare che sia strettamente positiva e ho problemi con la risoluzione di tale disequazione: $ 1+4tg(x)(1+tg^2(x)) >0$ . Una volta dimostrato ciò andrei a ricavarmi l'ascissa corrispondente all'ordinata 0 (avevo pensato a x=0) e applicherei la formula di derivazione della funzione inversa. Vorrei sapere se il ragionamento che ho fatto è corretto.
Grazie mille in anticipo.

[Cantor99]

Prpvo a risponderti

Il fatto che tu citi è che una funzione $f : I->\RR$ - con $I$ un intervallo- *continua* e strettamente monotona in $I$ è invertibile.

La nostra funzione è continua per ${ x!=\frac{π}{2} +kπ, k\in \ZZ: x\in \RR}$ e ivi la derivata vale
$f'(x)=1+4tan(x)+4tan^3(x)$

Posto $tan(x)=t$ devi studiare la disequazione

$4t^3+4t+1>0$

Che risulta vera solo per $t>\alpha$ con $-1<\alpha<0$, cioè quando $tan(x)>\alpha$ e dunque per le $x\ \RR$ tali che
$arctan(\alpha)+kπ con $k\in \ZZ$

Quindi la funzione *NON* è monotona e pertanto non invertibile nel suo dominio. Puoi dire al più che è invertibile in $[arctan(\alpha),\frac{π}{2}]$. In tal caso usi la formula di derivazione Delle funzioni inverse

[gugo82]

Ma perché derivate la tangente in maniera astrusa?

Ad ogni buon conto, come notava Cantor99, la funzione non è invertibile globalmente. Ciò segue semplicemente dal fatto che, ad esempio, $f$ è continua in $]-pi/2 , pi/2[$ e risulta:
\[
\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = + \infty = \lim_{x \to-\pi/2^+} f(x)
\]
cosicché ogni valore reale positivo sufficientemente grande è preso almeno due volte in $]-pi/2 , pi/2[$.

La derivata di quella funzione lì è \(f^\prime (x) = 1 + \frac{2\tan x}{\cos^2 x}\), sicché $f$ è di classe $C^1$ in $]-pi/2 , pi/2[$; dato che \(f^\prime (0) =1 >0\), esiste un intorno $I$ di $0$ in cui $f$ è strettamente monotona e perciò invertibile.
Chiaramente, anche se con abuso di linguaggio, è di questa funzione inversa che l’esercizio ti chiede di calcolare la derivata.
Il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa si può applicare e ti risolve il problema in un baleno.