Integrale multiplo
Volevo chiedervi una cosa.
Nella costruzione dell'integrale multiplo, partendo da funzioni a scalino parto dalla seguente definizione
sia $QsubseteqRR^n$ un sottoinsieme limitato di $RR^n$, diremo che $Q$ è un plurirettangolo se è unione finita di intervalli di $RR^n$.
Diremo che una famiglia finita di intervalli $F={I_k: k=1,...,n}$ è una suddivisione di $Q$ se
- $bigcup_(k=1)^(n)I_k=Q$ quindi $Q$ è un plurirettangolo
- se $knej$ allora gli interni di $I_j,I_k$ sono disgiunti[nota]chiaramente gli interni dovendo essere non vuoti, significa che ogni intervallo deve essere non degenere[/nota]
ha senso dare come definizione di 'suddivisione più fine' la seguente?
$F'$ è una suddivisione più fine di $F$ se per ogni $J in F'$ esistono $1leqk_1,...,k_mleqn$ tale che $J=bigcup_(i=1)^(m)I_(k_i)$
non so se esista o meno, me la sono tirata fuori cercando di generalizzare il concetto di suddivisione più fine per gli integrali unidimensionali.
Come vi sembra?
Nella costruzione dell'integrale multiplo, partendo da funzioni a scalino parto dalla seguente definizione
sia $QsubseteqRR^n$ un sottoinsieme limitato di $RR^n$, diremo che $Q$ è un plurirettangolo se è unione finita di intervalli di $RR^n$.
Diremo che una famiglia finita di intervalli $F={I_k: k=1,...,n}$ è una suddivisione di $Q$ se
- $bigcup_(k=1)^(n)I_k=Q$ quindi $Q$ è un plurirettangolo
- se $knej$ allora gli interni di $I_j,I_k$ sono disgiunti[nota]chiaramente gli interni dovendo essere non vuoti, significa che ogni intervallo deve essere non degenere[/nota]
ha senso dare come definizione di 'suddivisione più fine' la seguente?
$F'$ è una suddivisione più fine di $F$ se per ogni $J in F'$ esistono $1leqk_1,...,k_mleqn$ tale che $J=bigcup_(i=1)^(m)I_(k_i)$
non so se esista o meno, me la sono tirata fuori cercando di generalizzare il concetto di suddivisione più fine per gli integrali unidimensionali.
Come vi sembra?
Risposte
"anto_zoolander":
sia \(\mathbb Q\ subseteq \mathbb R^n\) un sottoinsieme limitato di \(\mathbb R^n\), diremo che \(Q\) è un plurirettangolo se è unione finita di intervalli di \(\mathbb R^n\).
In \(\mathbb R^n\) non ci sono mica gli intervalli. Forse volevi dire che un plurirettangolo è un sottoinsieme della forma \(\prod_{i=1}^n E_i\) dove \(E_i = [a_i,b_i]\) è un intervallo di \(\mathbb R\). Una sua suddivisione \(\mathcal S\), ora, è un insieme di plurirettangoli \(K_\alpha\) che copre \(Q\) e tale che \(\mathring{K}_\alpha\cap \mathring{K}_\beta = \varnothing\) se \(\alpha\neq \beta\). Una tale suddivisione si può ottenere da suddivisioni \(\{\mathcal I_1, \dots, \mathcal I_n\}\) di \(\mathbb R\), ciascuna delle quali suddivide \(E_i\), e il "prodotto" di suddivisioni da' luogo a una suddivisione di \(\mathcal S\) (questa corrispondenza è biiettiva? Cioè, ogni suddivisione di \(Q\) nasce in questo modo?); ora un raffinamento di una suddivisione data consta di un'altra suddivisione che contiene tutti i rettangoli della prima suddivisione.
Ciao killing.
Si quanto hai detto mi torna è quella applicazione è biiettiva.
Intendevo ‘pluriintervalloo’ e non pluritettangolo ovvero Unione finita di intervallo di $RR^n$ come da te definiti.
Si quanto hai detto mi torna è quella applicazione è biiettiva.
Intendevo ‘pluriintervalloo’ e non pluritettangolo ovvero Unione finita di intervallo di $RR^n$ come da te definiti.
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